河北省部分学校2024届高三年级上册期中调研联考数学试题（含答案解析）

河北省部分学校2024届高三上学期期中调研联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合{1,2,3,4,5},M={1,2},N={2,3},则d(MUN)=()

A.{4,5}B.{152}

C.{2,3}D.{1,3,4,5}

^i=()

l-2i

3.已知单位向量满足卜+2万>,一在）=一|，则（）

4.已知等比数列｛4｝的前〃项和为8〃,q+〃3+。5=1，&+。4+。6=2,则^口一艮二（

A.18B.54C.128D.192

22

5.已知。为坐标原点，4民尸分别是椭圆c：=+A=l（a>6>0）的左顶点、上顶点和

ab

右焦点点尸在椭圆C上，且尸尸，。尸，若ABUOP,则椭圆C的离心率为（）

D.显

A.1B.1c.V2

2

、门兀兀C

6.设a£—出£，且sina+cosa=V2cos/?,贝!I()

4242

c兀

A.cr+/?=—B.”号

兀

C.a+尸二,

7.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是毋C,空气的温度是嵋C,则ftnin

后该物体的温度e℃可由公式e=q+（q_%）e1求得.若将温度分别为ioo°c和6（rc

的两块物体放入温度是2（rc的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过i（rc,

至少要经过（）（取：ln2=0.69）

A.2.76minB.4.14minC.5.52minD.6.9min

9i_型

8.已知Q=ln'/=—,c=e9,贝！|（）

89

试卷第1页，共4页

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

二、多选题

9.如图，在三棱台/8C-/'8'C'中，上底面是边长为血的等边三角形，下底面是边长

为2行的等边三角形，侧棱长都为1，则（）

A.CC1AA'

B.CC±AB

C.直线CC'与平面A8C所成角的余弦值为逅

4

D.三棱台4BC-48'C'的高为"

3

10.若函数＞=忖标|一在（0,+/）上的零点从小到大排列后构成等差数列，贝ip的取值可

以为（）

D.正

A.0B.1C1

2

11.已知函数的定义域为R,且5+l）/（x）=#（y+l）,则（）

A./（0）=0B./（1）=0

C.7（x）是奇函数D./（x）没有极值

12.如图，有一组圆Ck（左eN+）都内切于点尸（一2,0）,圆G：（X+3）2+3-1）2=2,设直

线x+〉+2=o与圆C/在第二象限的交点为次,若|44+I|=也，则下列结论正确的是

A.圆Gt的圆心都在直线尤+y+2=。上

B.圆。99的方程为（X+52）2+3-50）2=5000

试卷第2页，共4页

C.若圆G与y轴有交点，则后28

D.设直线》=-2与圆G在第二象限的交点为纥，则回纥M=1

三、填空题

13.函数y=sinx+l的图象可由函数〉=5也(尤-二］+1的图象至少向右平移个单位长度

得到.

14.已知函数/(x)=14'X"°'则满足/(》-1)<〃2》)的工的取值范围是________.

0,x<0,

15.已知抛物线C:y=f与直线交于48两点，点。在抛物线C上，且△/助为

直角三角形，则△48。面积的最小值为.

16.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直

贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2,高为8,则该几何体的体积为.

四、解答题

17.在中，。为3c上一点，CD=0BD=4币,且/氏4。=90。.

(1)右AD=2A/3,求AC；

AR

⑵若NC1D=30。，求方.

AC

五、证明题

18.如图，在四棱锥P-/3CD中，尸。，平面48CD,底面/BCD为直角梯形,

PD=CD=AD=2AB,AB〃CD,ADICD.

(1)在棱PD上是否存在点E,使得/E〃平面PBC?若存在，请指出点E的位置并证明;

试卷第3页，共4页

若不存在，请说明理由.

⑵求平面PBC与平面PAB的夹角的大小.

19.在数列｛%｝中，％=1,20+|-%=〃+2.

(1)证明：数列｛。用-4-1｝为常数列.

⑵若“=含，求数列低｝的前"项和小

六、解答题

20.已知函数/'(x)=x2-办一2«+6,曲线了=/(x)在点(4J(4))处的切线斜率为葭.

(1)求。的值；

(2)当xe[0,b](b>0)时，“X)的值域为[0,句，求b的值.

七、证明题

21.已知双曲线宁磊=3°/>°)的右焦点为尸(⑺刀)，渐近线方程为y=±等x.

(1)求双曲线C的方程.

(2)已知双曲线C的左、右顶点分别为48,直线>=h+加与双曲线C的左、右支分别交于

点、M,N(异于点43),设直线的斜率分别为3月，若点⑺,耳)在双曲线C

上，证明勺色为定值，并求出该定值.

22.已知函数[(x)=asinx-(〃+l)x.

⑴当“=-；时，证明：“X)只有一个零点.

(2)若xe(O,兀)J(x)+尤cosx>0,求a的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据题意，结合集合间的运算，即可求解.

【详解】根据题意，易得MUN={1,2,3},故电（MDN）={4,5}.

故选：A.

2.D

【分析】根据复数运算法则化简求解即可.

2

［详解】二2(l+2i)-6+8i68.

==1--1

1-21(l-2i)(l+2i)------5---------55

故选：D.

3.C

【分析】利用单位向量的定义、数量积运算性质即可得出.

【详解】因为（3+2石）.（3-3）=32-2庐+3石=1-2+限在=-：,

一1

所以］小二不

故选：C

4.D

【分析】根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案.

【详解】设等比数列{4}的公比为9,贝1」（4+。3+。5）夕=。2+。4+。6，解得夕=2.

S12—$6=%+Q8H+Q]2=(4+出+,,,+〃6)X2‘=3x2，=192.

故选：D.

5.D

【分析】表示出尸坐标，由Z5//0P,可得左”二左00，求解即可.

【详解】令C:二+E=l（a>b>0）中x=c,则y=

aba

ajaac

因为43//OP,所以左婚=自尸，则2=生，

aac

即Z?=C,Q="2+02=y［2c，

答案第1页，共14页

6.B

【分析】利用三角恒等变换可得答案.

【详解】因为sina+cosa=A/5sin[a+：]=,所以sin[a+；]=cos/?=sin[^~/?

,、r兀兀八7T7T1广.7C兀3兀7T八„7C

因为as4f2平£~4'2'所以。+彳昼2,~4~，丁0昼'

所以a+巴+百一月=兀，则a—尸=工.

424

故选：B.

7.C

【分析】本题考查函数的应用，通过数学建模列不等式求解.

【详解】100℃的物块经过Zmin后的温度a=20+80eW60℃的物块经过皿足后的温度

02=20+40e7・

_t_

要使得这两块物体的温度之差不超过10°C,即须使20+80ek20+40}<10,

解得d8山2=5.52,即至少要经过5.52min.

故选：C.

8.A

【分析】根据题意构造函数，利用导数研究其单调性，代入数值，可得答案.

【详解】设函数/（xbinx+lT/。”二,

因为xe（0,l）上/''（尤）＜0,尤e（l,+co）上尸（尤）〉0,

所以“X）在（0,1）上单调递减，在。,+⑹上单调递增,

答案第2页，共14页

则/(无)2/⑴=0,所以当且仅当x=l时，等号成立.

991

令工=一,则In—>一.

889

设函数g(x)=lnv-?,g'(x)=，

因为xe(O,e)上g[x)>0,XG(e,+8)上gz(x)<0,

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+⑹上单调递减，

3310121_型

则g(x)Wg(e)=0,所以g⑶=ln3上<0,即/3<1<上,所以3<炉」“丁.

ee99

综上可得：a>b>c.

故选：A.

9.ABD

【分析】延长三棱台的侧棱，可证得几何体为正三棱锥，根据正三棱锥的结构特征及三角形

三边关系、线面垂直的性质定理可判断选项A,B,D；由线面角的几何法可判断选项C.

【详解】延长交于点尸，设45,4。的中点分别为。,石，连接C。，族并交于

点。，

C'A'PC

连接尸O.在△HC中，CA1IICA,所以号=靠，可得PC=1,PC=2.

同理可得尸N=P8=2,所以三棱锥尸-48C为正三棱锥.

XPC2+PA2=AC2,所以尸CLP”,即CCU44',A正确；

易得431平面尸OC,所以CC'，4B,B正确；

因为尸。工平面48C,所以ZPC。为直线CC'与平面4BC所成的角.易知

CD=46,CO^—,PO=—,COSZPCO^—=—,C^；

33PC3

因为C'为尸。的中点，所以三棱台/8C-49。的高为!尸。=也，D正确；

23

故选：ABD.

P

A

答案第3页，共14页

10.ABD

【分析】函数了=同词一有零点，即函数y=卜加|与、=，的图象有交点，画出函数〉=回回

与＞=，的图象，结合图象求解即可.

【详解】因为函数了=同时-/有零点，所以fe[0,l].

画出函数〉=同1^|与y=f的图象，如图所示.

■K

‘、TT«：

0xi必"彷x

当，=0或1时，经验证，符合题意.

当，£(0,1)时，由题意可得工2—西=%3-x2.

因为％2+再=兀,％2+%3=2兀，所以石=3/~，t.

一一1424342

故选：ABD.

11.ACD

【分析】利用赋值法，可判断A；令函数8卜)=与1,计算得g(x)为常函数，可依次判断

B,C,D.

【详解】令x=y=0,则/(0)=0,A正确；

当xwO且yw-1时，由(y+l)/(x)=犷(了+1),得,

令函数g(x)=〃^,则g(y+i)=,

所以g(x)=g(y+i),所以g(x)为常函数，

令g(x)=左，则/(x)=H,所以/(x)是奇函数，C正确;

当左/0时，/(1)=上片0,B错误；

因为函数/(X)在定义域内单调递增或单调递减，

所以没有极值，D正确.

故选：ACD.

12.ABD

答案第4页，共14页

【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆C*的方程判断B；求出圆加的圆心到y

轴的距离，结合直线与圆相交判断C；求出点纥的纵坐标判断D.

【详解】圆。的圆心G（-3,l）,直线PC1的方程为卜=!小-（x+2）,即x+y+2=0,

由两圆内切连心线必过切点，得圆「的圆心都在直线尸。上，即圆G的圆心都在直线

x+y+2=0上，A正确;

卜*+然=-2

显然|”=百斤+1）,设点4(4,%),［正+『上+2=6（左+1）'而/<一2,

解得乙=-"3,"=左+1,因此圆Ck的圆心就（-",，），半径为四=1（后+1）,

2222

圆Q的方程为（X+彳）2+（J-f）2=攵*，则圆C?9的方程为

(X+52)2+3-50)2=5000,B正确;

圆G的圆心到了轴距离为彳，若圆c”轴有交点，则容v—，

解得上24忘+3之8.6，而左eN+，因此左29,C错误;

在（》+—）2+（了-A±l彳=四空中，令x=-2,得点％的纵坐标为人+1,因此|BkBk+l|=1,

D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：直线I：y=kx+b上两点A（xt,yi）,B（x2,y2）间的距离|AS|=Jl+P|x,-x2|;

直线/：产叼+f上两点/（再,弘）,3（工2，%）间的距离/-及|.

13.生

6

【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.

【详解】因为歹=sinx+1=sin［6一己］一7^2左兀+£Z,

所以函数了=$1说+1的图象可由函数了=311，-言）+1的图象至少向右平移野个单位长度

得至九

11兀

故答案为：——.

O

答案第5页，共14页

14.（0,+8）

2%>0

【分析】画出/(x)的图象，数形结合得到C/求出工的取值范围.

2x>x-l

【详解】画出的/、图象,数形结合可得2出x>>0、7解得X>。.

故答案为：(0,+“)

15.I

【分析】根据已知设4-七办网后,。),。3,/),由垂直关系有而.而=0，可得

加2=°-1求。的范围且a-〃/=1,即可求三角形面积最小值.

【详解】设/卜右,。),8(后,。),。(根,叫，

因为为直角三角形，

所以AdZ)=(〃7+6)(〃?一人)+(——a)=0,BPm2-a+^m2-a)2=0.

因为加2-。A0，所以机。=。―iz0=>a21.

所以S“BD=!"m川加出“.

故答案为：1

,,2326

10.----------

3

【分析】根据题意，利用割补法结合相关提交公式运算求解.

答案第6页，共14页

【详解】过直线和直线P。分别作平面a,平面广，平面a和平面尸都平行于竖直的正

六棱柱的底面，

则该竖直的正六棱柱夹在平面&和平面。之间的部分的体积为把X2?X4=246.

2

如图将多面体43CDW分成三部分，其中VABFM^VDCEN=-x-xlxV3xl=1,

A—DrMD-LtLNre，，

32o

三棱柱BFM-CEN的体积为，xlx君x2=6,

2

所以多面体48ayw的体积为立、2+百=逑.

63

两个正六棱柱重合部分的体积为246-4x羊=用.

一个正六棱柱的体积为X8X22X8=48VL

2

故该几何体的体积为2x48后-也5=空".

33

故答案为：空述.

3

17.⑴/C=5；

(2)2.

【分析】(1)由题设求得/3=10,cosB=等,再应用余弦定理求ZC；

(2)由正弦定理可得/C=2J7sin/4JDC=2S_sin/4JDB,再由48=4J7sin,即可

得结果.

【详解】(1)在RtZUAD中，AB=」BD。-AD?=1Q,COSB=%=迎.

BD14

在AA8C中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=25,解得/C=5.

答案第7页，共14页

(2)在A/CD中，.，：一=.,所以/C=2近sinZ4OC=2"sinZ4O8.

smZADCsmZCAD

在/\ABD中，ZBAD=90°,sinZADB=,所以AB=4A/7sinZADB.

BD

,,AB44sin/ADB°

故一=-V-------------=2.

AC2J7sinZADB

18.(1)存在；E为尸。的中点，证明见解析

【分析】(1)先构造平行四边形证明线线平行；再利用直线和平面平行的判定定理即可证明.

(2)先建立空间直角坐标系，求出平面尸BC与平面尸48的法向量；再利用空间夹角的向量

求法即可得出答案.

【详解】(1)当E为PD的中点时，月E〃平面尸8c.

理由如下：

设尸为尸C的中点，连接EF,FB,AE.

则在APCD中，EFIICD,EF=-CD.

2

因为CD=248,48〃CO,

所以EF〃&B,EF=AB,

所以四边形EFBA为平行四边形，

所以4EIIBF.

因为8/u平面尸BC,AE<zPBC

所以ZE〃平面尸3C.

答案第8页，共14页

(2)以。为坐标原点，。4。。,。尸所在直线分别为阳八2轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.

^PD=CD=AD=2AB=2,则尸（0,0,2）,C（0,2,0）,8（2,1,0）,Z（2,0,0）,

PB=（2,1-2）,PC=（0,2,-2）,AB=（0,1,0）.

设平面PBC的法向量为m=（x,y,z）,

m•PB=0,[2x+y-2z=0

则1_即＜

m-PC=0,[2y-2z=0

令y=2,则成=（1,2,2）.

设平面PAB的法向量为w=(x”i,zj,

n-PB=0,2xj+%一2Z1=0

则—即

n-AB=0,7=0

令X]=l,则”=（1,0,1）.

设平面PBC与平面PAB的夹角为。,

m-n交

cos0-cos（m,n

Hlnl2

ITTT

所以八“即平面与平面尸的夹角的大小为丁

19.(1)证明见解析

⑵一3〃+4

9・4〃T

【分析】(1)化简得2(。用““-1)=0“-％即可证明；

(2)应用错位相减法即可求解.

【详解】(1)令〃=1,得2%-％=1+2,则4=2.

因为2%+1-%=〃+2①，所以24-0“_]=«+1(M>2)@.

①-②得2。用一/一(2%-%-)=1,即2-%T)=%-%T.

因为%-%-1=0,所以数列｛。角-。“-1｝为常数列.

答案第9页，共14页

(2)由(1)可得.用-%-1=0,所以｛%｝是公差为1的等差数列,

所以a.=〃.

ri]23n

因为，二后，所以(=下+干+不■+…+不工③

10123n

-T=-^+-^+—+…+——④.

4n442434〃

/3Tli111n

③-④倚1北=0+“+7+/+…+kF

43〃+4

4〃33・4〃

所以北若3〃+4

9・4"T

20.⑴”1

(2)2

【分析】(1)求出函数的导函数，代入计算可得；

(2)求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分0<641、6>1两种情况讨论，求

出函数的最小值，从而求出参数的值.

【详解】(1)因为/@)=/-办一2«+6,所以/"(%)=2丫一”(.

113

依题意/'(4)=8-叱5=不，解得a=l.

(2)由(1)可得/(x)=--x-2《+6,则广(无)=2x、yT.

yjx

令函数g(x)=2x«—«—l,贝lg'(x)=3«_£^=.

当时，g'(x)>。；当0<x<)时，g'(x)<0.

66

所以g(x)在/,力上单调递减，在1，+：)上单调递增.

因为g⑼=T，g(l)=0,所以当尤>1时，g(无)>0,即〃(x)〉0；

当0cx<1时,g(x)<0,即/1x)<0.

所以“X)在。,+⑹上单调递增，在(0,1)上单调递减.

答案第10页，共14页

当0<6Vl时，〃x)在［0回上的最小值为［伍)=从_6_26+6=0,解得修：〉〃舍去•

当。>1时，“X)在［0回上的最小值为了⑴=-2+6=0,解得6=2,

止匕时/(x)=x2_x_26+2,/(O)=2,/(2)=4-2A/2<2,

即当尤e［0,2］时/■(x)e［0,2］,符合题意.

综上，6的值为2.

21.(1)—-^=1

♦43

(2)证明见解析，定值为」5+3同

【分析】(1)利用渐近线的定义得到6=再利用A。的关系即可得解；

2

(2)由题意得到苏-4公=4,再联立方程得到王+乙户也，进而得到乃％,马-国，从而利

用斜率公式进行化简计算即可得解.

【详解】(1)因为渐近线方程为/=±@x,所以2=3,即6=也.,

2a22

7

所以。2=/+〃=7,贝Iq=2,6=6，

故C的方程为=

(2)依题意，知/(一2,0),3(2,0),

因为点(外限)在双曲线C上，

答案第11页，共14页

贝A=48（冽2一4-+3）=336>o,

-4m2-12

设W（X|,yJ,N（X2，%）,则Z>尤一再+/=叱2户/=232

3—443—4左

2T?〃+”+/

所以必%=kXxX2+痴（玉+X2）+加2

3—4左23-4k2

3（〃z2-4左2）|2

3—442—3—4左2

/8km12+4（4加2+]2）

皿3-4/）+3-4/~

4A/3OT2-12Z:2+9_4®

|3-43一14日

_42_17所以马一玉="

因为xx=---m---<0,所以3—4k2>0，

r123—4左2

12

故上他=人-4=——产=_3^

再+2x?-2再入2+2（工2—再）—4—4加一12+84214

3—4/3-4F-

___________121215+3收

-4%2-12+8万-12+16左2—16—24+8收8

故《也为定值，定值为」5+3®.

8

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程，设交点坐标为(占,%),(%,%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或丁)的一元二次方程，注意A的判断;

(3)列出韦达定理;

(4)将所求问题或题中的关系转化为国+9、网工2(或%+力、必%)的形式;

(5)代入韦达定理求解.

22.(1)证明见解析

（2）