福建省福州市闽清县重点中学2024年中考一模数学试题含解析

福建省福州市闽清县重点中学2024年中考一模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，，，添加以下条件之一，仍不能证明≌的是A． B． C． D．2．小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元钱的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄的价格降低了25％，小宇妈妈又买了16.5元钱的葡萄，结果恰好比早上多了0.5千克．若设早上葡萄的价格是x元/千克，则可列方程（）A． B．C． D．3．如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＞ B．m C．m= D．m=4．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数45678人数36542每天加工零件数的中位数和众数为()A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，65．如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足-3≤a<0时，k的取值范围是（）A．-1≤k<0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥36．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥1.25 B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤27．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，，的平均数和方差分别是．A． B． C． D．8．下列运算正确的是（）A． B．C．a2•a3=a5 D．（2a）3=2a39．如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（）A．1 B．2 C．5 D．610．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为()A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为______．12．如图，a∥b，∠1=40°，∠2=80°，则∠3=度．13．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．则图中阴影部分的面积是____________.14．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为9m，那么这栋建筑物的高度为_____m．15．计算：（）•=__．16．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．18．（8分）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）19．（8分）在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）20．（8分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，且∠B=45°，AD=DC=1，点M为边BC上一动点，联结AM并延长交射线DC于点F，作∠FAE=45°交射线BC于点E、交边DCN于点N，联结EF．（1）当CM：CB=1：4时，求CF的长．（2）设CM=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（3）当△ABM∽△EFN时，求CM的长．21．（8分）某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．22．（10分）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM.求m的值和反比例函数的表达式；直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？23．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．24．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与轴交于点；点在反比例函数的图象上，以点为圆心，半径为的作圆与轴，轴分别相切于点、．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请连结，并求出的面积；（3）直接写出当时，的解集．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解析】

由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．【详解】添加，根据AAS能证明≌，故A选项不符合题意．B.添加与原条件满足SSA，不能证明≌，故B选项符合题意；C.添加，可得，根据AAS能证明≌，故C选项不符合题意；D.添加，可得，根据AAS能证明≌，故D选项不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2、B【解析】分析：根据数量=，可知第一次买了千克，第二次买了，根据第二次恰好比第一次多买了0.5千克列方程即可.详解：设早上葡萄的价格是x元/千克，由题意得，.故选B.点睛：本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找出列方程所用到的等量关系.3、C【解析】试题解析：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=32-4×2m=9-8m=0，解得：m=．故选C．4、A【解析】

根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5、C【解析】

解：把点（0，2）（a，0）代入y=kx+b，得b=2．则a=-3∵-3≤a<0，∴-3≤-3解得：k≥2．故选C．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大．6、A【解析】∵二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，a＝1>0，∴Δ≤0或抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0.当Δ≤0时，[－2(b－2)]2－4(b2－1)≤0，解得b≥.当抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2(b－2)>0，Δ＝[－2(b－2)]2－4(b2－1)>0，无解，∴此种情况不存在．∴b≥.7、D【解析】

根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可．【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是×32=3，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3，故选D．【点睛】本题考查了方差的知识,说明了当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差不变,即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍.8、C【解析】

根据算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及积的乘方的运算法则逐一计算即可判断．【详解】解：A、=2，此选项错误；B、不能进一步计算，此选项错误；C、a2•a3=a5，此选项正确；D、（2a）3=8a3，此选项计算错误；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的加减和幂的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及积的乘方的运算法则．9、C【解析】分析：根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．详解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，∴x=6，把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为5；故选C.点睛：本题考查了中位数的知识点，将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.10、C【解析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、110°或50°．【解析】

由内角和定理得出∠C=60°，根据翻折变换的性质知∠DFE=∠A=70°，再分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况，先求出∠DFC度数，继而由∠BDF=∠DFC﹣∠B可得答案．【详解】∵△ABC中，∠A=70°、∠B=50°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，由翻折性质知∠DFE=∠A=70°，分两种情况讨论：①当∠EFC=90°时，∠DFC=∠DFE+∠EFC=160°，则∠BDF=∠DFC﹣∠B=110°；②当∠FEC=90°时，∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠C=30°，∴∠DFC=∠DFE+∠EFC=100°，∠BDF=∠DFC﹣∠B=50°；综上：∠BDF的度数为110°或50°．故答案为110°或50°．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和定理，熟知折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质是解答此题的关键．12、120【解析】

如图，∵a∥b，∠2=80°，∴∠4=∠2=80°（两直线平行，同位角相等）∴∠3=∠1+∠4=40°+80°=120°．故答案为120°．13、（－）cm2【解析】S阴影=S扇形-S△OBD=52-×5×5=.故答案是:.14、1【解析】分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．详解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，，解得x=1，即这栋建筑物的高度为1m．故答案为1．点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．15、1【解析】试题分析：首先进行通分，然后再进行因式分解，从而进行约分得出答案．原式=．16、23【解析】∵投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，∴其概率是=．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．三、解答题（共8题，共72分）17、(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)为直角三角形；(Ⅲ).【解析】

（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标．（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形．（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；②当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．【详解】解：(Ⅰ)∵点在抛物线上，∴，得∴抛物线解析式为：，令，得，∴；令，得或，∴.(Ⅱ)为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点的坐标为.如答图1所示，过点作轴于点M，则，，.过点作于点，则，.在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：.∵，∴为直角三角形.(Ⅲ)设直线的解析式为，∵，∴，解得，∴，直线是直线向右平移个单位得到，∴直线的解析式为：；设直线的解析式为，∵，∴，解得：，∴.连续并延长，射线交交于，则.在向右平移的过程中：(1)当时，如答图2所示：设与交于点，可得，.设与的交点为，则：.解得，∴..(2)当时，如答图3所示：设分别与交于点、点.∵，∴，.直线解析式为，令，得，∴..综上所述，与的函数关系式为：.18、观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．【解析】

过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．【详解】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，在Rt△DEB中，tan∠DBE=，∵∠DBC=65°，∴DE=xtan65°．又∵∠DAC=45°，∴AE=DE．∴132+x=xtan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．19、（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】

（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球个，在A超市可买篮球个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得，解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买100个，根据A超市的方案可知在A超市一次购买：=44，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.20、(1)CF=1；（2）y=，0≤x≤1；（3）CM=2﹣．【解析】

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．首先证明四边形AHCD是正方形，求出BC、MC的长，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=12+（1+y）2，由△EAM∽△EBA，可得，推出AE2=EM•EB，由此构建函数关系式即可解决问题；（3）如图2中，作AH⊥BC于H，连接MN，在HB上取一点G，使得HG=DN，连接AG．想办法证明CM=CN，MN=DN+HM即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．∵CD⊥BC，AD∥BC，∴∠BCD=∠D=∠AHC=90°，∴四边形AHCD是矩形，∵AD=DC=1，∴四边形AHCD是正方形，∴AH=CH=CD=1，∵∠B=45°，∴AH=BH=1，BC=2，∵CM=BC=，CM∥AD，∴=，∴=，∴CF=1．（2）如图1中，在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=12+（1+y）2，∵∠AEM=∠AEB，∠EAM=∠B，∴△EAM∽△EBA，∴=，∴AE2=EM•EB，∴1+（1+y）2=（x+y）（y+2），∴y=，∵2﹣2x≥0，∴0≤x≤1．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，连接MN，在HB上取一点G，使得HG=DN，连接AG．则△ADN≌△AHG，△MAN≌△MAG，∴MN=MG=HM+GH=HM+DN，∵△ABM∽△EFN，∴∠EFN=∠B=45°，∴CF=CE，∵四边形AHCD是正方形，∴CH=CD=AH=AD，EH=DF，∠AHE=∠D=90°，∴△AHE≌△ADF，∴∠AEH=∠AFD，∵∠AEH=∠DAN，∠AFD=∠HAM，∴∠HAM=∠DAN，∴△ADN≌△AHM，∴DN=HM，设DN=HM=x，则MN=2x，CN=CM=x，∴x+x=1，∴x=﹣1，∴CM=2﹣．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.熟练运用平行线分线段成比例定理是解（1）的关键；证明△EAM∽△EBA是解（2）的关键；综合运用全等三角形的判定与性质是解（3）的关键.21、（1）篮球每个50元，排球每个30元.（2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球2个，排球2个；方案①最省钱【解析】试题分析：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据费用可得等量关系为：购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同，列方程求解即可；（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过1元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．试题解析：解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，依题意，得：解得．答：篮球每个50元，排球每个30元．（2）设购买篮球m个，则购买排球（20-m）个，依题意，得：50m+30（20-m）≤1．解得：m≤2．又∵m≥8，∴8≤m≤2．∵篮球的个数必须为整数，∴只能取8、9、2．∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球2个，排球2个，费用为1元．以上三个方案中，方案①最省钱．点睛：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解答本题的关键．22、（1）m＝8，反比例函数的表达式为y＝；（2）当n＝3时，△BMN的面积最大．【解析】

（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）构造二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详