2021年(新高考Ⅰ卷)高考数学试题试卷(解析版)

2021年高考数学真题试卷(新高考I卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。(共8题；共40分)

1.设集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},则AnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

【答案】B

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】解：根据交集的定义易知ACB是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3},

故答案为：B

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

2.已知z=2-i,贝U(一=()

母+i)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解:

a

z(z+0=S(2-X)(2+2«)=4+4/-2i-2t=6+2i

故答案为：c

【分析】根据复数的运算，结合共规复数的定义求解即可.

3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2C.4D.4

【答案】B

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)

【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为I,底面半径为r,则有

2兀「=券血

解得

I=2r=2。

故答案为：B

【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.

4.下列区间中，函数f(x)=7sin()单调递增的区间是()

A.(0,)B.(,)D.()

27r

【答案】A

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【考点】正弦函数的单调性

【解析】【解答】解：由得，kez,当k=0

--7+2k兀Sx-；S；+2k兀一9十2fcK4xS=+2k兀

262S3

时，r，是函数的一个增区间，显然r,,

曰T],水卜，T]

故答案为：A

【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.

5.已知FI,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则|MFI|」MF2|的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义

【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MFi|+|MF2|=2a=6,

则由基本不等式可得|MF1||MF2K,

|MF1||MF2|s1MMiJ=9

当且仅当|MFi|=|MFz|=3时,等号成立.

故答案为：c

【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.

6.若tan=・2,则•»n।i=()

e-?:-------

▼sm9fcot1

A.B.C.D.

【答案】c

【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：原式

=sm0(sin0+cos^)

■inf♦CM@atntf

_tan%

itaaS^coa2*tu2”]

故答案为：c

【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.

7.若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程

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【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-8时，切线为x=o,当x趋近于+8时，切线为y=+8,因

此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.

故答案为：D

【分析】利用极限，结合图象求解即可.

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件"第一次

取出的球的数字是1",乙表示事件"第二次取出的球的数字是2",丙表示事件"两次取出的球的数字之和是

8”,丁表示事件"两次取出的球的数字之和是7”,则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解:设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),

则，

P(A)=P(B)=i.P(G=*=5.汽0)=击=：

对于A,P(AC)=O；

对于B,:

P0D)=士气

对于c,；

对于D,P(CD)=O.

若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),

故B正确.

故答案为：B

【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。(共4题；共20分)

9.有一组样本数据xi,x2，…,即,由这组数据得到新样本数据yi,y2，…,y。,其中厅为+3=1,2，…,n),c为非零

常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】C,D

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【解析】【解答】解：对于A,,因为80,

0"0■

所以，故A错误；

i^y

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对于B,若X1,X2,......,Xn的中位数为Xk，因为yi=Xi+C,因为CWO,所以y”2,......,yn的中位数为yk=Xk+CWXk，

故B错误；

对于C,y”2,......,yn的标准差为

»二:JCji—y)'+8-y)'+…a—y)3=

：4a，+c)-G+c)F+Kx,+c)-G+c)J，+・Kxw+a-G+c)R

,故C正确；

22w_1

=^(xt-y)+(xj-y)+,Ctny)=Sa

对于D,设样本数据X1,X2Xn中的最大为Xn,最小为X],因为犷为+c,所以y”2，……,yn中的最大为价，

最小为yi,

极差为yn-yi=(Xn+C)-(Xi+C)=Xn-Xi,故D正确.

故答案为：CD

【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即可.

10.已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cos0,-sinB),P3(cos(a+B),sin(a+B)),A(l,0),则()

A.|,=,B.,=iC.i=一,D.।,i

OPIIInnIIAPIIIAPJOAOPSOPTOR：tu,OR=n»nft

【答案】A,C

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公式，两角

和与差的正弦公式

【解析】【解答】解：，故A正确；

|。匕|=Vcoj，a+sin2Q=1>|0/^|=*cos斗+sin节=1

因为，故B

|=4(cosa_11+sin。=V2-2cosa,|=y(cos/7-l)a+sin3fi=4-2cos万

错误；

因为，

。4•。鸟=1xcos(a+/J)+Oxsin(a+3)=cos(a+fi)

Tff

OPtOPt-cosacosfi-sinatinfi=oas(a+6)

所以

成•欣=成•丽

故c正确；

因为，

0A•08=1xcosa+0xsina=cosa

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0Pt•威-(cosfl--sin/?)-(cos(a+A),rin(a+«))=cosflxcos(a+，)+(-sin/J)xsin(a+fl)=

Dos(a+2^)

所以D错误

故答案为：AC.

【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.

11.已知点P在圆.+,=16上，点A(4,0),B(0,2),则()

(x-S)»(y-sy

A.点p到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB|=3

D.当NPBA最大时，|PB|=3

0

【答案】A,C,D

【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：直线AB为：,即x+2y-4=0,

，U2

设点P(5+4cos0,5+4sin0),则点P到直线AB的距离为_,则

B==w

所以A正确B错误；

又圆心。为(5,5),半径为4,则_________________,

|05|=、/(5-0万+(5-2)2=%

所以当直线PB与圆相切时，NPBA取得最值，此时，__________

PB\=V0B\3一户==3、2

所以CD正确

故答案为：ACD.

【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.

12.在正三棱柱ABC-中，AB=A，点P满足一——，，其中入e[o,i],

ARG4t=lPB=XBC+jiBBxII

则()

A.当入=1时，△P的周长为定值

AB1

B.当=1时，三棱锥P-AiBC的体积为定值

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C.当入=时，有且仅有一个点P,使得

14tPlBP

D.当时，有且仅有一个点P,使得BJ_平面AP

心a

【答案】B,D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】解：由点P满足可知点P在正方形BCCiBi内,

PB=XBC+画

对于A,当入=1时，可知点P在CCi（包括端点）上运动，如下图所示，AABiP中,

A%=d，AP=71+M3.+

因此周长L=AB+AP+BiP不为定值，故A错误.

对于B,当口=1时，可知点P在BiCi（包括端点）上运动，如下图所示,

易知B1G〃平面AiBC,即点P到平面AiBC的距离处处相等，

△AiBC的面积是定值，所以三棱锥P-AiBC的体积为定值，故B正确；

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对于C,当时，分别取线段BB1,CC1的中点M,N,可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如

下图所示,

很显然若点P与D,Di重合，均满足题意，故C正确；

对于D,当时，分别取线段BBi,CG的中点D,Di，可知点P在线段DDi（包括端点）上运动,

1

如下图所示,

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此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.

故答案为：BD

【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可,根据线线垂直及线面垂直

的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.

三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分(共4题；共20分)

13.已知函数f(x)=.是偶函数，则2=

x*(a-2*-2-^)----------

【答案】1

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

【解析】【解答】解：设,，则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(O)=a-2J2o=a-l=O,

ff(r)=a-2X-2~*

故a=l

故答案为：1

【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.

14.已知。为坐标原点，抛物线C:、的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴

/=2px(p>

上一点，且PQ_LOP,若|FQ|=6,则C的准线方程为

【答案】

【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义

【解析】【解答】解：由题意可设，则，

因此直线PQ的方程为：

y-p=-：(x-

令y=0,得

5

“二P

因此

\FQ\==2P=6

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则p=3

因此抛物线C的准线方程为:

x=-E=--

X2

【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.

15.函数f(x)=|2x-l|-2lnx的最小值为

【答案】1

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，分段函数的应用

【解析】【解答】解：①当时，f(x)=2x-l-2lnx,贝IJ,

当X>1时，f'(X)>0,当时，f'(X)<0,所以f(x)min=f(1)=1;

5<X<1

②当时.，f(x)=l-2x-2lnx,则，

0<xs；f*(x)=-2--=-^^<0

此时函数f(x)=l・2x-2lnx在上为减函数，则f(x)min=,

(0■号f(i)=21n2>1

综上，f(X)min=l

故答案为：1

【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dmxl2dm

的长方形纸.对折1次共可以得到10dmx2dm.20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和Si=240dm2,

2

对折2次共可以得5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dmo

以此类推•则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么「

力

=dm.

【答案】5；

720-240.詈

【考点】数列的求和，类比推理

【解析】【解答】解:对折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4种,面积和为S3=4x30=120dm2;

2

对折4次有1,25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.75共5种，面积和为S4=5xl5=75dm;

对折n次有n+1中类型，，

%令n+1)

因此".，

还=240俱+盘+…+答)，；适=2州(>专+“+制)

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上式相减，得

艺=240（1+专+尹…4-篙）=2400-果）

则.

g广240（3一等）=720-240-誓

故答案为：5,

720-240-吟

【分析】根据类比推理可求对折4次及对折n次的图形种数，运用错位相减法可求k.

四、解答题：本题共6小题，共70分。（共6题；共70分）

17.已知数列｛｝满足=1

+1,n为均聂

if30

+2,n为碗

（1）记=，写出,并求数列、的通项公式;

九a”I瓦】

（2）求的前20项和

（«R）

【答案】（1）为偶数,

2n

则，，

fl

»n+X=a21t+2%升？=a2n+s+1

，即，且

:"aI",=In+3%“=%+3瓦=%=%+1=2

是以为首项，3为公差的等差数列,

••（M2

n»1=2ba=5bn=3n—1

(2)当为奇数时，，

«On=«n+1-1

,,的前项和为

*•{j]20

%+%+”•+a20

=(«i+01+—+at»)+(aa+a<+-+OJO)

=l(03+-1)+,,,+(«2o*l)]+(«a+a*+…+Q?o)

=2(a3+a*+…+Ojg)-10

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由（1）可知,

%+<+…+%=为+%+…+3-2x10+—x3="5

的前20项和为

••(flnl2x155-10=300

【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和

【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解;

（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.

18.某学校组织"一带一路"知识竞赛，有A,B两类问题•每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中

随机抽U又一个问题问答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另•类问题中再随机抽取一个

问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得。分：

B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得。分。

己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与

回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

【答案】（1）的取值可能为，

X020100

P(X=0)=1-08=02

P(X=20)=0.8x(l-Q£)=032

P(X=100)=08x(16=(MS'

的分布列为

r.X

X020100

P0.20.320.48

(2)假设先答类题，得分为

BY

则可能为0,80,100,

Y

p(y=o)=i-06=a4'

P(Y=80)=06x(1-0切=0A2

P(F=100)=0^x0.8=&48'

的分布列为

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Y080100

P0.40.120.48

^£(T)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57J6

由(1)可知

E(X)=0x02+20x0324-lOOx0.48=54.4

工E(T)>E(JO

应先答B类题.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差

【解析】【分析】(1)根据独立事件的概率，并列出X的分布列即可;

(2)根据独立事件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断.

19.记aABC的内角AB,C的对边分别为a.,b.,c,已知=ac,点D在边ACBDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求cosNABC.

1•,BDsin/ABC=asinC

aoa

KMC-lauZMC

联立〜得，即

四5£=经ac=b-BD

BD«

vb2-ac

:.BD=b

(2)若

AD=2DC

中，

2Ab

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中,

△8CD

•:第=@

^(aa+ba-c2)=3(a,+^)a-fc2]

整理得

a2+b2-e2=3a2+y-362

J

■-2GJ—~62+c2,=C

vb2=at

,即或

6a2-liar+3c2=0

则

coszfABC="♦■"*=

X9

右把，，

a=-eb：=ac=-cJ

S3.

则・

cosABC=--------=*，z=——

»*"«lc*“U

【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用

【解析】【分析】(1)根据正弦定理求解即可；

(2)根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.

20.如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O为BD的中点.

(1)证明：OA1CD：

(2)若AOCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45。，求三棱

锥A-BCD的体积.

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【答案】(1)为中点,

"AB=AD0BD

AO1BD

Illi

“OuABD

面面且面面

ABDIBCDABDnBCD=BD

面

:.AOIBCD

r.AOLCD

(2)以为坐标原点,为轴,为轴,垂直且过的直线为轴,

OAOD0

设，，

C（迎1o）D（0」；0）B（0.-1.0）A（OOm）

vM=（0,-；,-；«）i?=（7.1.o）

设一为面法向量,

%=（x”yi.zjEBC

-n^ss--y--nu=0

«»（li

而不比=0

ix*=0

加=0

令

%=1

元=（—Iz—

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面法向量为—,,

BCD04=(0.0.m)

一_广，解得

DOS(R^,OA)=|I«।=m=l

OA=1

工5“=：XbD*0A=：x2xl=l

-tea—1•5^4«D.%1=F

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向

量求平面间的夹角

【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；

(2)利用向量法，结合二面角的平面角求得m=l,再根据棱锥的体积公式直接求解即可.

21.在平面直角坐标系xOy中，己知点(-.7,0),(.7,0),点M满足|MFJ-|MF2|=2.记M的轨

耳力用4

迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|-|TB|=|TP|-|TQ|,

I=-

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

【答案】(1)

•；Mi|一|M6|=2

轨迹为双曲线右半支，

Ccs=172a=2

工a'=1=16

r.xJ-^=l(x>0)

(2)设，

呜n)

设：

成

y-n=kx(x-1)

联立，

“Y=i

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a(16-k+%+与R_16=6

9

^X+X=-t---

“x42'2-X<

-，

:殳'+IB'T2廿1・

q+e区―

|T川=JI+七乜T

,

|TB|=J1+互2g-|)

r.lMIITBI-Cl+k*=6飞言号《

设：，

PQy-n=

同理，

|rF|.|rQ|=a^fi^2i

-MI•g=m•m'

<比+k]=0

【考点】双曲线的定义，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据双曲线的定义