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文档简介
重庆市永川中学高2026届高一上期第二次联考
数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.)
1.下列四组函数中,表示同一函数的是()
2
A./(x)=log2xg(x)=21og2X
B.〃x)=singg(x)=(sinx)
sinx
C./(力=(2工)2与g(x)=4,
D./(x)=x%g(x)=l
【答案】C
【解析】
【分析】由表示同一函数的满足条件:定义域相同,对应关系相同,对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】对于A:〃尤)的定义域为何"0},且(目的定义域为{小>0},定义域不相同,故A错
误;
对于B:"%)的定义域为R,g(x)的定义域为同x/E,keZ},定义域不相同,故B错误;
对于C:/(%),g(x)的定义域都为R,且解析式相同,故C正确;
对于D:7(尤)的定义域为{目%。0},g(x)的定义域为R,定义域不相同,故D错误.
故选:C.
2.下列叙述正确的是()
A.180。的角是第二象限的角
B.第二象限的角必大于第一象限的角
C.终边相同的角必相等
D.终边相同的角的同一个三角函数的值相等
【答案】D
【解析】
【分析】ABC可举出反例,D选项,根据三角函数定义得到D正确.
【详解】A选项,180。的角是轴线角,不是象限角,A错误;
B选项,390°是第一象限角,150°是第二象限角,显然390°>150°,B错误;
C选项,30°与390。是终边相同的角,说明C错误;
D选项,由三角函数定义可知,终边相同的角的同一个三角函数的值相等,D相等.
故选:D.
3.已知函数〃%)的定义域为[1,3],则函数g(x)=〃2x-l).log2(3x-3)的定义域为()
A.(1,2]B.;,2C.(1,5]D.-,5
-3-3
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.
1<x<2
1<2%-1<3
44
【详解】因为"%)的定义域为[L3],贝卜log(3x-3)>0,解得则一所以
23
3x—3>01
g(%)=〃2x—Jlog2(3尤—3)的定义域为g,2
故选:B
4.已知sin|e-1)=—;,则cos1'+V]=()
I20口2r
AB.
33"I-'3-
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式即可得到答案.
【详解】cosp+|jij=cosf6>-j+^j=cosf6>-j+^+TiVsinp-=,
故选:B.
5.函数丁=3氏"—卜—[图像大致是(
【解析】
【分析】分0<x<l两种情况对函数的解析式进行化简,然后可得答案.
【详解】当时,y=3!log^-|x-l|=x-(x-l)=l,
当0<x<l,y=3降/_卜一1|=3一立产_(1_x)=J_+x—1,
所以函数y=3限力-|%-1|的图像大致是选项D,
故选:D
6.若函数/(x)=log3(G:2—无+1)的定义域为R,则实数a的取值范围为()
A.[。,;]B.(0,1)仁D.(1,+8)
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知依2—%+1>0在R上恒成立,然后分a=0和awo两种情况讨论求解即可.
【详解】因为函数/(%)=1隼3(幺2—%+1)的定义域为R,
所以依2—%+1>。在R上恒成立,
当。=0时,一x+l>0,得尤<1,不合题意,
a>01
当a/0时,贝股人,“八,解得a〉一,
A=l-4a<04
综上实数。的取值范围为,
故选:C
7.已知定义在R上的函数/⑺满足/(x)+/(—x)=2,且xNO时,f(x)=x———+2,则不等式
x+1
#(x)<0的解集为()
、
A.(-oo,0)B.,0,+oo
7
C.D.
【答案】c
【解析】
【分析】根据/'(X)+/(—%)=2可知函数关于(0,1)对称,并求出九<0时函数/(x)的解析式,画出大致图
象,然后结合图象得到犷。)<。的解集.
【详解】定义在R上的函数/⑴满足/。)+/(—%)=2,所以/⑺关于(0,1)对称,
当xNO时,/(x)=x—£+2,因为丁=*在[0,+")上单调递增,y=占在[0,+。)上单调递减,
y=——L在[0,+。)上单调递增,所以/(%)=x一一匚+2在[0,+。)上单调递增,/(0)=1,
X+1X+1
因为/(%)+/(—%)=2,当光v。,即一%>0时,
x2-x-1
-X----------F2
—X+1x-1
X—1=0,即%=匕且或x=竽⑴,
令/(x)=
x-12
所以画出〃龙)的大致图象
时,/(%)<0,当%=与叵
由图象知,当xe,+co时,/(x)>0,当XG-00,
7
时,/(^)=0,
<1尺\
所以,当xe(0,+co)时,W(x)>0,当xe-------,0时,j^(x)<0,
、2,
当xe—『J25]时,xf(x)>0,当%=或。时,xf(x)=O,
<1J7)
所以不等式#(幻<。的解集为—^,0,
I2)
故选:C.
8.已知函数y=/(X)是定义在R上的偶函数,对任意外,马e[0,+oo),且石片马,都有
"七)/㈤〉。成立,若a=/0og]53.1ogi55),6=/',os4],c=/(501),则()
石一*2I4J
A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和对称性判断函数y=/(x)在[0,+。)上的单调性,再结合单调性比较三个数
的大小.
【详解】因为0<log153<log15岳=g,0<log155<log1515=1,
所以0<log1531og155=;,
n兀f3兀)3兀0
cos---=cos2兀H---=cos——=--——•,
4I4J42
501>5°=1,
又因为函数y=/(%)是定义在R上的偶函数,
r、/(X.
又因为对任意司,羽eO,+8),且石wx,,都有、\,>0成立,
再一马
所以函数y=/(力在[0,+。)上单调递增,
历
又由上可知,0<log]5310gl55<¥<5°,,
所以
故选:A
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是
符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分.)
9.下列说法正确的有()
A.命题“VXGR,N+X+1>0”的否定为“mxeR,x2+x+l<0”
B.函数/(%)=logox+l(a>0且的图象恒过定点(1,1)
C.已知函数/(x)=因+2,则/(x)的图象关于直线x=2对称
【答案】AB
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定可判断A;利用函数平移的即可判断BC;由换底公式可可判断D
【详解】对于A选项:"VxCR,x2+x+l>0"的否定为"mxeR.x2+x+l<0w,故A正确;
对于B选项:由函数对数函数y=logaX(。>0且aWl)恒过(1,0),所以/'(x)=k>gox+l恒过(1,
1),故B正确;
对于C选项:由函数y=|尤|图像关于尤=0对称,所以/(%)=|x|+2,关于了=0对称,故C错误;
对于D选项:由换底公式1。874=鲁告,故D错误;
1脸7
故选:AB.
10.下列四个选项中,正确的选项有()
A.“不等式2V—5%-3<0成立”的一个必要不充分条件是—!<x<4
2
B若c>d,则ac>仇7
C.=与g(x)=W不是同一函数
c36c,一、、
D.已知x>0,y>0JIT-H—=2,若4x+y〉7根-"广恒成立,则加的取值范围为
2xy
(-00,3)_(4,+CO)
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合一元二次不等式的解法,以及充分、必要条件的判定方法,可判断A;举反例判断B;根据
同一函数与的定义判断C;根据基本不等式求得4%+y的最小值为12,得到7m-加2<12恒成立,进而
可判断D.
【详解】对于A,由不等式2f—5X—3=(x-3)(2x+l)<0,解得—Q<X<3,
所以-工<x<4是不等式2炉一5%-3<0成立的一个必要不充分条件,所以A正确;
2
对于B,取Q=O,Z?=—l,c=l,d=O,贝ij满足々>6,c>d,但此时ac=Z?d,所以B不正确;
对于C,/定义域为[0,+"),g(x)=W的定义域为R,
定义域不同,所以/(x)=(Wy与g(x)=W不是同一函数,所以C正确;
c36c
对于D,由x>0,y>0J1.——।—=2,
2xy
3y24x
=x>-x12+2=12,
(2xy)22xy)
3y24x3
当且仅当e=——时,即%=大,丁=6时,等号成立,
2xy2
即4x+y的最小值为12,
可得7m-加2<12恒成立,
由不等式.一7帆+12=(7"—4)(/"一3)>0,解得帆>4或爪<3,
所以冽的取值范围为(—8,3)(4,+co),所以D正确.
故选:ACD.
11.下列表达式正确的是()
A.若ee]',?!:],则Jl—2sin(兀+6)sin(,一e]=sine+cos8
B.在锐角,ABC中,sinA>cos5恒成立
sin(7i-6z)
C.——)----^二一tan1
cos(兀+a)
D.Vo,,£0,g,sin2a+cos2/?<sin+cos/?
【答案】BCD
【解析】
jr7T
【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C;由一<A+3<兀且0<A,B<—结合诱导公
22
式判断B;作差法比较大小判断D.
【详解1A:由题设一2sin(71+8)sin[今一=Vl-2sin^cos^=Vsin2^-2sin^cos^+cos20
=\sin3-cos01,
又°£1三,兀),故Jl-2sin(兀+6)sin[普一e]=sine—cosS,错;
TTTTTTTTJi
B:由题意一<4+3<兀且0<A,3<—,则一一B<A<-,所以sinA>sin(——B)=cosB,对;
22222
sin(7t-«)sin(Z
C:——)-------------=-tan(z,对;
cos(兀+(z)—cos。
D:由sin?a+cos2/3-(sina+cos尸)=sintz(sina-1)+cos/3(cos,-1),
又a,13e[0,1-I,故0<sina,cos/7<l,故sin?a+COS?,—(sina+cos/7)<0,
所以sin?a+cos2,<sina+cos,,对.
故选:BCD
1
12.已知函数«2,则下列说法正确的是()
'7*+4X—3,X>2
A.若y=/(x)的图象与直线y=f有三个交点,则实数年(0,1)
B,若/(%)=上有三个不同实数根土,々,%,则4<%+々+W<5
C.不等式04/(/(耳)41的解集是[0,3]
D.若〃%+a)>/(x)对任意实数x恒成立,则实数。的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB,作出函数的图象即可判断;对于C,先根据图象求出了(%)的范围,再分情况讨论即可;
对于D,根据图象结合图象平移分析运算即可判断.
【详解】对于A,如图,作出函数y=/(x)的图象,
由图可知,若y=/(x)的图象与直线y=f有三个交点,则实数年故A正确;
对于B,如图1,作出函数y=/(x),y=左的图象,
由题意得两函数交点得横坐标为为,乙,工,不妨设石<x2<%3,
则为关于x=l对称,故%+々=2,
由图可知2<七<3,所以4<为+々+退<5,故B正确;
V-1
v-k
对于C,由函数y=/(x)的图象可知,当OW/(x)Wl时,04九43,
则由04/(〃耳)<1,可得0W/(x)W3,
x<2x>2
则..或V
0<L-l<30<-x2+4x-3<3)
解得一2<x<2或2Vx<3,
所以不等式的解集是[―2,3],故C错误;
对于D,当。=0时,〃x)>/(x)显然不成立,故a=0舍去,
当a>0时,/(%+。)可以通过了(%)向左平移。个单位得到,
如图2,显然/(x+a)>/(x)不成立,舍去,
当a<0时,/(尤+。)可以通过了⑺向右平移同个单位得到,如图3,
以射线y=—无+1—。与y=—/+4%一3相切为临界,
即-X+1-6Z=-%2+4%—3,贝(J%?一5%+4—。=0,
go
所以A=25—4(4—.)=0,解得】=—所以〃<—j,
综上所述,实数。的取值范围是1-8,-二],故D正确.
图3
故选:ABD.
【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图
象,利用数形结合的方法求解.
三、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)
13.己知某机械装置有两个相互鸣合的齿轮,大轮有48齿,小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分
钟,大轮的半径为10cm,则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为cm.
【答案】15兀
【解析】
【分析】利用每秒转过的齿轮数相同即可求解.
【详解】由题意知,小轮每秒转过的圈数为120+60=2,
则每秒大轮转过的圈数为3
484
3
所以大轮每秒转过的弧长为一义2万义10=15万.
4
故答案为:15万.
14.若二次函数/(x)=f—2%+加在区间(0,4)上存在零点,则实数机的取值范围是.
【答案】(-8』
【解析】
【分析】根据题意转化为方程m=-9+2%在区间(0,4)上有解,结合二次函数的性质,即可求解.
【详解】令/(x)=o,可得f―2x+m=0,即加=—d+2x,
由函数/(x)=f-2%+加在区间(0,4)上存在零点,
即方程〃?=—f+2尤在区间(0,4)上有解,
设8(力=-/+2%=-(%-1)2+1,可得g(x)a=g(l)=l,g(x)min>g(4)=-8,
所以—8〈加<1,即实数加的取值范围是(—8』].
故答案为:(—8」].
15.己知函数=与g(x)=f—2ax+4(a>0),若对任意的当e(0,1),都存在々€[0,2],使
得/(X)=g(%),则实数。的取值范围是.
【答案】[浮,+°°
【解析】
【分析】根据函数的单调性计算/(xje,确定g(々)的值域包含[』],考虑0<a<2和a»2两
种情况,根据二次函数性质计算值域得到答案.
【详解】/(x)=]£|,函数单调递减,丫(0,1),故/(xj拈,11,
对任意的占e(0,1),都存在々e[0,2],使得/'(%,)=g(%),
故g(9)的值域包含g,",
2
①当0<a<2时,g(x)m,n=g(«)=4-a解得2^<a<2,
22
此时g(x)1mx=g(O)=4ZL成立;
②当aN2时,函数在[0,2]上单调递减,g(%)^=^(0)=4>1,成立,
g(x)min=g(2)=8-40K%,解得即a'2;
2o
综上所述:ae]]中,+co.
故答案为:,+0°
16.激活函数是神经网络模型的重要组成部分,是一种添加到人工神经网络中的函数.tanh函数是常用的
2
激活函数之一,其解析式为/■")=立”-1.给出以下结论:
①tanh函数是增函数;
②tanh函数是奇函数;
③tanh函数的值域为(一1,1);
④对于任意实数。,函数y=/(%)—改—1至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是.
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用函数单调性的定义可判断①;利用函数奇偶性的定义可判断②;令由丁=号二1可得
-e2v+l
r,1—V
e=「,由e?x〉0解出》的取值范围,可判断③;取。=0,结合③可判断④.
i+y
【详解】对于①,任取当、x2eR,且石<々,则e-2』>e」迎>0,
(?W2、2(e—一尸再)
所以,小)-/(/)=[777^—\HT7^"=(l+e3)(l+e、)S
所以,/(%)</(%),故tanh函数是增函数,①对;
对于②,对任意的尤eR,1+}2X>0,则函数7(%)的定义域为R,
日f(x\=--____1=____________1=2e"1=广一]
且/⑴一l+e-2*Je2,(l+e3)l+e2Te2j;+r
Q-2X-ie(e-1i-e2x
/(一%)=一2%1=2-2%.=;―M=一/(%),tanh函数是奇函数,②对;
7e+le(e+l)l+e7
p2x_1]_y
对于③,由y可得声2'+丁=1—e21可得e2'=L,
•e2'+l1+y
—Vv—1/\
由e2'=「〉0,可得的'<0,解得故tanh函数的值域为(—1,1),③对;
对于④,由③可知,一1</(%)<1,则<1,
当a=0时,y=|/(%)|-1<0,此时,函数y=ox—1没有零点,④错.
故答案为:①②③.
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.平面直角坐标系中,若角a的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-L2)
(1)求sina和tana的值
sin—+atan(»+a)+2cos(»-a)
(2)若了⑻二(2J1/IJ化简并求值
sina+cos(-a)
【答案】(1)sina=----,tana=-2
5
,、“、sin。-2cos〃/
(2)f(a)=------------,4
sina+cosa
【解析】
【分析】(1)根据三角函数的定义计算:
(2)用诱导公式化简函数后,弦化切代入计算.
【小问1详解】
•:OP=5由三角函数的定义得sina=管,tan«=-2;
【小问2详解】
sin^-+atan(7T+«)+2cos(7r-tt)S—_2cr.。
/⑷=12J=cosacosa____C_O_S__=sin"2cosa
sincr+cos(-«)sina+cosasina+cosa
tancif-2-2-2)
/((z)=-----=4.
tan+1-1
18.设集合A=<xlog](2x+4)>log](x+9)>,B=^X\JC-3mx+2m2-m-l<oj.
、22J
(1)若3为空集,求实数加的取值范围;
(2)若30求实数m的取值范围.
【答案】(1)me{-2};
(2)m=-2.^—l<m<2.
【解析】
【分析】(1)利用一元二次不等式解集为空集,列出不等式求解即得.
(2)解对数不等式化简集合A,再分类讨论解不等式化简集合2,并结合包含关系求解即得.
【小问1详解】
依题意,不等式d—33+24-1<0解集为空集,
于是△=9相2-4(2:1-加一1)<0,即7%2+4771+440,解得〃z=-2,
所以〃ze{—2}.
【小问2详解】
不等式10gl(2x+4)〉log;(x+9)oO<2x+4<x+9,解得—2<x<5,即A={R—2<x<5},
x2—3mx+2m2—m—1<0<»[X—(2m+l)][x—(m—1)]<0,
当相=-2时,B=0oA,则根=—2;
当mv-2时,则5=(2加+1,加一1),而加一1<—3<—2,显然5不是A的子集;
当相>一2时,2m+l>m—L则6=(加-1,2m+1),
由BqrA,得—24根—1<2加+1<5,解得一1«加《2,
所以加的取值范围是根=-2或一14加工2.
19.2022年夏天,重庆遭遇了极端高温天气,某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是
1000万元,每生产%千台,需另投入成本R(%)(单位:万元),
|x2+450x(1<<60)
R(x)=<生产的空调能全部销售完,每台空调平均售价5千元.
510x+-3000(60<x<100)
(D写出年利润尸(%)(单位:万元)关于年产量无(单位:千台)的关系式;
(2)当年产量为多少千台时,这款空调的年利润最大?最大为多少?
-1%2+50%-1000(1<X<60)?
【答案】(1)尸(%)=
…八Ac36000
2000-10%+-----(60<x<100)
1%-10
(2)产量为7万台时,年利润最大为700万元
【解析】
【分析】(1)求出销售收入,减去成本后可得利润函数;
(2)根据利润函数分段求最大值,一段利用二次函数性质得最大值,一段利用勾形函数的单调性求得最大
值,比较后即可得.
【小问1详解】
由题意得空调销售收入为0.5x1000%=500%(万),则
500x450x1-1000(1
<x<60)?
P(x)=〈
500x—15lOx+西£一3000j-1000(60<x<100)
-1x2+50^-1000(1<%<60)?
—<•
2000-H0x+)(60<x<100)
【小问2详解】
由(1)得:
19
当14XW60时,P(x)=--(x-50)-+250
...当x=50时,「(%)取得最大值250;
当60cx<100时P(x)=1900—10(x—10)+^^=1900-10(10)+3
_x-10_')x—10
由勾形函数性质知?(%)在(60,70)上递增,在(70,100)上递减,
.••当1=70时,?(%)取得最大值700.综上所述,当年产量为70000台时,年利润最大,最大为700万
元.
20.若函数>=/(无)对任意,恒有/(x+y)=/(尤)+/(y).
(1)指出y=/(尤)的奇偶性,并给予证明;
(2)如果x>0时,/(%)<0,判断了⑺的单调性;
(3)在⑵的条件下,若对任意实数x,恒有区2)+/(一产+工一2)>0.成立,求上的取值范围.
3
【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2)Ax)在R上单调递减,证明见解析;(3)
【解析】
【分析】(1)利用赋值法求出/(。)=0,根据函数奇偶性定义即可证明;
(2)根据函数单调性定义即判断函数的单调性;
(3)结合函数的奇偶性和单调性,将不等式进行等价转化,即可得到结论
【详解】(1)>=/(尤)为奇函数;
证明:令x=y=O,得/(0+0)=/(0)+/(0),解得:/(0)=0
令y=T,则“X—X)=令X)+令-X)=/(0)=0,.-./(x)=-/(-X)
所以函数y=/(x)为奇函数;
(2)F(x)在R上单调递减;
证明:任意取石,々eR,且石〉々,则占一%〉。,二/(%一/)<0
又/(%-%)=/(%1)+f(-X2)=/(%1)-/(X2)<0,即又%)<f(X2)
所以/(无)在R上单调递减;
(3)对任意实数x,恒有f(kx2)+/(-x2+x—2)〉0等价于&②)>-/(-%2+x—2)=/(犬—x+2)
成立
又了(无)在R上单调递减,.•.丘2<f—x+2
即对任意实数x,(左—1)/+%-2<0恒成立,
当左一1=0时,即左=1时,%—2<0不恒成立;
%-1<07
当左一1W0时,即上中1时,贝卜,解得:k<—
A=l+8(左一1)<08
所以实数上的取值范围为
【点睛】方法点睛:本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法,要设法把隐性转化为显性,
方法是:
(1)把不等式转化为/[g(X)]>/["(X)]的模型;
(2)判断了(%)的单调性,再根据函数的单调性将脱掉,得到具体的不等式组来求解,但注意奇
偶函数的区别.
21.已知函数/(尤)="(a>0且awl)图像与函数g(x)的图像关于直线丁=%对称.
「33~
⑴若尸(x)=〃x)+g(x)在区间[1,2]上的值域为4,—,求。的值;
x-2
(2)在(1)的条件下,解关于x的不等式<g
(x+49
【答案】(1)a=4
(2)xe(8,+oo)
【解析】
【分析】(1)根据反函数的关系先得出g(x)表达式,进而得出歹(左)表达式,利用/(幻的单调性,分类讨
论得出结果;
(2)由(1)的单调性,结合定义域的范围,解不等式组即可.
小问1详解】
由题知,g(x)是/(尤)的反函数,g(x)=log“x,故E(九)=a*+logaX.
当。<a<i时,根据指数函数,对数函数的单调性,丁=优,丁=。“%均在(0,+8)单调递减,于是
/(九)在(0,+。)上单调递减,故尸(1)=°=万>1,此时不成立;
当时,根据指数函数,对数函数的单调性,丁=优,丁=。小均在(0,+。)单调递增,/(九)在
(0,+。)上单调递增,故/(l)=a=4,此时成立.综上可知:。=4
【小问2详解】
由⑴知,g(x)=log4x,为定义在(0,+8)的增函数,
x-2
(.、(.、、---->0
根据g嗫<g苫一,定义域满足:<:,解得xe(2,y).
、x+4>°
由g(x)单调性和可得,」一<之二,整理得V—7%一8>0,结合xe(2,+8)
lx+4jk9Jx+49'7
可知,xe(8,+oo)
22.己知函数/(x)=log,”(x-m)+log,”(%-2m)(m>0且加W1).
(1)当机=%时,解不等式/(x)+log25>0;
(2)若对于任意的XG[3m,4m],都有求实数机的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在飞-,+8,使/(%)在区间[a,£]上的值域是
[log,“/7,log,"C|?若存在,求实数加的取值范围:若不存在,说明理由.
【答案】(1){x|1<%<3}
(2)—<m<l
2
(3)不存在,理由见解析
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