专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题4.1同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1正、余弦齐次式的计算】 2【题型2“和”“积”转换】 3【题型3诱导公式的应用——化简、求值】 5【题型4同角关系式与诱导公式的综合应用】 6【题型5三角恒等变换的化简问题】 7【题型6三角恒等变换——给值求值型问题】 9【题型7三角恒等变换——给值求角型问题】 11【题型8三角恒等变换的综合应用】 141、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等.【知识点1同角三角函数关系式的常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形2.同角三角函数关系式的注意事项在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【知识点2诱导公式及其应用】1.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.2.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.3.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三角函数值符号的影响.【知识点3三角恒等变换几类问题的解题策略】1.给值求值问题的解题思路给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题的解题思路给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题的解题思路给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.4.三角恒等变换的综合应用的解题策略三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.【题型1正、余弦齐次式的计算】【例1】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1−2sinαcosαcos2α−sin2α=13，则tanα=A．13 B．12 C．13或1 【解题思路】利用弦化切可得出关于tanα的等式，即可求得tan【解题思路】因为1−2=cosα−sin故选：B.【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知α∈0,π，且sinα−3cosA．−3 B．−33 C．3【解题思路】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.【解题思路】由题设(sin所以sin2α−23故tan2α−23所以tanα=−故选：B.【变式1-2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知tanθ=2，则cosθ−2sinA．0 B．−53 C．-1 【解题思路】分子分母同时除以cosθ【解题思路】由题知，tanθ=2则cos=1−2×2故选：C.【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P−2,5，则sin2αA．−752 B．−4513【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【解题思路】由题意知tanα=−则原式=2故选：B.【题型2“和”“积”转换】【例2】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sinα−cosα=13A．−89 B．23 C．4【解题思路】把sinα−【解题思路】∵sinα−cos故选：C.【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sinαcosα=−16A．233 B．−233 【解题思路】结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.【解题思路】由于sinαcosα=−16所以sinα−故选：A.【变式2-2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知sinα−cosα=15A．−125 B．125 C．−【解题思路】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.【解题思路】由题意可得：sinα−cosα且α∈−π2即sinα>0,cosα>0因为sinα+cosα所以sinα故选：D.【变式2-3】（2023·上海宝山·统考一模）设sinα+cosα=x，且sin3α+A．－1 B．12 C．1 D．【解题思路】根据题意，求出sinαsin3α+cos【解题思路】sinα+cosα=x得1+2sinαcossin=x(3−所以，3x2得a0=0，a1=3则a故选：C.【题型3诱导公式的应用——化简、求值】【例3】（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知α∈π2,π，若cosπA．24 B．−24 C．−【解题思路】根据诱导公式，结合题设，即可求得答案.【解题思路】由题意得cosα+故选：A.【变式3-1】（2023上·全国·高一期末）已知sinπ6+α=13，且A．−223 B．−13 【解题思路】以π6【解题思路】由题意可得：cosπ故选：D.【变式3-2】（2023上·高一课时练习）已知sin(π−α)=13A．223 C．13 D．【解题思路】根据题意得到sinα=【解题思路】由sin(π−α)=则sin(α−2021故选：D.【变式3-3】（2023上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若cos(π6+α)=1A．0 B．23 C．1+223【解题思路】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【解题思路】依题，令π6+α=t，则5π所以cos=cos=−cos故选：A.【题型4同角关系式与诱导公式的综合应用】【例4】（2023上·天津·高一校考阶段练习）若tan(7π+α)=a，则sinA．a−1a+1 B．a+1a−1 C．-1【解题思路】由诱导公式以及商数公式进行化简运算即可.【解题思路】由题意得tan(7π+α)=故选：B.【变式4-1】（2023上·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知cos−x+sinπ−xA．1625 B．−1625 C．8【解题思路】由诱导公式有sinx⋅sinπ2+x【解题思路】由cos−x+sin两边平方得：1+2sinxcos∴sin故选：D.【变式4-2】（2023上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）已知sinα+cosα=−12A．−34 B．34 C．−【解题思路】对sinα+cosα=−12【解题思路】因为sinα+cosα=−所以sinα所以cosπ故选：A.【变式4-3】（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知3cos3π2+θsinπA．−1−2 B．1+2 C．2−1【解题思路】先用诱导公式，将已知和要求的因式都转化成单角形式，即只含有sinθ,【解题思路】因为3cos3π且tan2因为θ为第二象限角，所以tanθ=−则cosπ故选：D.【题型5三角恒等变换的化简问题】【例5】（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知cosx+sinx=23A．−716 B．−726 【解题思路】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.【解题思路】sin2x故选：D.【变式5-1】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）设0<θ<π2，若sinθ+cosθA．32 B．12 C．22【解题思路】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出sin(2θ+π3【解题思路】由题意sinθ+则1+2sinθcos故2sin(2θ+π3由于0<θ<π2，所以则2θ+π3=故sin2θ=故选：B.【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）化简：sin2α−2A．2cosα B．22cosα 【解题思路】利用二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式可化简所求代数式.【解题思路】原式=2故选：B.【变式5-3】（2023下·浙江嘉兴·高二统考期末）已知α,β∈0,π且满足sinα+A．tanα+β=3C．cosα+β=3【解题思路】运用配凑角α=α+β2+α−β2，β=α+β2−α−β【解题思路】因为sinα+cosα+sinα+所以2sin又因为α，β∈(0,π所以−π2<所以cosα−β所以sinα+β所以tanα+β又因为0<α+β所以α+β2所以α+β=所以tan(α+β)=所以cos(α+β)=故选：B.【题型6三角恒等变换——给值求值型问题】【例6】（2023上·天津武清·高三校考阶段练习）已知α、β∈0,π4，且sinα=13，A．2327 B．13 C．2527【解题思路】由α、β∈0,π4，可计算出sin2α、cos2α【解题思路】由sinα=13，α∈则sin2α=2sinα由cos(2α+β)=13又α、β∈0,π4故sin(2α+β)=cos=1故选：A.【变式6-1】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知tanα+π6=12，A．−913 B．−211 C．【解题思路】利用二倍角正切公式求得tanπ【解题思路】由tanπ12+β而tanα+故tan=1故选：B.【变式6-2】（2023下·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知α∈3π4,3π2A．1665 B．−1665 C．56【解题思路】先利用诱导公式得sin(α+β)=cos(α+β−【解题思路】sin(α+β)=因为α∈3π4,3π2因为cos(α−π4)=−3又y=cosx在x∈π所以当α−π4在第三象限时，α−π所以α−π因为cos(α−π4因为β∈π,3π2，所以β−因为sin(β−π4所以cos(α−即sin(α+β)=故选：A．【变式6-3】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知π2<α<3π2，−A．cos(α−β)=−1 B．sinC．cos(α+β)=−12【解题思路】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可.【解题思路】∵sin∴2sinα−π且π2<α<3π2，−当α−π3=当α−π3+sinα−β故选:D.【题型7三角恒等变换——给值求角型问题】【例7】（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若sin2α=55，sinβ−α=1010，且α∈A．7π4 B．9π4 C．4【解题思路】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有∴cosα+β=【解题思路】∵sin2α=2sin又α∈π4,π，由sin2α=55又β∈π,3π2所以β−α∈π2,∴=2由α∈π4,π2，β∈故选：A．【变式7-1】（2023上·全国·高一专题练习）若α∈−π2,0，β∈0,π2，且tanA．−3π4 B．−π4 C．【解题思路】求出2α−β的正切值及2α−β的取值范围，即可得出2α−β的值.【解题思路】因为α∈−π2,0，又因为tanα−β=−1由二倍角正切公式可得tan2所以，tan2α−β因为−π4<α−β<0，0<β<π2因此，2α−β=−π故选：B.【变式7-2】（2023·全国·高三校联考期末）已知0<α<β<π2,A．α+β=π6 C．β−α=π6 【解题思路】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据α，β的范围即可求出结果.【解题思路】由已知可将2α=(α+β)+(α−β)，2β=(α+β)−(α−β)，则cos[(α+β)+(α−β)]+2cos[cos(α+β)−1][2cos(α−β)−1]=0，即又0<α<β<π2，所以所以cos(α+β)≠1即cos(α−β)=12，则α−β=−故选：D.【变式7-3】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知tanβ=cosα1−sinα，tanα+βA．π12 B．π6 C．π4【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【解题思路】因为tanα又因为tanβ=cosα所以tanα=所以tan因为sin2α+cos所以α=kπ,所以当k为奇数时，cosα=−1，sin当k为偶数时，cosα=1，sin因为tanβ=cosα因为β∈0,π2故选：C.【题型8三角恒等变换的综合应用】【例8】（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)当x∈0,π2【解题思路】（1）利用三角恒等变换整理得fx（2）以2x+π【解题思路】（1）由题意可得：f==cos所以fx的最小正周期T=（2）因为x∈0,π2当2x+π3=π，即x=π当2x+π3=π3，即x=0所以fx的最大值与最小值的和为−1【变式8-1】（2023上·吉林·高一校联考期末）已知函数fx(1)求fx在0,(2)若tanα=2，求f(3)若fβ=−1【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值；（2）利用齐次式化简求值；（3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算.【解题思路】（1）f=1−=1−cos∵x∈0,则1−2sin2x+π6∈−1,2，故（2）fα（3）由（1）当fβ=−1∵β∈π故cos2β=【变式8-2】（2023上·浙江嘉兴·高一嘉兴一中校考阶段练习）已知函数f(x)=cosxsin(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)求f(x)在闭区间−π【解题思路】（1）利用两角和差的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；（2）根据已知条件求出2x−π【解题思路】（1）函数f(x)==1∴f(x)的最小正周期T=2令2kπ+π2≤2x−π3所以f(x)的减区间为[512π（2）由（1）知，fx∵x∈−∴2x−π当2x−π3=π6，即x=当2x−π3=−π2，即x=−【变式8-3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)若α∈3π4,π【解题思路】（1）首先化简函数的解析式，再根据三角函数的的性质，代入公式，即可求解；（2）由（1）的结果可得fα−π6【解题思路】（1）由题意知fx==3故函数fx的最小正周期T=令−π2+2k所以fx的单调递增区间为−（2）因为fα−又α∈3π4,所以cos2α−所以sin2α−1．（2022·浙江·统考高考真题）设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【解题思路】因为sin2当sinx=1时，cos当cosx=0时，sin所以当x∈R，sinx=1是cos故选：A.2．（2023·全国·统考高考真题）已知α为锐角，cosα=1+54，则A．3−58 B．−1+58 C．【解题思路】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【解题思路】因为cosα=1−2sin2解得：sinα2=故选：D．3．（2023·全国·统考高考真题）设甲：sin2α+sin2β=1A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【解题思路】当sin2α+sin2β=1即sin2α+sin当sinα+cosβ=0即sinα+cosβ=0综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.4．（2023·全国·统考高考真题）已知sinα−β=13,A．79 B．19 C．−1【解题思路】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)【解题思路】因为sin(α−β)=sinαcosβ−则sin(α+β)=所以cos(2α+2β)=故选：B.5．（2022·全国·统考高考真题）若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α−β)=1 B．C．tan(α−β)=−1 D．【解题思路】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【解题思路】[方法一]：直接法由已知得：sinα即：sinα即：sin所以tan故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取α=再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=π[方法三]：三角恒等变换sin(α+β)+所以2sin（α+π∴sin（α−β+故选：C.6．（2021·全国·统考高考真题）若tanθ=−2，则sinθ1+A．−65 B．−25 C．【解题思路】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1=sin2θ+【解题思路】将式子进行齐次化处理得：sin=sin故选：C．7．（2023·全国·统考高考真题）若θ∈0,π2,tanθ=【解题思路】根据同角三角关系求sinθ【解题思路】因为θ∈0,π2又因为tanθ=sinθ且cos2θ+sin2θ=4所以sinθ−故答案为：−58．（2023·全国·统考高考真题）若fx=(x−1)2+ax+sin【解题思路】利用偶函数的性质得到f−π2【解题思路】因为y=fx=x−1所以f−π2则πa=π2此时