专题5.2 平面向量的数量积及其应用【七大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题5.2平面向量的数量积及其应用【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面向量的数量积】 2【题型2平面向量夹角问题】 5【题型3平面向量的模】 7【题型4平面向量的垂直问题】 9【题型5向量数量积的坐标运算】 11【题型6向量数量积的综合应用】 12【题型7向量数量积与解三角形综合】 171、平面向量的数量积及其应用平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.【知识点1平面向量数量积的解题方法】1.平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【知识点2数量积的两大应用】1.夹角与垂直根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知识点3向量数量积综合应用的方法和思想】1.向量数量积综合应用的三大解题方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.【知识点4极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．【题型1平面向量的数量积】【例1】（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）在△ABC中，AB=4，AC=3，AB+AC=BC，则AC⋅BC=（

）A．−16 B．16 C．−9 D．9【解题思路】由BC=AC−AB得AB+【解答过程】由题意得在△ABC中，BC=故由AB=4，AC=3，得AB+AC2即16+9+2AB即AB⋅故AC⋅故选：D.【变式1-1】（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅A．2 B．8C．103 【解题思路】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.【解答过程】由题意可知，如图所示

因为菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120所以AB=AD=2设DG=λAG=因为BC=3BE，所以BE=AE=AG=1当λ=1时，AG⋅AE的最大值为故选：B.【变式1-2】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知平面向量a与b的夹角为45∘,a⋅b=2，且A．−22 B．-2 C．2 D．【解题思路】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出b，然后再根据向量的运算法则进行求解即可.【解答过程】a⋅b=因此可得：a→故选：C.【变式1-3】（2023下·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则AB⋅AP的取值范围为（A．2,23 B．2,5 C．2,4 D．【解题思路】根据给定条件，可得AP=AO+【解答过程】过点O作OD//AB交半圆弧于点D，连接AO,OP，如图，而△ABC是正三角形，则∠BOD=π3，令OP,当点P在弧BD上时，0≤θ≤π3，当点P在弧CD上时，0≤θ≤2π显然AO=3,OP=1,∠OAB=π所以AB=2×3故选：B.【题型2平面向量夹角问题】【例2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量a，b，c满足a=b=c=3，且aA．−223 B．−13 【解题思路】根据题意，结合向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为a=b=c=3a2+b2+2且a−则cos<故选：A.【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，向量a=−2e1+3e2，b=2me1−2eA．1 B．−4 C．2 D．−5【解题思路】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果.【解答过程】由题意，得e1所以a2b2而a⋅所以cos〈整理，得11m2−20m−4=0，解得m=2故选：C．【变式2-2】（2023·全国·学军中学校联考二模）O为平行四边形ABCD外一点，OA=3,OB=3,OC=2,∠AOB=π6,∠BOC=π3A．5π6 B．2π3 C．π3【解题思路】由平面向量数量积的运算律与夹角公式求解，【解答过程】由向量运算可知OD=则OB⋅而OD2OD2=4+3+9+0−6−9=1，得所以：cos所以向量OD与向量OB的夹角为2π故选：B.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，满足4OC⋅ACA．π6 B．π3 C．2π3【解题思路】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到4c2−4a⋅c=1−a2【解答过程】∵4OC即4c2−4∵4OB即4b2−4设向量a−4b与c−2∴cosθ=a−4b⋅c又θ∈0,π，故选：A.【题型3平面向量的模】【例3】（2023·云南昭通·校考模拟预测）已知|AB|=3,|BC|=2,|ABA．4 B．10 C．10 D．16【解题思路】根据条件，利用模的平方可求出AB⋅BC的值，再将【解答过程】由|AB可得|AB即9+36−6|AB所以|AB故|AB故选：B.【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）已知向量a，b，c都是单位向量，若(a−c)2A．154 B．2 C．152 【解题思路】根据数量积的运算律得到(a+b)⋅c=12，设【解答过程】由(a−c)2设a+b,c=θ所以a+又(a+b所以a−b≤152故选：C．【变式3-2】（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量a,b的夹角为π3,|a→|=2,|A．3 B．23 C．2 D．【解题思路】由a+λb⊥b，利用向量数量积运算可得λ=−1，即求【解答过程】∵a+λ∴a+λb∴λ=−a∴=2故选：A.【变式3-3】（2023下·浙江·高二学业考试）已知平面向量a、b满足|a|=2|aA．410 B．12 C．82 【解题思路】由题意可得a⋅b=3|a|2+36【解答过程】由a=2a−bb∴|3a−2b|a−2b∴|3a令m=则m⋅n≤当且仅当12|a所以|3a−2b故选：A.【题型4

平面向量的垂直问题】【例4】（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量a，b，c，满足a+b+λc=0，若A．−2 B．±2 C．2 D．±【解题思路】由a+b+λc=0，可得【解答过程】由a+b+λc=即a2+2a⋅b+b2=λ2c2故选：D．【变式4-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,AD=23ABA．66 B．306 C．63【解题思路】将MN,BC用AB,AC表示，利用【解答过程】依题意MN==1又BC=由于MN⊥BC，所以即16即−1即−1即−16×3+故选：A.【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=−1,−2，b=4,−2，若A．4λμ=1 B．4λμ=−1C．4λ+μ=1 【解题思路】用坐标表示向量a−λ【解答过程】法一：用坐标表示向量a由题意可知，a−λ由a−λ−1−4λ−1+4μ整理得，5−20λμ=0，所以4λμ=1．则A对；法二：因为向量a=所以a=又a−λ所以a−λ所以4λμ=1.故选：A．【变式4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量a,b的夹角为120∘，且a,b是函数fx=A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】由题知a=2,b=3【解答过程】解：因为函数fx所以a=2,b=3又a+λ所以a+λb⋅a=0当a=2,b=3时，4+λ×2×3×当a=3,b=2时，9+λ×3×2×−1综上，λ=3故选：A.【题型5向量数量积的坐标运算】【例5】（2023·四川雅安·统考一模）已知向量a=1,3,b=A．10 B．18 C．−7,8 D．−4,14【解题思路】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可.【解答过程】因为向量a=所以a+故选:A.【变式5-1】（2023·河南·统考三模）已知a=(−2,6)，b=(4,λ)，若a⊥(a−A．−22 B．22 C．−【解题思路】根据向量垂直及数量积的运算律有a⋅b=【解答过程】由题意a⋅(a−所以6λ−8=40，故λ=8，由cosa故选：B.【变式5-2】（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知平面向量a=255,55，b为单位向量，且(A．−255,−55 B．2【解题思路】根据向量垂直求得a⋅【解答过程】由题意a=1,∵(a+2b)⊥(a∴a⋅则向量b在向量a上的投影向量为a⋅故选：B.【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(A．2 B．3 C．5 D．6【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(a+b)⋅(a【解答过程】因为a=(x,1)，b由(a+b即x2+1−又因为a∥b，所以联立x2−y2=3故|c故选C.【题型6向量数量积的综合应用】【例6】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=2EC，AE⋅BD=−A．−2 B．−4 C．−15225 【解题思路】根据AE⋅BD=−23，根据线性运算进行变换可求得∠DAB=【解答过程】由题意知：BE=23∴AE=4cosθ−4+8以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系：∴A−3,0，E233,−∴AF⃑当t=−16时，AF故选：D.【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AB=3，AD=CD=2，M是CD的中点，N在BC上，且BN=13A．−31010 B．−1010 【解题思路】解法一

建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出BM，DN的坐标，最后利用向量的夹角公式即可得解；解法二

以AB，AD为基底，通过向量的线性运算用基底将BM，DN表示出来，再利用向量的夹角公式即可得解．【解答过程】解法一

如图，建立平面直角坐标系，则B3,0，D0,2，M1,2∴BC=−1,2，BM=−2,2，∴则DN=83故选：A．

解法二

设AB=a，AD=b，则a=3，b=2=8∴BM=DN=89∴cosBM故选：A．【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AM=1A．423,C．173,41【解题思路】根据已知可得A到BC的距离为2，△ABC为等腰直角三角形，若D,E为BC的两个四等分点，N为BC中点，P在线段DE上运动，且AN=2，数形结合求MP的取值范围.【解答过程】由AB+λBCmin=2λ∈又AB=AC=22，则BC=4，所以AB2由AP=sin2α⋅AB又α∈π6,π3，则sin2α,cos2

所以P在线段DE上运动，且AN=2，BD=1，BE=3，由图：若MP⊥BC，则MP//AN，又AM=12故上述情况MPmin=23由图知：P与E重合时，MPmax综上，MP的取值范围为43故选：D.【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，点P在边CD上，则AP⋅BPA．2116 B．218 C．2132【解题思路】方法一：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值；方法二：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后建立平面直角坐标系，将问题转化为向量数量积的坐标表示，得出二次函数，最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可；方法三：同方法二一样，但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将问题转化为平面向量坐标形式求解即可；【解答过程】解法一

由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°．设DP=x，则0≤x≤3AP==1×1×=x当且仅当x=34时，AP⋅解法二：由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，连接BD，交AC于点O，则易知BD⊥AC，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A−12,0，B0,−所以DC=设DP=λ则DP=所以P3AP=12则AP=3λ当且仅当λ=14时，AP⋅解法三

由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，如图，分别以DA,DC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，所以A1,0，B因为点P在边CD上，所以设P0,y所以AP=−1,y，所以AP=y当且仅当y=34时，AP⋅故选：A.【题型7向量数量积与解三角形综合】【例7】（2023·全国·模拟预测）在△ABC，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若AC=3DC,bsinA+3aA．2 B．2 C．26 D．【解题思路】已知bsinA+3acosB=0，由正弦定理边化角，化简可得B=2π3，设CD=m,BD=n【解答过程】由bsinA+3由A∈0,π，sinA>0可得tan通解

设CD=m,BD=n，由AC=3DC可得由余弦定理可得b2=a所以9m2=在△ADB和△CDB中，由余弦定理得cos∠ADB=4m由∠ADB+∠CDB=π可得4m故3n当a=3时，3n2取得最小值12，即3n2≥12优解

由题意知BD=两边同时平方得BD2又2a+c=12，所以当且仅当c2=4a则BD2≥2故选：B.【变式7-1】（2023·四川·校联考模拟预测）在△ABC中，AC=2BC,AB⋅BC=−3ACA．14 B．64 C．144【解题思路】根据向量数量积的运算律化简得到c=322【解答过程】记BC=a,AC=b,AB=c，由已知，b=2a，因为(AB+BC即c2+2AB因为(AC+CB即b2−2AC因为AB⋅所以b2−a所以cosB=因为B∈0,π，所以故选：C.【变式7-2】（2023·河北沧州·校考三模）在△ABC中，若OA=OB=OC=OP，AB=A．−2,8 B．−2,6 C．−4,6 D．−4,8【解题思路】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.【解答过程】因为OA=所以O为△ABC的外心，且P为△ABC外接圆上一动点，又AB=AC=2所以△ABC外接圆的半径r=BC如图，作PD⊥AB，垂足为D，则AP⋅所以，当PD与圆相切时，AP⋅AB取最值，即P在在P2处取最小值−2故选：B.【变式7-3】（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上，AB⊥AD,BD=3,CD=1，点M是△ABC外接圆上任意一点，则AB⋅AM最大值为（A．33+1 B．33−1 C．【解题思路】先根据余弦定理求出线段AD,AC,AB的长度，再根据正弦定理求出△ABC外接圆的半径，最后将AM写成AM=AO+OM后再求AB⋅AM，当【解答过程】在△ABD中，AB2=B在△ADC中，由余弦定理得，AC2=AD2+CD又因为AB=AC，所以9−AD2=5从而AB=AC=BD2设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R=AC故R=3所以AB⋅AM=AB⋅(当AB与OM同向时，AB⋅AM取得最大值为故选：A.1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,A．−45 B．−25 C．【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.【解答过程】因为a+b+即a2+b2+2如图,设OA=由题知,OA=OB=1,OC=2AB边上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故选:D.2．（2022·全国·统考高考真题）已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【解答过程】解：∵|a又∵|∴9=1−4a∴a故选：C.3．（2023·北京·统考高考真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),A．−2 B．−1 C．0 D．1【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解答过程】向量a,b满足所以|a故选：B.4．（2023·全国·统考高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅A．1+22 C．1+2 D．【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA⋅PD=12−22【解答过程】如图所示，OA=1,OP=由勾股定理可得PA

当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=则：PA⋅PD=1×====0≤α<π4∴当2α−π4=−π4

当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPCα,0则：PA⋅PD=1×====10≤α<π4∴当2α+π4=π2综上可得，PA⋅PD的最