统计与统计案例（学案）概率与统计-高考数学二轮复习

专题八概率与统计

第三讲统计与统计案例

(-)高考考点解读

高考考点考点解读

抽样方法，样本频率1.分层抽样中利用抽样比确定样本容量、各层抽

分布、数字特征样的个体数等

2.考查系统抽样的有关计算

3.频率分布直方图的绘制及识图，并利用图解决

实际问题

4.平均数和方差的计算

线性回归分析与独立1.线性回归方程的求解及应用

性检验在实际问题中2.独立性检验的应用以及独立性检验与统计、概

的应用率的综合问题

(二)核心知识整合

考点1:抽样方法，样本频率分布、数字特征

1.抽样方法

三种抽样方法包括：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样

2.统计图表

在频率分布直方图中：

①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高=篇；

②各小矩形面积之和等于1;

③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值.

3.样本的数字特征

⑴众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数

为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；

—11«

(2)样本平均数%=—(%+%2+…+%)=—£%；

〃〃i=l

(3)样本方差/=—[(%—xf+l%—x)2+…+(x〃-x)2]=-x)2;

nnT~T

2222

(4)样本标准差5=^—[(Xj—x)+(x2—x)+...+(xn—x)]=J—(X(—x).

(5)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知

道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平

均数与标准差、方差.

(6)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均

数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定.

『解题技巧』

1.系统抽样与分层抽样的求解方法

(1)系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽

取的号码和组距唯一确定.每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号

码机为首项，组距d为公差的等差数列｛词，第左组抽取样本的号码以=机十(左一1)北

⑵分层抽样的关键是根据样本特征差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此

类问题需先求出抽样比—样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量

等于该层个体总数与抽样比的乘积.在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统

抽样进行.

2.用样本估计总体的两种方法

(1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等)估计总体的频率

分布.

(2)用样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差、标准差)估计总体的数字特

征.

3.方差的计算与含义

计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算，方差和标准

差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差、标准差大说明波动大.

4.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系

⑴众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.

⑶平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐

标之和.

［典型例题］

1.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参

赛者的得分都在［40,90］之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的

A.得分在［40,60）之间的共有40人

B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80）的概率为0.5

C.估计得分的众数为55

D.这100名参赛者得分的中位数为65

［答案］:D

［解析］根据频率和为1,计算（“+0.035+0.03。+0.020+0.010）x10=1,解得〃=0.005,

得分在［40,60）的频率是0.40,估计得分在［40,60）的有100x0.40=40（人），A正确；

得分在［60,80）的频率为0.5,可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在［60,80）

的概率为0.5,B正确；

根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为22=55,即估计得

2

分众数为55,C正确；

中位数的估计值为0.4+（x-60）x0.03=0.5,解得钎63.3,故D错，故选D.

［变式训练］

2.已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次,两人成绩的条形统计图如图

所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）

甲乙

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

［答案］:D

［解析］甲的成绩的平均数为序=：x(5+6x2+7x2+8x2+9x2+10)=7.5,乙的成

绩的平均数为2=，x(6+7x3+8x2+9x3+10)=8,甲的成绩的平均数小于乙

的成绩的平均数，故A判断正确;甲的成绩的中位数为叱=7.5,乙的成绩的中

2

位数为==8,甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B判断正确;

2

由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，甲的成绩的方差大

于乙的成绩的方差，故C判断正确；甲的成绩的极差为10-5=5,乙的成绩的极

差为10-6=4,二.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D判断不正确.

故选D.

考点2：线性回归分析与独立性检验在实际问题中的应用

1.变量间的相关关系

(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关.如果散点图中的点从

整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系.

(2)用最小二乘法求回归直线的方程

i=iz=l

八一可(y—7)Yx^-nxy

b=--------------------=--------------

设线性回归方程为9=,则＜-X)2加2.

a=y-bx

注意：回归直线一定经过样本的中心点(反①，据此性质可以解决有关的计算问

题.

2.回归分析

1=1

2(--元)(％-歹)

rf叫做相关系数.

JZ(x,-x)2Z(y,-y)2

Vnn

相关系数用来衡量变量X与y之间的线性相关程度；|r|<L且|厂|越接近于1,相

关程度越高，|厂|越接近于0,相关程度越低.

3.独立性检验

假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛XI,X2｝和｛N，券｝,其样本频数

列联表(称为2X2列联表)为

V总计

XIaba+b

X2Cdc~\~d

总计a+cb+dc~\~d

(a+b+c+d)(ad-be)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若K2>3.841,则有95%的把握说两个事件有关；

若K2>6.635,则有99%的把握说两个事件有关；

若K2<2.706,则没有充分理由认为两个事件有关.

『解题技巧」

1.正确理解计算，的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键.其中线性

回归方程必过样本中心点(京亍).

2.在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量

之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预

测变量的值.

3.进行独立性检验的步骤

⑴假设两个分类变量x与y无关；

(2)找相关数据，列出2X2列联表；

2

(3)由公式K=--------咆/蛆)2-----------------

（其中〃=a+ZrHc+d）计算出片的直

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（4）将Q的值与临界值进行对比，进而做出统计推断.

提醒：片的观测值越大，对应假设事件成立的概率越小，假设事件不成立的概

率越大.

［典型例题］

1.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到

5组数据（%,yJ,（%,%）,«,%），®,%），«，”）.根据收集到的数据可知

玉+/+工3+%+%=150,由最小二乘法求得回归直线方程为a=0.67x+54.9，则

M+%+%+”+%的值为（）

A.75B.155.4C.375D.466.2

［答案］:C

［解析］由题意可得：；/+&+；+-+$=30,

线性回归方程过样本中心点，则：j=0.67xx+54.9=75,

据此可知：%+%+%+%+%=5'=375.

本题选择C选项.

［变式训练］

2.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪

运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2x2列联表.

男女合计

关注冰雪运动352560

不关注冰雪运动152540