奇偶性-第2课时-函数奇偶性应用

1第2课时函数奇偶性的应用1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点）3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）2生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？3探究点1根据函数奇偶性画函数图象

偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.

奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.4例1.画出下列函数的图象（1）（2）分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x<0时的图象.（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.5解：（1）当时，其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).此时函数图象在y轴右半部分如图所示：根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.6（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。7例289探究点2根据函数奇偶性求参数10探究点2函数奇偶性的应用例311例4123、根据函数的奇偶性求函数解析式例5.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函数；（2）f(x)是奇函数.13分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求当时，如何用含x的表达式表示f(x).能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是f(x)=f(-x)，这样当时，，而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同样处理.14解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，当时，，所以，当时，(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).当时，，所以，当时，【拓展提升】根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.(2)转化代入已知区间的解析式.(3)利用函数f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x)，从而解出f(x).16探究点3利用函数的奇偶性研究函数的单调性从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.17例6.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-∞0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论.18所以-f(x1)+f(x2)<0，即f(x1)-f(x2)>0.证明：在（-∞，0）上任取x1<x2，则-x1>-x2>0因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以由于函数f(x)是奇函数，所以根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.19函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.【提升总结】20练习：若f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A.f(-2)＞f(0)＞f(1)B.f(-2)＞f(1)＞f(0)C.f(1)＞f(0)＞f(-2)D.f(0)＞f(-2)＞f(1)答案：选B.f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=f(2).又f(x)在［0，+∞)上是增函数，故f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(-2)＞f(1)＞f(0).变式：若f(x)是奇函数，且在（0，+∞)上是增函数，f(1)=0，则f(x)>0的解集为______.[解题流程]求实数m的取值范围，需建立关于m的不等式(1)定义为[－2，2]，所以不等式中m，m－1均应属于区间[－2，2]；,(2)要由不等式f(m)＋f(m－1)>0求得m，应利用单调性及奇偶性去掉“f”，建立关于m的的不等式f(m)＋f(m－1)>0→f(1－m)<f(m)→列不等式组→结果探究点4函数单调性与奇偶性的综合应用[名师批注]由函数f(x)为奇函数，将不等式等价变形，这是解决此题的关键一步.很多同学常因不能实施此变形，造成无法解题.由于定义域为[－2，2]，故应有此两个不等式，此处极易忽视，造成解题错误.由函数的单调性建立此不等式

[变式]

设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围.【拓展提升】利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解.(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.26练习1：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且在[0,+∞)上是减函数，则与的大小关系是______.【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.27【解】∵又∵f(x)在［0,+∞)上是减函数,∴又∵f(x)是偶函数，∴∴【答案】解析：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减.∵2a2+a+1=2(a+)2+＞0，2a2-2a+3=2(a-)2+＞0，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，∴2a2+a+1＞2a2-2a+3，即3a-2＞0，解得a＞练习2：设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞，0)上递增，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.【互动探究】若题2中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？【解析】若f(x)为R上的奇函数，在区间(-∞，0)上递增，则f(x)在(0，+∞)上递增，又∵f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，∴2a2+a+1＜2a2-2a+3，即3a-2＜0，解得a＜【规范解答】(1)令x1=x2=1①得f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.………3分(2)令x1=x2=－1①,则f(-1)=0，………4分令x1=－1,x2=x①，∴f(－x)=f(x)，又f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数.………7分(3)∵f(4)=1,又f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),∴f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16),∴f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64),∴f(64)=f(4)+f(4)+f(4),∴f(64)=3②

……………8分∴f(3x+1)+f(－6)≤3等价于f(-6(3x+1))≤3,∴f(|-6(3x+1)|)≤f(64),∴………10分解得……12分【失分警示】【防范措施】1.赋值法的应用抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要明确利用哪些式子说明问题，如本题中判断函数奇偶性，看f(-x)与f(x)的关系，关键是出现f(-x)与f(x)之后，不要出现多余变量.2.偶函数的一个重要性质根据偶函数的定义，可得f(x)=f(|x|)，从而把自变量都集中在区间(0，+∞)上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不同区间内的繁琐讨论，把f(-6(3x+1))写成f(|-6(3x+1)|)，避免对-6(3x+1)的符号讨论.351.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则｛x|f(x-2)>0｝=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【解析】因为函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，且f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)>0,需满足|x-2|>2,得x>4或x<0,故选B.B362.已知函数f(x)在区间［-5，5］上是奇函数，在区间［0,5］上是单调函数，且f(3)<f(1),则()A.f(-1)<f(-3)B.f(0)>f(-1)C.f(-1)<f(1)D.f(-3)>f(-5)【提示】根据题意，应首先判断函数在区间［0,5］上的单调性.