新人教版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用教案 (一)

6.1平面向量的概念教学设计

课题6.1平面向量的概念单元第六单元学科数学年级高一

教材本节内容是平面向量的概念，由物理中的路程和位移情境导入，学习平面向量的概念、

分析表示以及平面向量之间的关系这些知识点，为平面向量的运算做铺垫。

1.数学抽象：利用位移和路程的相关情境将平面向量具体化；

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

教学3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用

目标向量解决实际问题。

与核4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量之间的关系；

心素5.数学运算:能够正确判断平面向量之间的关系；

养

6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学

生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点平面向量的概念；平面向量的表示；平面向量之间的关系。

难点平面向量的表示；平面向量之间的关系。

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课情境导入：学生思考问设置问题情境，

情境一：小船由A地航行15nmile到达B地。试题，引出本节激发学生学习兴

问小船能到达B地吗？

情境二：小船由A地向东南方向航行15nmile至lj新课内容。趣，并引出本节

达B地。试问小船能到达B地吗？新课。

问:位移和距离这两个量有什么不同？

情境三：物体受到的重力是竖直向下的，物体的质

量越大，它受到的重力越大。

情境四：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，

物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。

问:你能通过这些物理量得出向量的概念吗？

讲授新课知识探究（一）：向量的概念学生根据两个利用两个情境探

定义：既有大小又有方向的量统称为向量。把只有

大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、情境，探究平究得出平面向量

面积、体积、质量等。面向量的概的概念，培养学

注：1.向量两要素：大小，方向

2.向量与数量的区别：念。生探索的精神.

①数量只有大小，可以比较大小。

②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较

大小的，因此向量不能比较大小。

知识链接：物理学中常称向量为矢量，数量为标量。

你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？

练习一：在质量、重力、速度、加速度、身高、面

积、体积这些量中，_____________是数量

_______________是向量.

练习二：

1身.高是一个向量（）

2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量

（）

3.坐标平面上的x轴和y轴都是向量。（）

知识探究（二）：向量的表示思考：对于一个实数，

可以用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的

数量。那么，该如何表示向量呢？通过思考，培养

思考：根据情景二，你发现位移是怎样表示的？向

量怎样表示？学生根据环环学生探索新知的

几何表示法：相扣的思考精神和能力.

用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头

所指的方向表示向量的方向。题，探究平面

有向线段三要素：起点、方向、长度。向量的表示。

间：有向线段是向量，向量就是有向线段。这种说

法对吗？

思考：你能用表示线段的方法表示向量吗？向量的

大小和方向怎样表示？

字母表示法：大写字母和小写字母。

箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。

知识探究（三）：向量的模和两类特殊向量

-->

思考：AB有什么含义？

向量的模：向量48的大小称为向量的长度（或

称为模），记作1AB1.

两类特殊向量：零向量和单位向量。

思考：1.6与o有区别吗？为什么？

2,零向量和单位向量的方向呢？

3.平面直角坐标系内，起点在原点的单位向

量，它们的终点的轨迹是什么图形？

判断

1.向量的模是一个正实数。（）

2.若,则a>b。（）

注:向量不能比较大小

例1.如图，分别用向量表示A

地至B、C两地的位移，并根据图

中的比例尺，求出A地至B,C两

地的实际距离（精确到1km）

知识探究（四）：向量之间的关系

思考；观察图象，探究发现平行向量。学生根据动态利用数形结合的

平行向量：方向相同或相反的

叫做平行向量.记作"nb.变化图，观察思想，化抽象为

共线向量：平行向量又称为共线向量.探究的出向量具体，提高学生

思考：AB,就是相同的向量吗？之间的关系。的抽象能力和逻

由此得出相等向量和相反向量的定义。辑思维能力。

1.若非零向量AB//CD,那么AB//CD吗？

2.若a//b，则a与b的方向一定相同或相反吗？

3.相等向量一定是平行向量吗？

平行向量一定是相等向量吗？

例2已知0为正六边形ABCDEF的中心，在图中

所标出的向量中：

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与相等的向量；

B.________4

cAAf

W

利用例题引导例题的3问三种

DE学生掌握本节类型，加深学生

提升训练课知识，并能对基础知识理

1、回答下列问题：

（1）平行向量是否一定方向相同？够灵活运用.解，并能够灵活

（2）不相等的向量是否一定不平行？运用基础知识解

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？决具体问题。

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个

向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

2、在图中的4X5方格纸中有一个向量而，分别

以图中的格点为起点和终点作向量而，其中与

而相等的向量有多少个？与而长度相等的共线

学生和教师共通过这3个题，

向量有多少个（而除外）？

同探窕完成3巩固基础知识，

3、D、E、F依次是等边ZXABC的边AB、BC、CA个练习题。发散学生思维，

的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点

的向量中，培养学生思维的

（1）找出与向量DE相等的向量；严谨性和对数学

（2）找出与向量DF共线的向量.

的探索精神。

课堂小结1.向量的概念学生回顾本节让学生掌握本节

2.向量的表示

3.向量之间的关系课知识点，教课知识点，并能

师补充.够灵活运用。

板书§6.1平面向量的概念

一、情境导入2.向量的表示三、课堂小结

二、探索新知3.向量之间的关系四、作业布置

1.向量概念例1、2、

教学反思

人教版本数学科目高一年级教学设计

课题6.2.1平面向量的加法运算单元第六单元学科数学年级高一

教材本节内容是平面向量的加法，由物理中的位移和力的合成导入，学习平面向量的加法法

分析则以及加法的运算律这些知识点，为平面向量的减法做铺垫。

1.数学抽象：利用位移和力的合成将平面向量具体化；

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

教学

3.数学建模：掌握平面向量加法法则，利用向量的运算解决实际问题。

目标

4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量的加法运算；

与核

5.数学运算:能够正确计算和判断向量的加法运算：

心素

养6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学

生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点平面向量的三角形法则、平行四边形法则、运算律。

难点平面向量的三角形法则、平行四边形法则、运算律。

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课情境导入：学生思考问设置问题情境，

情景一：如图，某人从A点走到B.然后从B点走题，引出本节激发学生学习兴

到C.这个人所走过的位移是多少？

向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量新课内容。趣，并引出本节

的加法新课。

情景二：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受

到两个外力大与B的作用，你能作出这个物体

所受的合力F吗？

讲授新课知识探究（一）：向量加法的三角形法则学生根据两个利用两个情境探

向量加法的三角形法则

（“作平移,首尾连，由起点指终点”）情境，寮究平究得出平面向量

位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物面向量的加法的加法法则，培

理模型。

向量加法的平行四边形法则法则。养学生探索的精

（“作平移，共起点,四边形，对角线”）神.

力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的

物理模型。

知识探究（二）：三角形法则与平行四边形法则的

异同

思考1:向量加法的平行四边形法则和三角形法则一

致吗？为什么？

不一致。三角形法则通过平移首尾相接，平行四功

形法则通过平移起点相同。

知识探究（二）：非零共线向量的和的计算

思考2：对于两个非零共线向量，能否求出他们的

和向量？它们的加法与数的加法有什么关系？

两个非零共线向量的和向量只需首尾相接

两个非零共线向量的加法和数的加法运算法则是

一致的。

知识探究（二）：零向量与任一非零向量的和向量

计算

思考3：零向量与任一非零向量，能否求出他们的

和向量？

因为零向量的模为0,方向任意，根据合位移的计

算方法可得，零向量与任一非零向量的和等于该非

零向量。

知识探究（三）：n个向量加法的三角形法则

思考4：AB+4-C£>=?n个向量的和向

量怎样计算？

n个向量连加是将向星加法的三角形法则推广为n

个向量相加的多边形法则:由第一个向量的起点指

向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向

量的和.（注意:首尾相接）

例题讲解（一）学生根据环环通过思考，培养

例1：如图，已知向量a、b,求作向量a+b.

相扣的思考学生探索新知的

题，探究平面精神和能力.

向量的运算

律。

作法1：三角形法则

0^XB

0—B>=a—+—b

作法2：平行四边形法则

0\AC

B。

0C=a*+r

知识探究（四）：向量和与向量的模的关系

思考：当向量々石不共线时，和向量的长度

学生例题，巩利用数形结合的

1。+引与向量々6的长度和用1+⑸之间固向量的加法思想，化抽象为

的大小关系如何？法则以及运算具体，提高学生

律，并能够灵的抽象能力利J逻

活运用.辑思维能力。

\a+b\<\a\+\b\

知识探究（五）：平面向量加法的运算律

思考1：数的加法满足交换律、结合律，向量的加

法是否也满足交换律和结合律？

向量的加法交换律"+"=b+〃

向量的加法结合律G+B）+2=£+（B+2）

例题讲解：平面向量的加法运算

例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过进

行轮渡运输。如图所示，一艘船从长江南岸A地出通过这3个题，

发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15千米

每小时，同时江水的速度为向东6千米每小时。学生和教师共巩固基础知识，

（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行同探究完成3发散学生思维，

的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数个练习题。培养学生思维的

点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示,严谨性和对数学

精确到1度）。

的探索精神。

解如右图所示而表示船速表示江水速度

以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD

则AC表示船实际航行的速度

（2胜R/AABC中，网=6,前=15

于国码=$呵+|可=V62+152=V261«I6.2

BC5

因为tan/CA3=

AB

所以利用计算工具可得^C4B=68,

因此，船实际航行速献小约为6.26用人

方向与江水速度间的魁约为58，

提升训练

1、求下列向量的和

(1)AB+BC+CD=_______AD

(2)AB+W+BC+DE=______AE

(3)AR+RC+DF.4-EF+CD=_______存

3、如图，。为正六边形MA2AAA血的中心,

求出下列向量的和：

(1)2

OAJ+OA3

/9-/L4

⑵。43+44

⑶44+AA丹4

⑷4出+44+44=44

)A4+

A2A+&A+A4AS+a4

=AA»

(6)AA-4-AA+AA+A»A?+AA=

—>

0

课堂小结4.向量的三角形法则学生回顾本节让学生掌握本节

5.向量的平行四边形法则

6.向量加法的运算律课知识点，教课知识点，并能

师补充.够灵活运用。

板书§6.2.1平面向量的加法运算

一、情境导入2.平行四边形法则三、课堂小结

二、探索新知3.向量加法运算律四、作业布置

1.三角形法则例1、2、

教学反思

6.2.2向量的减法教学设计

课题6.2.2向量的减法单兀第六单元学科数学年级高一

教材本节内容是平面向量的减法，由数的减法运算导入，学习平面向量的减法法则以及减法

分析的几何意义这些知识点，将数量与向量结合起来。

教学1.数学抽象利用数量的减法运算抽象到平面向量的减法运算；

目标2.逻辑推理通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

与核3.数学建模掌握平面向量减法法则，利用向量的运算解决实际问题。

心素4.直观想象通过有向线段直观判断平面向量的减法运算；

养5.数学运算:能够正确计算和判断向量的减法运算；

6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学

生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点相反向量，平面向量的减法及几何意义

难点平面向量的减法及几何意义

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课旧知导入：学生思考问设置问题情境，

问题一：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的题，引出本节激发学生学习兴

吗？

新课内容。

实数a的相反数记作-a。趣，并引出本节

问题二：什么是相反向量？新课。

把大小相等方向相反的两个向量叫做相反向量。

0的相反向量仍是6。

问题三：两个实数的减法运算可以看成加法运算

吗？如设X+(—y)

讲授新课新知探究：向量的减法运算定义学生根据环环利用问题探究得

问题四：你能根据实数的减法运算定义向量的减法

运算吗？相扣的问题进出平面向量的减

由两个向量和的定义已知行思考，探究法定义和法则，

£+平面向量的减培养学生探索的

即任意向量与其相反向量的和是零向量。法定义和法精神.

这样，如翦与B互为相反向量，

贝人

捋R么a=—hb=—a,a+b=0

々加上的勺相反向量，叫(痂与谢差即〃-1=。+(-石

求两个向量差的运算叫做向量的减法。我们看

至IJ,向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减

去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

即

Z加上丽相反向量，

叫做班与珀tJ差即a=a+(-Z?)

新知探究(二)：向量减法的作图方法

问题五：已知向量;与B，试作出a-b

B

七DWC

作法

（1）设OA=UOB=b,OD=-b

（2）连接AB,由向量减法的定义知

l-b=a+{rb]=OA+OD=OC

（3泅为平行四边形KAR

^\^k=OC=a-b

由此，我们得到a-b的作图方法.

知识探究（三）：向量减法的几何意义

问题六：根据问题五，思考一下向量减法的几何意

义是什么？

二公

_»10-

aa

由图得:BA=si-b.

即加I以表示为从山勺终点指向的终点的向量

这就是向量减法的几何意义。

/2^6

a由图得靛J终点为4,2的终点谿，

贝瑛的终点至访的终点的向量为而

学生根据例利用数形结合的

由问题六可知而-£-1.

又因为AB=-8A则AB=-（°一5）=办一a题，巩固向量思想，化抽象为

注意：（1）起点必须相同.（2）指向被减向量的终点.

的减法法则，具体，提高学生

问题七：非零共线向量怎样做减法运算？

1.共线同向2.共线反向并能够灵活运的抽象能力和逻

用.辑思维能力。

。~-——b

b,

a-i~^力

AC*BBAC

问题八：非零共线向量怎样做减法运算？

1.共线同向

a

,B

a-b

ACB

2.共线反向

——b

a-b

BAC

小试牛刀

判一判（正确的打“J”，错误的打“X”）

（。两个向量的差仍是一个向量.（J）

⑵向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.

（V）

（3）向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为

相反向量。（J）

（4）相反向量是共线向量。（V）

例题讲解

例1、已知向量工£工，"，求作向量a-bc-do

作法：

在平面内任取一点0,作苏＜,丽=&近兄面=/

则84=。一。DC=c-d

注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。

■—♦.一

例2、已知平行四边形ABCD,AB=a,AD=Z?,

用23分别表示向量记而

D

AB

解：连接AC,08,由求向量和

的平行四边形法则，

^AC=AB+AD=a+b

依减法定义得~DB=~AB-~AD=a-b

例3、如图，O为aABC的外心，H为垂心.求证：

OH=OA+OB+OC

证明：作直径BD,连接DA,DC,

则有而=_06

又因为DAJ_AB,DC1BC,AH1BC,CH1AB,

所以CH〃DA,AH//DC.

所以四边形AHCD是平行四边形，

所以A”二"

又DC=0C—OD—OC+OB所以

OH=OA+AH

=OA+DC学生和教师共通过这3个题，

=OA+OB+OC同探究完成3巩固基础知识，

提升训练

1、求下列向量的差个练习题。发散学生思维，

(1)AB-AD=(2)BA-BC=培养学生思维的

(3)BC-BA=(4)OD-OA=严谨性和对数学

(5)OA-OB=(6)AO-BO=

的探索精神。

(1)DB(2)CA(3)AC

(4)AQ⑸AB⑹BA

2、根据右图，回答下列问题：

a

—>—>

(1)当满足什么条件时，4+6与"b

垂直？1。日山

——————

ha+b=a-b

(2)当n出“满足什么条件时，？

丽I互相垂直

—>f—♦—>

(3)6与口-6可能是相等向量吗？

不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同.

练习、如图，已知向量而=鬲而=尻ZDAB=12(T,

且|万|=出|=3,求|万+5|和|1-5|

C

A

解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,

由于|X5|=|而|=3,故此四边形为菱形

由向量的加减法知

AC=a+b,DB=a-b

故|说|=场+6|,|而|二|。一6|

因为ND48=120°,所以ND4C=60°

所以AAOC是正三角形，则|公|=3

由于菱形对角线互相垂直平分,所以A4O/J是直角三角形，

|两引砌sin60"=3x^二地

22

课堂小结7.相反向量学生回顾本节让学生掌握本节

8.向量的减法定义

课知识点，教课知识点，并能

9.向量减法的几何意义

师补充.够灵活运用。

板书§6.2.2平面向量的减法运算

一、情境导入2.减法作图三、课堂小结

二、探索新知3.减法几何意义四、作业布置

L减法定义例1、2、3

教学反思

6.2.3向量的数乘运算教学设计

课题6.2.3向量的数乘运算单元第六单元学科数学年级高一

教材本节内容是平面向量的数乘运算，由向量加法导入，学习平面向量的数乘运算以及运算

分析律这些知识点，同时根据数乘运算探究得到平面向量共线基本定理。

1.数学抽象：利用有向线段将平面向量的数乘运算具体化；

教学

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

目标

3.数学建模：掌握平面向量数乘运算，利用向量的运算解决实际问题。

与核

4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量的数乘运算；

心素

5.数学运算:能够正确计算和判断向量的数乘运算；

养

6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学

生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。

难点平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课旧知导入：学生思考问设置问题情境，

思考1：如图，已知向量a、b,求作向量a+b.题，引出本节激发学生学习兴

新课内容。趣，并引出本节

r\新课。

思考2：

已知非零向量Z，作出G+Z+Z和（二）+（工）+（-«）.

思考3：

a+a+。和（一。）+（-。）十（一4）与访*什么关系？

讲授新课知识探究（一）：数乘运算的定义学生根据一连利用两个情境探

规定：实数人与向量a的积是一个向量，这种运算叫

串的思考题，究得出平面向量

做向量的数乘运算.记作而

探究平面向量的数乘运算，培

它的长度和方向规定如下：

的数乘运算。养学生探索的精

（中4T眼

神.

（2）当4>3寸，痂的方向扇的方向相同；

当4<0口寸，4和方向与通方向相反。

当2=00寸，2^=6,方向任意。

知识探究（二）：数乘运算的几何意义

思考4：你能说明而的几何意义吗？

数乘向量的几何意义就是把向量£沿3的方向或反方

向放大或缩短.

若L，当人明，沿£的方向放大了2倍.当0。（明，

沿4的方向缩短了％倍.

当心-1时，沿a的反方向放大了W倍•当〈呵，

沿a的反方向缩短了回倍.

由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问

题.

学生根据环环通过思考，培养

知识探究（三）：数乘运算的运算律

一相扣的思考学生探索新知的

思考5：如果把非零向量”的长度伸长到原来的

题，探究平面精神和能力.

3.5倍，方向不变得到向量6，向量人该如何表向量的数乘运

—•—♦

示？向量〃，b之间的关系怎样？算运算律。

由已知得了=3.5〉汨曲方向相同，W=3.5Z

思考6：如果把思考4中匕的长度再伸长到原来的

2倍,方向不变得到向量0,向量°该如何表示？

向量〃，°之间的关系怎样？

由已知得:c=2b,又因为1=3.5a可得C=7Q

根据向量数乘运算的定义可得：

劭方向与疝勺方向相同，口=7忖

数乘运算的运算律

（1）2（//<7）=（4巾（2）（2+而=+44

（3）X（a+B）=4a+。

特别地：

(-2)^=-(Aaj=4)几(。一人)=4。~2b

思考7:向量的加法、减法、数乘运算有什么共同

点？

向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

例题讲解

(1)(-3)X4Q(2)3b+可_21_®_々

学生例题，巩利用数形结合的

(3)(2a+3b—c)-,-苏+c)

固向量的数乘思想，化抽象为

解原式=(-3x4&=—12a运算以及运算具体，提高学生

律，并能够灵的抽象能力和逻

⑵原式=31+益-W+公二=5b

活运用.辑思维能力。

(3)原式=2^+3石-0-3々+2^-。

=—a+5b—2c

例2：如图

平行四边形480勺两条对角线相交于点W,且布=Z

AD=b,用Z,g表示祝1而在MCfUMD

3

A-B

解：在平行四边形ABC。中，

AC=AB+AD=。+各

DB=AB-^D=a-b

由平行四边形的两条横线互相平分，得

—*1.1卜—\1-1—

MA=——AC=——L+Z?)=——a——b

22V722

・1.1/-*一11T1一

MB=——DB=-\a-b)=-a——b

22V722

—•1111-

MC=-AC=-a+-b

222

.1.[T]—

MD=——DB=——a—b

222

小试牛刀

।用[表示下列各题中的B

—————♦—♦

⑴a=3e,b=6e;b=2a

-7-

(2)^=8^^=-14;Z?=~7^

一2-7］一

(3)a=——eb——e\b=—a

3y32

—♦3—2一一Q_•

^)=--eb=--e,b=-a

a4y39

—►—>—>

2、如图，四边形力时是一个梯形，AB//CD^\AB\

=2|⑺|,M'分别是比”8的中点，已知力8=8,

—>—>

AD=e：,试用a,a表示下列向量.(1)AC=

—►

:(2)W=

/Ayc

zr\

ANB

—>—►—>—►—►—►-►

(1)因为48〃5，|48=2|或所以力8=2%,DC=

—>―►-►—>

^AS.AC=AD+DC=e^+^e\.

—>—>—>―—>—>—

(2)MN=MD+DA-\-AN=-\JDC-AD+』乙AB=~，\e~a

,11

土Z&=工8一比.

方法总结

用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

结合图形的特征，把待求向量放在

(1三角形或平行四边形中

结合向量的三角形法则或平行四边

形法则及向量共线定理，用已知向

量表示未知向量

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法

则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向

量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.

知识探究（四）：平面向量共线基本定理

思考：通过练习，你能发现实数与向量的积与原向

量之间的位置关系吗？

实数与向量的积与原向量共线

平面向量共线基本定理：

向量翡工。）与旗线的充要条件是：

存在唯一一个实数1,使

备注：根据这一定理，设非零向矗;位于直物上，那么对于直

线,上的任意一个向龈都存在唯一的一个赐U,使坂=/♦

也就是说，位于同一酸上的向量可以由位于W条直线上

的一个非零向量表示。

例题讲解

例3、如图，已知任意两个非零向量a,b,试作

OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3〃

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?并证明

你的猜想。

z

AB=OB-OAAC=OC-OA

=a+2b—（a+b）=b=a+3b-（a+b）=26

沅=2岫所以,A、B、C三点共线

例4：

—•-♦_—♦—•1—♦4―

已知a,匕是两个不共线的向量，向量6-/«,—a——b

22

共线，求实珈的值c

解：由标不共线，易知三年为非零向量4而

》《涣线，可知存在实数九使得>二=呜［利

即，+加。=（|2+1）面而共线，必蓟+?=*o

EE.坏共线，必而+乜=%=0否则，不妨坳

222

3>,1

—4+1

贝=।—b

t+-A

2

由两个向量共线的充弊件知Z射线，与已知矛盾

1+彳义=0］因此，当向籥3g

由，2，解得22

331

-A+1=O共线时，/=1

、23

小试牛刀

判断（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）实数人与向量a的积还是向量.（J）

（2）3a与a的方向相同，-3a与a的方向相反.（J）

（3）若ma=mb,则a=b.（X）

（4）向量共线定理中，条件aWO可以去掉.（X）

提升训练

学生和教师共

1、化简通过这2个题，

(1)5(3a-2b)+4(2b-3a);同探究完成2巩固基础知识，

（2）；（4-26）一；（3“一2，）一；（0一6）个练习题。发散学生思维，

培养学生思维的

111严谨性和对数学

⑴二3b25⑵=①不⑶"

的探索精神。

2、设el,e2是两个不共线向量，已知AB=2el+

ke2,CB=el+3e2,CD=2el-e2,若A,B,D

三点共线，求k的值.

解VBD^=el-4e2,而A,B,D三点共线，，

向量AB与向量BD共线，故存在实数人，使得向

量AB=XBD即2el4-ke2=X(el-4e2),

得2=入，k=—4入，得k=—8为所求.

方法总结

向量共线定理的应用

（1用取=444工。）且筠〃所在的直线无公共点：

则这两条直线平行。

（2诺^=2赤荷）且储1所在的直线有公共点,

则这两条直线重合。

例如:麻=/iX?,则XfeXZ共线，XA^ACW

公共点4,从而AB,C三点共线。这是证明三点

共线的重要方法。

课堂小结10.数乘运算的定义学生回顾本节让学生掌握本节

11.数乘运算的运算律

12平.面向量共线基本定理课知识点，教课知识点，并能

师补充.够灵活运用。

向量孤.谓旗线的充要条件是：

存在唯——个实数1,使办=/iZ

13.定理的应用

(1)向量共线(2)三点共线

(3)两直线平行

板书§6.2.3向量的数乘运算

一、旧知导入2.运算律三、课堂小结

二、探索新知3.共线基本定理四、作业布置

1.定义例1、2、3、4

教学反思

6.2.4向量的数量积教学设计

课题6.2.4向量的数量积单元第六单元学科数学年级高一

教材本节内容是平面向量的数量积运算运算，由功的概念导入，学习平面向量的数量积运算

分析以及运算律这些知识点，同时根据将向量的线性运算与向量的数量积运算进行对比分析。

1.数学抽象：利用功的定义将平面向量的数量积运算具体化：

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；

教学

3.数学建模：掌握平面向量数量积运算及其运算律；

目标

4.直观想象：利用数的运算及运算律推导平