辽宁省瓦房店高级中学2023年高考数学考前最后一卷预测卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某地区高考改革，实行，3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选

一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名

学生的不同选科组合有（）

A.8种B.A种C.16种D.20种

\Bc\=2,BABC=-2PC（PA+PB+PC）

2.已知AABC中，।।.点P为BC边上的动点，则的最小值为（）

_3_25

A.2B.4C.-2D.12

3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是（）

A.8c巾2B12cm2

4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是‘每个大于2的偶数可以表示

为两个素数（即质数）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是（）

113

A.14B.12C.28D.以上都不对

y-_m_x_+_\

5.已知函数〉=。*2（">°且aol的图象恒过定点尸，则函数x+n图象以点尸为对称中心的充要条件是（）

m==—m=-l,n=2

•D•

Cm=1/=2口m=—l,n=—2

（吟3

cosa+—=—

6.设a为锐角，若I4J5,则sin2a的值为（）

17_YL

A.25B.25c.25D25

7.已知角“的终边经过点则2si股+cosa的值是（）

2_2_22

A.1或TB.5或5c.i或5D.T或5

—=2z+l

8.已知i是虚数单位，若j，则（）

A.6B.2c.MD.10

io.已知函数—以-i,以下结论正确的个数为（）

①当a=°时，函数/（X）的图象的对称中心为（°，T）；

②当。23时，函数Ax）在（-1，1）上为单调递减函数；

③若函数〃©在（T'D上不单调，则。＜。＜3；

④当a=12时，/（x）在［Y，5］上的最大值为［.

A.1B.2C.3D.4

/G)=sin|+cos<ux（（o>0）.]L

11.已知函数在1。H上的值域为u,则实数e的取值范围为（）

12.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为A8中点，F为co的三等分点（靠近。）若“"="”0+加“，则

的值为（）

_1_2_1

A.2B.3C.'D.T

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

—+—=1（67>/>>0）

13.已知椭圆「a2b2,Fl、F2是椭圆「的左、右焦点，A为椭圆「的上顶点，延长AF2交椭圆「

AARF

于点B,若△1为等腰三角形，则椭圆「的离心率为.

14.已知向量加=（一2/），〃=（4,y）,若碗则M+"|=.

x2V2

C：—+—=>b>0）pp下门①

15.己知椭圆a2b2的左右焦点分别为♦2,过"2W且斜率为1的直线交椭圆于AB,

若三角形耳48的面积等于衣2,则该椭圆的离心率为________.

16.已知函数〔2x2+—+c,尤<°是偶函数，直线y='与函数）'='Q）的图象自左向右依次交于四个不同

点A,B,C,D.若AB=BC,则实数t的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆°：4,不与坐标轴垂直的直线,与椭圆。交于加，N两点.

（I）若线段"N的中点坐标为I求直线’的方程；

（II）若直线/过点（4,0），点PQ。。）满足+鼠=°（kpM,鼠分别为直线PM,PN的斜率），求为的值

C.二+?2-1

18.（12分）设椭圆的右焦点为尸，过尸的直线,与0交于A*两点，点M的坐标为（2，°）.

（1）当直线/的倾斜角为45°时，求线段AB的中点的横坐标；

（2）设点A关于x轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；

（3）设过点M的直线交椭圆于G，”两点，若椭圆上存在点P,使得°6+°方=九°尸（其中0为坐标原点），求实数

入的取值范围.

19.（12分）设椭圆从2+'I直线4经过点"Q"）,直线"2经过点直线直线1,且直线Z2

分别与椭圆£相交于A8两点和C'°两点.

（1）若用，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线轴，求四边形A8CO的面积；

（H）若直线〈的斜率存在且不为0,四边形A8C。为平行四边形，求证:加+〃=°；

（川）在（II）的条件下，判断四边形ABC。能否为矩形，说明理由.

20.（12分）在如图所示的四棱锥尸-A8CO中，四边形ABCZ）是等腰梯形，AB〃CD,乙48c=60°,ECJ■平

面ABC。，AC1BFCB=CD=1

（1）求证：AC_L平面8C77；

在

（2）已知二面角/一80-C的余弦值为5,求直线4F与平面。尸8所成角的正弦值.

21.（12分）如图，四棱锥「一ABC。的底面为直角梯形A8//DC,NABC=90°,AB=BC=\?CD=2,PC±

底面AB。。，且尸C=@后为CD的中点.

p

（1）证明：BEVAP.

（2）设点知是线段BP上的动点，当直线AM与直线OP所成的角最小时，求三棱锥尸一COM的体积.

22.（10分）已知函数y=/（"）与的图象关于直线y=x对称（e为自然对数的底数）

（1）若y=的图象在点AQO'/Q。》处的切线经过点（一e，—1）,求”的值；

/（xX—ax2-（l-a）x-l

（2）若不等式2恒成立，求正整数0的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果

【详解】

若一名学生只选物理和历史中的一门，则有=12种组合；

若一名学生物理和历史都选，则有匕一种组合；

因此共有12+4=16种组合.

故选C

【点睛】

本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型

2、D

【解析】

以BC的中点为坐标原点,建立直角坐标系，可得"I'。''。''。）,设尸（"」））A（x,））,运用向量的坐标表示,

求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值.

【详解】

以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

r/(-LO),C(LO)、几尸(〃，O),A(x,y)

可得，设，

由BA,-BC——2

俎(x+1,y)・(2,0)=2x+2=-2%=一2,ywO

可得，即^

PC(PA+PB+PC)=(l-a,O)G-a-l-a+l-a,y+O+O)

则

=(1-Q)(X-3Q)=(1-Q)(-2-3Q)=3a2—Q—2

a=gPC(PA+PB+PC)

当6时，的最小值为12

故选D.

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

3、D

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为＞/日6=有，所以侧面积为

4x—x2xy/5=4-75Q-Js+4X/M2

2.所以该几何体的表面积是

故选：D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题

4、A

【解析】

首先确定不超过2°的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果

【详解】

不超过2°的素数有2,3,5,7,II,13,17,19,共8个,

从这&个素数中任选2个，有。：=28种可能;

其中选取的两个数，其和等于2°的有Qi,），Gm）,共2种情况,

故随机选出两个不同的数，其和等于2°的概率2814

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

5、A

【解析】

由题可得出p的坐标为Q』），再利用点对称的性质，即可求出机和

【详解】

J尤-2=0

根据题意，,所以点尸的坐标为（2』），

mx+1m(x+〃)+l一m"

又x+〃

所以m=1'〃=-2

故选：A.

【点睛】

本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题

6、D

【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.

【详解】

故选：D.

【点睛】

本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.

7、B

【解析】

根据三角函数的定义求得sinmcos"后可得结论.

【详解】

八r=J（-4.1+（3.E=5\mI

由题意得点尸与原点间的距离V1I

①当机＞°时，r=5m

3m3-4m4

S1H67——,COSCl-—―

5m55m5

.342

2sin〃+cosa=2x二一一二一

555

②当机<°时，r=-5m

3m3-4m4

sina二----=一一，cosa=----=—

-5m5-5m5

2

2sina+cosa=2x

5

2_2

综上可得2sin«+cosa的值是弓或5.

故选B.

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,

该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.

8、C

【解析】

根据复数模的性质计算即可.

【详解】

—=2z+l

因为一，

所以z=（i）（2i+D,

Iz1=11-«I-I2z+11=72x75=710

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题

9、A

【解析】

.5（-x）+2sin（-x）5x+2sinx_

因为,r—一3-7-3V-3-X所以函数/a）是偶函数，排除B、D,

y（n）=5n>0

又3"-3-",排除C,故选A.

10、C

【解析】

逐一分析选项，①根据函数的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件,

则极值点必在区间J1』）；④利用导数求函数在给定区间的最值.

【详解】

①>=心为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数“X）的图象的对称中心为正确.

②由题意知/(x)=3x2-a,因为当一1<尤<］时，3x2<3>

乂"河所以/(x)<°在(T，D上恒成立，所以函数/(x)在(T/)上为单调递减函数，正确.

③由题意知“")—3x2a当440时，f(x)>Qt此时/(x)在(-8，+8)上为增函数，不合题意，故。>0

,_x=土叵

令/(x)-0,解得3.因为/(x)在(T，D上不单调，所以广。)=0在(T,l)上有解，

0<迤<1

需3,解得0<a<3,正确.

④令/(X)=3X2-12=0,得》=±2.根据函数的单调性，"X)在145】上的最大值只可能为,(一2)或/(5)

因为〃-2)『(5)=64,所以最大值为建,

结论错误.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值,意在考查基本的判断方法，属于基础题型

11、A

【解析】

KJ簿’3

-F-j(ox33'"』；根据""一5,结合心)的值域和s】m.的图象，可知

将/tv)整理为\力，根撩的范围可求得

7C才2万

-<K(t)4--<—

233,解不等式求得结果.

【详解】

/、/4H元下.3匚.(”

f\x)-sinkox+-］+cos3r=sinwxcos-+cos3Ksm二+coscox=：sin3V+;cos3V=(3§叫5•4-

\6)166

X［乃JT

当》日0.才|时，，L，”

fid)4sin-=一/isn-=一、仄山一=\'5

又32,3292

E同产7r2及

由念)在［oz］上的值域为613~.

r

解得：［6ji

本题正确选项：/

【点睛】

本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从

而得到关于参数的不等式.

12、D

【解析】

使用不同方法用表示出然一，结合平面向量的基本定理列出方程解出.

【详解】

AF=AD+DF=-AB+AD

解：3,

AF=xAC+yDE=x(AB+AD)+y(-AB-AD)=(x+-y)AB+(x-y)AD

又22

5

x+—y=-i49

234

y=——

解得〔9

,所以＞一苫=

故选：D

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】

由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设伊7y=’，由题可得忸的长，在三角形A'。中，三角形'々勺中由余

弦定理可得,AB勺的值相等，可得a，’的关系，从而求出椭圆的离心率

【详解】

如图，若I为等腰三角形,则IBF1ITABI.设IBF2l=t,则|BFl|=2a-t,所以|AB|=a+t=|BFl|=2aT,解得a=2t,即

—c=\OF2\=

IABHBFII=3t,IAFll=2t,设/BAO=8,贝lJ/BAFl=28,所以「的离心率e="11sin6,结合余弦定理，易得在

cos20=1=1-2sin20sin20=2.2^

।中，3，所以3,即€=如9=3

故答案为:3

【点睛】

此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题

14、10

【解析】

根据垂直得到y=8,代入计算得到答案.

【详解】

m±nt则说工=(-2,l>(4,y)=-8+y=0,解得y=8,

“2帚+日=(一4,2)+(4,8)=(0,10)」2蔬+司=10

故，故।।

故答案为：10.

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力

15、g

【解析】

,，一,r=V4-1,C?2+/?2)y2+262)+/?2—。2人2=0

由题得直线48的方程为冗代入椭圆方程得：7)

/、/、-2b2b2—a2b2

设点A则有乙+%-G+C--二+枚,由

S=lxIFFIxly-y\=y/2bi

"*2'2''2，且成一加=1解出“，进而求解出离心率.

【详解】

,上+四=1

由题知，直线AB的方程为X-y+l,代入成b2消x得：

C/2+4)>2+2b2y+£>2-a2b2=0

-2b2b2—a2b2

A（x,y）,B（x,y）y+y=,>yy

设点112/2,则有>2a2+b212GJfbl

y=y+y4yy-2/?2Y4b?-a2b2_2abyja2+』2-1

-'-\yi-）/i2^~i2

Q2+32JQ24-/72Q2+Z72

而％13叱卜卜讣?2X2»：-二@2

又Q2一从=1

le=—=——=y/3-l

_V3+1a#+1

解得：2,所以离心率2.

故答案为：W-1

【点睛】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力

5

【解析】

由f（x）是偶函数可得x>°时恒有/（—X）=/（©,根据该恒等式即可求得“，b,c的值，从而得到“X），令'=/（X）,

可解得4,B,C三点的横坐标，根据AB=8C可列关于'的方程，解出即可.

【详解】

解：因为/⑶是偶函数，所以x>°时恒有/（-x）=/（x）,即2x2-bx+c=g-4x-l,

所以(a-2)x2+(6-4)x-c-l=0

a—2=0

<b—4=0

所以卜+1=°，解得。=2,b=4,c=-l.

2x2-4x-l,x^0

fM=\

2x2+4x-l,x<0

所以

x=-1±-12t+6

由，=2x2+4x—1,gp2x2+4x-1-r=0,解得2

x=-l--V2r+6x=-l+-72r-f-6

故A2,B2

由，=2X2-4X-1,gp2x2-4x-l-r=0,解得'一"4

x=1--+6x=1+，J2f+6

故02,。2.

5

r—

因为AB=8C,所以『匕='-「，即右+6=23+6,解得2t

5

故答案为:2

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)*+2丁-2=0(H)x0=l

【解析】

(I)根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；

L_1.b=f)

(II)设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据PM.一，即可求得参数的值.

【详解】

才+”，

<

了2

小、0(7)N(x,y)才+>厂L

(1)设11,22,则L

(%-X)(%+X)/\(、八

—1---2---1---2-4-ly-yAy+y7=0

而吓田、小V7T4B41212/业、

目颂，号

因为线段MN的中点坐标为12),所以5+%=2y+y=1

，12

(口).2+6_y)=0

代入(*)式，得412

女=4^=」

所以直线/的斜率X1-X22.

1_1，

y_____(x—1n),

所以直线’的方程为22,即尤+1y-2=0

c=zny+4,

<ai

一+)2=1.

(II)设直线'：x='")'+4联立'4.

+4“2+Smy+12=0

整理得

A=64机2-4xl2xCn2+4)

所以解得帆2>12

Sm12

y+y=-----Tyy=•

所以12侬+4,'2m2+4

y(x-x)4-y(x-x)

k+k=»+——i_,1•)n：/。：八

所以PMPNX-%X-X(x—x-x)

oo1020

xy+xy-(y+y(机y+4)y+(my+4)y-(y+y)x

=1b[?、n=__；iix}\/1n

(x-xAx-X){x-x)[x-x)

10201020

2myy+(4-x)(y+y)

____,:ni、】=0

U-XAx-X)

1020

.2myy+(4-x)(y+y)=0

所以r20‘1/2

8m8m(x-1)

2myy+(4-x)(y+y)=2a-12+(x-4)-

-=-0=0

所以120I2W2+40m2+4m2+4

因为所以％=1.

【点睛】

本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题

2

18、(1)AB的中点的横坐标为行；(2)证明见解析；(3)(一2,2)

【解析】

A(x,y),B(x,y)

位1122.

y=x-i

(1)因为直线/的倾斜角为45°,产(1，°),所以直线AB的方程为＞联立方程组〔—5++»2一-1，消去,并整理,

4x+x2

X*+X*——1Q——

得3x2—4x=0,则।23'2-3,

2

故线段AB的中点的横坐标为不.

(2)根据题意得点c(q，r;),

若直线AB的斜率为0,则直线AB的方程为>=°,A、C两点重合，显然M,B,C三点共线;

若直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为+

x=my+i

<X2〔

—+y2=1

联立方程组l2,消去x并整理得(侬+2)户+2切-1=0,

2m1

y+y=-------,yy=-------

k

则'2m2+2-•2加2+2,设直线BM、CM的斜率分别为。M、CM>

则

,,~yyy(x-2)+y(x-2)y(my-l)+>'(my-1)2myy-(>'+)»)

K—K---2-----1-=T1—!-------1-2------21------12----------1----12

BMCM2-x2-x(x-2)(x-2)(my-1)(〃2y-1)l-m(y+y)+/W2yy

2112121212

-2m2m

■+

m2+2+2=o

,2m2m2

IH--------------.1

加2+2ml+2,即。M=%〃，即M,B,C三点共线.

（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为丫="0-2）,

设尸（＞4）0（2七）田3%）

y=k(x-2)

«X2.

一+J2=1

联立方程组2消去）'并整理，得（1+2攵2）k-8攵2工+8攵2-2=0

,18人8公一2

由△=64匕-4(1+2攵2)(8攵2-2)＞。，整理得2,又匕+匕1+2&1+2公

4〃

y+y=k(x+x-4)=-------

所以34341+2上

结合。G+加=九。＞，得菽0=二+［，包=丫3+刀,

当九=。时，该直线为x轴，即y二°

此时椭圆上任意一点P都满足oG+。m=入。户，此时符合题意;

18&2

X——'---------

＜。九1+2上

_£-4k32gT6k2,

-----------F---------=1

当入。0时，由+O/Z=九。户，得‘0九1+2公代入椭圆C的方程，得Q(l+2公)2Q(l+2&2)2,整理,

、16k216

A2-------=------

1+2公I-

得k2,

再结合2,得到℃2V4,即＞€(-2,0)U(0,2),

综上，得到实数九的取值范围是（一2,2）.

19、（I）2点；（H）证明见解析；（III）不能，证明见解析

【解析】

,计算得到面积.

4k2m

X+x=--------

122攵2+1

2k2m2-2网=际2^^〃建+8

（ii）设（为，="Q-联立方程得到xx=------------

122A2+1计算2k2+1,同理

,根据M=|C°I得到加2="2,得到证明.

（III）设AB中点为？»,根据点差法得到。+2妨=0,同理c+2Zd=0,故p。2k*kt得到结论.

【详解】

ZX/XA（—1,小

⑴加-1,。），N（l,。），故12

故四边形4BCD的面积为S=2jE.

X2

T+y2=1

(222+1)x2一422mX+2m222—2=0

…,y=k\x-m),y=k\x-rn)

(II)设］为,，则故

4k2m

X+X

122k2+1

2k2m2-2

xx=------------

设gM,叱匕）故I122A2+1

:，16公一8公加2+8

|AB|-j+k,2|x-x|=Jl+公J(x+xj-4xx->Jl+k

2&2+1

|CD卜标业±8公〃2+8

同理可得2左2+1

出6k2-8上加2+8r~直也6k2-8)2〃2+8

ABJl+%2上+

火2V+*21

\\=\CD\故2+1

即m2=nz,m手n,故〃2+几=0

Q-t-+y2=1-2-+y2=1

(IH)设相中点为尸脑，叫则2।,22

(x+xXx-x)7\

—J——2——i——+yAy-y7=0

相减得到2121即a+2kb=0

同理可得：CD的中点满足c+20=0,

.d-bd-b11

故PQc-a-2kd+2kb2kE,故四边形ABC0不能为矩形

【点睛】

本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力

在

20、(1)证明见解析；(2)5.

【解析】

(1)由已知可得CF,AC,结合AC,BR,由直线与平面垂直的判定可得ACJ•平面BCb；

⑵由⑴知，AC,。则C4,%“两两互相垂直，以C为坐标原点，分别以5C3,5所在直线

更

为x,',z轴建立空间直角坐标系，设/(°,0,“)，由二面角尸一BO-。的余弦值为5求解。，再由空间向量求

解直线4尸与平面OFB所成角的正弦值.

【详解】

(1)证明：因为四边形48C。是等腰梯形，AB//CD(ZABC=60°,所以/4。0=/8。£>=120°又44=。

所以ZACZ)=30。,

因此4c8=90°,AC1BC,

又AC1B/7

且5。口8尸=8,BC,BEu平面5C/7,

所以AC,平面8b

(2)取8。的中点G,连接CG,FG

由于CB=CO,因此CG,BO,

又尸。~L平面ABC。，8£)u平面A3CZ),所以下。_1_3。

由于bCcCG=C,FC,CGu平面尸CG

所以30,平面尸CG,故BDLFG,

所以NFGC为二面角b-BO-C的平面角.在等腰三角形8C°中，由于ZBCO=12()。

CG=1

因此2,又CB=CF=1

cosZFGC叵

因为5,所以tan/FGC=2,所以〜=1

F（0,0,1）B（0,1,0）

以％为光轴、a为>轴、a7为z轴建立空间直角坐标系，则22

/方=（且L—1B力=（且2,0、

I22）I22J

，，

设平面尸的法向量为〃=（乂%Z）

褥1n

——x-^y-z=0

I22

FDn=0串

所以1%=°,即〔22y,令X=®则y=l,Z=l,

则平面DBF的法向量〃=G11）（-73,0,1）,

.c\AF-n\J5

sin0=—▼

设直线4尸与平面50尸所成角为8,则\n\\AF\5

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题.

2^/2

21、（1）见解析；（2）9.

【解析】

（1）要证明BELAP,只需证明8石工平面PAC即可；

（2）以c为原点，分别以CcAc"的方向为'轴、'轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求

1-

——-BM=-BP

并求其最大值从而确定出使问题得到解决.

cos<AM,DP>f3

【详解】

(1)连结AC、AE,由已知，四边形ABCE为正方形，则AC'BE①，因为PC_L底面

ABCD,则PC_LBE②，由①②知平面PAC,所以

(2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

20,0,应)，所以血=(一1,0,0),BP=(0,-1,y/2)DP=(-2,0,y/2)设两=九而