全国初中数学青年教师优质课一等奖《用频率估计概率》教学设计

“用频率估计概率（第1课时）”教学设计一、内容和内容解析内容：人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“25.3用频率估计概率”第一课时。

内容解析：不确定现象大量存在于自然界和人类社会中，概率正是对这种现象的一种数学描述，它能帮助我们更好地认识不确定事件，并对生活中的一些不确定情况做出决策。从《数学课程标准》（2022版）看，《概率初步》这章属于“统计与概率”领域。对于该领域的内容，一方面概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托。本章自成体系与初中数学的前后联系不多，但有关概率教学的三个部分：随机事件与概率、用列举法求概率、利用频率估计概率，他们相互依托，关联性强。“用频率估计概率”是“概率初步”这一章的第三节，是在学生初步了解概率的意义及会用概率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之后对概率的进一步研究。概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻。相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法不受列举法求概率的两个条件的限制，更具一般性与普遍性，适用范围更广。大量重复试验的频率趋近于理论概率这一规律，将为以后利用试验估计一些复杂的随机事件的概率起到承上启下的作用。概率内容比较抽象，试验的不确定性、概率结果的唯一性，常常使学生感到困惑。从随机现象中寻找规律，这对学生来说也是一种全新的观念，如果缺乏对随机现象的丰富体验，学生很难建立起这一观念。因此，教材设计了“抛掷硬币”这样一个实验活动，意在丰富学生逐步对随机现象规律性的体验的同时，通过抛硬币的实验表明：随机事件的发生既有随机性，又存在统计规律性，且其统计规律体现在：随机事件的频率----此事件发生的次数与实验总次数的比值具有稳定性，即总在某个常数附近摆动，这个常数就叫做这个随机事件的概率。从而对概率的认识和理解从感性认识向理性认识过渡；从而在这个充满探索和自主体验的过程中，学生将逐步学会数学的思想方法和如何用数学解决问题，获得了成功的体验。教学重点：对用频率估计概率的必要性和合理性的理解和应用。二、学情解析学生在小学对事件发生的可能性大小已经有了初步的认识，有了在具体环境中对可能性的体验。在七年级时学习了用全面调查、抽样调查的方法收集数据，用简单的统计图表整理和描述数据，对统计活动的基本过程已经比较熟悉，有能力开展试验活动、统计分析试验数据。在本章前两节的学习中，学生们也已经接触了概率的古典定义，能够在“结果有限和各种结果出现的可能性相等”的前提下计算一些简单事件发生的概率。学生已有的统计与概率知识为本节课的学习打下了较好的认知基础。在前两节的学习中，学生对概率的古典定义及其应用已经有了较为清晰的认识，也感受到概率古典定义的适用面较窄。但是，如何去研究不能用列举法计算的随机事件的概率，学生没有这方面的学习经历，这就需要教师来引导。通过大量的重复试验，可以把稳定在某个常数附近的频率作为事件发生的概率。教师需要引导学生体会统计概率的本质是估计，用频率估计概率的目的是为了解释现象、解释生活，而不是为了得到一个准确的数值。三、目标和目标解析

（一）目标：了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统计定义；能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率并应用其解决问题；培养学生的动手能力和处理数据的能力，培养学生的理性精神。

（二）目标解析：（1）知识技能：理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值。（2）数学思考：通过试验，使学生明白，在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率，进一步发展概率观念；通过用频率估计概率的学习，认识数学在社会生活中具有重要作用。（3）问题解决：通过生活实例，进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率。

（4）情感态度：在经历利用频率估计概率的学习过程中，培养学生的动手能力、处理数据的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作精神。四、教学问题诊断分析

（一）由于学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为抛掷一枚啤酒瓶盖的结果“凸面向上”和“凹面向上”是等可能的）会仍然采取列举法，这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件理解不够，对事件发生的可能性大小分析不透彻，受惯性思维的影响所致。（二）频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，频率既有随机性（每人每次试验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），试验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下，可以近似地作为这个事件的概率。概率是是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关。频率与概率是从量变到质变，是对立统一的.初学统计概率的学生常常无法理解概率与频率的内在联系与区别，有时会把两者混淆。

（三）容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件。这一问题的出现也是对概率思想的内涵把握不够所致。概率是针对大量重复试验而言的，如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合理的估计概率。（四）由于频率的随机性，试验计算的频率有可能明显地偏离了理论计算出的概率值。教学难点：对大量重复试验的频率趋近于理论概率规律的理解，对频率与概率之间关系的理解。五、教学支持条件分析（一）在本节教学时，教师不能过分强调结果的获得，教师应根据学生的认知基础，设置恰当的试验过程，在试验的过程中逐渐体会到大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性，可以用频率的稳定值作为概率的估计值，加深对概率统计意义的理解。为了尽可能减小用频率估计概率的误差，需要进行大量的重复试验，课堂上运用模拟实验软件的统计功能提高试验数据分析的有效性，使学生感受结果的真实性，提高对知识的可信度，让学生明白概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性之上的,从而达到理解概率内涵的目的。（二）教师在教学活动中要设计和提出有效的问题，以问题为载体，给学生提供学习思考的空间，来引导学生理解概率与频率的关系。加强对“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件的认识和对用频率估计概率的必要性和合理性的理解。（三）数据偏离太明显时，一方面，教师需要从试验的条件入手，引导学生反思用频率估计概率的使用要求:在相同条件下；另一方面，教师还需要说明出现这种情况是正常的，这正是随机事件随机性的体现，事实上，对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。（四）在教学中，为促进学生的有效学习，学生的学法本节课倡导“合作探究学习”，以小组试验与合作交流、归纳为主，注重学生的经历、感受和体验；教师采用点拨启发式、归纳总结式教法组织教学。六、教学过程分析（一）引入课题，明确目标问题1：问什么要用频率估计概率？复习旧知：1.请用列举法计算下列两个随机事件的概率：⑴抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面向上。⑵抛掷一个质地均匀的骰子一次，向上的点数是1。2.用列举法计算随机事件的概率时,需要满足什么条件?【设计意图】复习前两节的知识与方法，为本堂课的学习做铺垫。引入课题：出示天安门广场的图片。师：国庆长假想不想身临其境去看看？。引出问题：国庆期间，妈妈正好单位组织活动要去北京，张华和张明都闹着要跟着去，但单位规定只能带一人，怎么办？于是，妈妈想用抛掷啤酒瓶盖的办法决定。抛掷一次，如果“凸面向上”则带张华去，如果“凹面向上”则带张明去。你觉得这样公平吗？为什么？学生先思考、讨论并动手抛掷一下啤酒瓶盖体验一下，然后发表看法。学生充分交流后，老师对不同说法进行适当的评价，并借机强调用列举法求概率的条件，引导学生分析“凸面向上”与“凹面向上”的可能性不相等，不能用列举法来求概率.师：那究竟有没有其它的办法求出凸面向上的概率呢？屏幕上闪烁显示：做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，由此可以估计出抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.44。师：“频率约为0.44”是怎么算出的？师点出：由“凸面向上”的频率估计出“凸面向上”的概率，这种方法实际上就是用频率估计概率，引出课题。【设计意图】从学生熟悉事物和实际出发引入，引发联想和类比，创设有助于学生自主学习的问题情境，充分调动学生的学习积极性，大大的激发了学生学习的热情；由啤酒瓶盖落地“凸面向上”与“凹面向上”的可能性不相等，不能用列举法求概率，引发认知冲突，激起学生的探究欲导入新课。引导学生明确学习目标。【设计意图】以目标为导引，引领学生参与课堂学习，激发学生学习动机，推动和促进学习活动，并能对自己的学习现状进行反馈，以便做出正确的评价和适当的反馈。（二）小组合作，试验探究

问题2：怎样用频率估计概率？师：抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是0.5，这个概率能否通过统计很多次抛掷硬币的结果来得到呢？只做一次试验行不行？2次行不行？3次呢？到底要做多少次呢？【设计意图】已知概率的情况下进行抛硬币试验，基于以下原因：（1）抛掷硬币试验所需条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）以学生熟悉的知识入手，通过这样一系列问题：用频率去估计概率这种方法是否可靠？是否合理？到底要做多少次试验，频率值才能呈现出稳定性，用于估计概率时误差才比较小？引发学生思考，激发学生试验探究的欲望和热情。掷硬币试验：（1）分组试验：把全班共分9个小组，每小组4人，每两人为一个试验小组抛掷35次，每个试验小组有一位同学抛掷硬币，另一名同学做记录，抛掷完毕组长统计本组正面向上的频数填入表1。（2）明确要求：①抛掷时请将书本文具收入课桌内；②两人合作，一人抛掷一人画“正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次；③抛掷的高度要达到自己坐姿的头顶高度，若硬币掉在地上，本次不作记录。（3）小组统计：每个小组统计本组的试验结果，填在黑板表1中，统计全班的试验结果，填在表2中。（4）数据累加：根据表2填写表3,将第1组数据填在第一列，第1、2组的数据之和填在第二列，……9个组的数据之和填在第9列，用计算器计算。【设计意图】①明确抛掷要求，强调“在相同条件下”使数据更真实有效；②合理分组，分工明确，可以减少劳动强度，加快试验速度，同时培养团队意识；③使用计算器既加快了统计进度又保证了结果的正确性，同时为后续难点的突破争取了时间。根据上表的数据，在下图中标注出对应的点。

【设计意图】图表的给出可以正确有效地引导学生在有限的课堂时间内高效率地收集试验数据及整理描述数据，为分析数据做准备。试验的整个操作过程均由学生参与完成，主动试验，收集数据，整理数据，分析结果，为寻求问题解决主动与他人合作，知识的构建过程中促进了教学目标的达成，整个过程真正实现了“将课堂还给学生，把学习的主动权还给学生”的教学理念，将教师的主导地位、学生的主体地位体现得自然而贴切。教师参与其中，关注学生的投入程度──能否积极、主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的建议与意见；关注学生在活动中表现出的实践能力、思维水平、团队意识，真正成了学生“学习的组织者、引导者与合作者。”

（三）分析数据，构建新知问题3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？

分析数据：全班在图1中标注对应点时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的附近摆动？随着抛掷次数的增加，摆动幅度如何变化的？史料佐证：师：增加试验次数，又有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.请打开课本我们一起来看一些结果。（见课本P143）

③随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势是什么？学生阅读、分析、交流、汇报、补充。【设计意图】通过阅读、观察、分析历史数据，以史料佐证，为学生更清楚的发现规律、总结规律提供帮助，让学生明白规律的呈现需大量的重复试验为前提条件；利用课本培养学生数学阅读能力和自学能力，真正将课本作为了学生学习材料的来源，而不是仅作为教师自己讲课材料的来源。多媒体出示历史数据绘制的折线图（图2）。

师：你发现的规律和折线图呈现的规律一致吗？【设计意图】通过对历史数据统计表的分析再到用历史数据绘制的折线图进行验证，数形结合，使学生感受到结果的真实性，提高对知识的可信度，从而提高试验数据分析的有效性，让学生明白大量重复试验是频率估计概率的前提条件，概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性之上的,从而达到理解概率内涵、突破难点的目的。生总结。学生总结：可以发现，一般的，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的_________，在0.5附近摆动的幅度会越来越小。即：正面向上的频率_________于0.5。④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近0.5，即频率稳定于概率.）⑤数学家为什么要做那么多试验？⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到0.5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？学生思考、汇报、补充。师小结：至此，我们用计算频率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.【设计意图】问题串的设计，循序渐进，在头脑中再现了知识的形成过程，让学生在真实的数据分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动构建，促使学生对概率的认识和理解从感性认识向理性认识过渡。（四）合作释疑，揭示新知问题4：为什么可以用频率估计概率？怎样用频率估计概率？学生以小组为单位思考、讨论、交流、汇报。【设计意图】引发学生的再思考，在头脑中再现了知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习成为一种再创造的过程。师总结：对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性。师：最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近的是瑞士的一位数学家。引出瑞士数学家雅各布•伯努利。【设计意图】对学生进行数学史的教育，提高了学生的数学素养，调动学生学习数学的积极性和创造性。问题5：妈妈想用抛掷啤酒瓶盖的办法决定谁去，张华也认为，抛掷一次，“凸面向上”带她去是偏心张明，但妈妈固执己见，认为姐弟俩机会均等。请你设计一种求“凸面向上”概率的方法，帮张华说服妈妈。请你再举出一些与这个例子类似的生活、学习中的案例。【设计意图】通过试验方法设计，内化方法的同时，让学生明确用频率估计概率的前提是大量重复试验，关键是找到频率的稳定值；案例的列举，让学生进一步体会用频率估计概率的方法比概率的古典定义更具一般性与普遍性，它不受列举法求概率两个条件的限制，适用范围更广。（五）问题解决，内化新知师：用频率估计概率不是为了有得到一个准确的数值，而是为了用用它解决问题。问题：某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8101291610进球次数m6897127进球频率0.80.780.7（1)补全表中各次比赛进球的频率。（精确到0.01）（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？（3）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？【设计意图】应用新知解决问题，体验方法的同时让学生感受到概率的统计定义在生活中的重要作用，培养学生学数学、用数学的意识。问题6：频率与概率有什么区别与联系？学生思考、讨论后全班交流.此处重点强调学生理解，若不能概括、归纳，则直接出示答案。【设计意图】在实际问题解决中进一步感悟频率与概率的联系与区别，渗透辩证思想的同时，深化新知，突破难点。课堂达标：1、在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?提问：（1）为什么要随机调查？（2）为什么能用频率估计概率？2、在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他相同.通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,口袋中白球可能有多少个？【设计意图】通过练习让学生运用数学的思维方式进行思考；用频率来估计概率，再利用概率来解决实际问题，加强了数学与生活之间的联系，加深了学生对知识的理解，增强了学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。（六）课堂小结,反思提升问题7：通过本节课的学习，你有哪些收获？学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课学习的主要内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。师总结：通过本节课的学习，我们弄清了一种关系：频率与概率的关系；学会了一种方法:用频率的稳定值去估计概率；体会了一种思想:用频率去估计概率。【设计意图】通过小结与反思，使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解，对核心思想方法有了更深的体会.同时，培养学生归纳概括能力和语言表达能力。（七）课后作业，巩固提高教科书P148第4题：投针试验：1、在一个平面上画一组间距为d=4cm的平行线，将一根长度为l=3cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交.根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与任一直线相交的概率。2、在投针试验中，如果间距d=4cm、针长l=3cm时针与任一直线相交的概率为p，则当d不变l减小时概率p会如何变化？当l不变d减小时概率p会如何变化？（在试验中始终保持l＜d）【设计意图】复习巩固新知，培养动手能力，体验数学思想。“用频率估计概率（第1课时）”课例点评总体评价：整堂课教师以自己独到的处理教材的见解和方法为基础，以多媒体课件为辅助教学手段，以教师的组织、引导、参与为依托，以学生的积极动手、动口及合作交流为主线来构建本课时的教学模式，引导学生探索，启发学生思维，注重学法指导，促进学生的有效学习，表现出教师独特的教学风格和教学智慧，达到了预想的教学效果，是一节成功的课例。具体说来，本节课具有以下几个突出优点：一、本节课，教师能对教材进行“深加工”，创造性的使用教材，体现了用“用教材教”而不是“教教材”的理念。比如情境问题的创设、历史数据折线统计图的呈现、方法设计、达标习题的选择等无不体现这一点。二、本节课四维目标明确，教学脉络清晰，重点突出。这样的教学设计能使学生深刻的意识到：你想知道随机事件发生的概率吗？你就去反复实践吧！通过大量的重复试验你就会找到它发生的规律。无形中教给学生一种求随机事件发生的概率的方法。三、在新课引入中，教师注重问题情境的创设，通过学生熟悉的天安门广场的图片，以国庆旅游为背景，集中了学生的注意力，激发了学生的学习兴趣，又自然、贴切的引出了问题，引发了学生的数学思考。四、本堂课，教师能以“问题串”为导向来设计教学环境，不断地向学生提供参与数学活动、数学思考的机会；能走到学生中去，及时地在操作方法、思维方式和思路拓展上帮助学生进行有效的合作学习；能舍得给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，使教学