人教版高中数学必修二 直线与平面平行的性质 学案

人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系

2.2直线、平面平行的判定及其性质

2.2.3直线与平面平行的性质学案

【学习目标】

1.理解直线与平面平行的性质定理的含义.(重点)

2.能用三种语言准确描述直线与平面平行的性质定理.(重点)

3.能用直线与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题.(难

【要点梳理夯实基础】

知识点直线与平面平行的性质定理

阅读教材P58〜P59''例3”以上的内容，完成下列问题.

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此

文字语言

平面的交线与该直线平行

符号语言a//a,au0,aC\^=b=>a//b

图形语言

作用证明两直线平行

［注意］

1.定理三个条件缺一不可。

2.简记:线面平行,则线线平行。

［思考辨析学练结合］

1.(1)若直线a〃平面%则直线a平行于平面a内的任意一条直线，对吗？

(2)若直线a与平面a不平行，则直线a就与平面a内的任一直线都不平行，

对吗？

［答案］(1)不对.若直线a〃平面a,则由线面平行的性质定理可知直线a与

平面a内的一组直线平行.

(2)不对.若直线a与平面a不平行，则直线a与平面a相交或aua.当aua时,

a内有无数条直线与直线a平行.

2.判断(正确的打“q”，错误的打“X”)

(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平

行.()

(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共

点.()

(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行.()

(4)如果直线/和平面a平行，那么过平面a内一点和直线I平行的直线在a

内.()

［解析］由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；

由直线与平面平行的定义知(2)正确；

因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，

而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错.

［答案］(1W(2)4(3)x(4)4

【合作探究析疑解难】

考点线面平行性质定理的应用

［典例1］如图，四边形EFG"是空间四边形ABC。的一个截面，若截面为平

行四边形，求证：AB〃平面EFGH.

［点拨］要证明45〃平面EEG”，只需证A3平行于平面EFG”内的某一条

直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的.

［解答］•.•四边形EFGH为平行四边形，

J.EF//HG.

'.'HGu平面AB。，EEC平面A8O,

...EF〃平面ABD.

YEbu平面ABC,

平面ABCn平面ABD=AB,

：.EF//AB.

•.,ABC平面EFGH,

E/七平面EFGH,

...AB〃平面EFGH.

［方法总结］

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知

直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线

平行与线面平行的相互转化关系.

跟踪练习］

1.如图，在三棱柱中，过作一平面交平面Beg干于£弓.

求证：AAX//EEV4Ai

B0）

［证明］在三棱柱ABGA181G中，AA|〃B8|,

♦A4仔平面BCgB］,B.u平面Bee31,

平面BCCiB［.

•.•A4］U平面AEEXA},

平面AEEAD平面BCCXB=EE},

：.AA{//EEV

【学习检测巩固提高】

1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（）

A.只和这个平面内的一条直线平行

B.只和这个平面内两条相交直线不相交

C.和这个平面内的任何一条直线都平行

D.和这个平面内的任何一条直线都不相交

［解析］一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面没有公共点，那么这

条直线与这个平面内的任何一条直线都没有公共点，所以这条直线和这个平面

内的直线都不相交.

［答案］D

2.直线。〃平面a,a内有〃条直线交于一点，那么这〃条直线中与直线。平行

的（）

A.至少有一条B.至多有一条

C.有且只有一条D.没有

［解析］过。和平面内〃条直线的交点只有一个平面人所以平面a与平面4只

有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这〃条直线中的一条.故选

B.

「答案］B

3.已知直线/〃平面a,/u平面隹aC£=m,则直线I,m的位置关系是.

［解析］由直线与平面平行的性质定理知/〃丸

［答案］平行

4.如图，an(3=CD,aC\y=EF,^C\y=AB,AB〃a.求证：CD//EF.

［证明］因为AB〃a,ABu［5,aC0=CD,所以A6〃CD

同理可证

所以CDHEF.

5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD

交于点O,M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面

BDM于GH,求证：AP〃GH.

［证明］连接M0.

•.•四边形ABCD是平行四边形,

.•.0是AC的中点.

又：乂是PC的中点，

，AP〃0M.

又•.•APC平面BDM,OMu平面BDM,

，AP〃平面BDM.

又•.,APu平面APGH,平面APGHD平面BDM=GH,

，AP〃GH.

［解题感悟］

线面平行的性质

线〃面线面平行的判定线〃线.在空间平行关系中，交替

使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.

人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系

2.2.3直线与平面平行的性质课时检测

一、选择题

1.a,〃是两条异面直线，P是空间一点，过尸作平面与原匕都平行，这样的

平面（）

A.只有一个B.至多有两个

C.不一定有D.有无数个

［答案］C

2.两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.以上均可能

［答案］D

3.若不在同一直线上的三点A,B,C到平面a的距离相等，且A£a,则（）

A.a〃平面ABC

B.AABC中至少有一边平行于a

C.AABC中至多有两边平行于a

D.AABC中只可能有一边与a相交

［解析］若三点在平面a的同侧，则a〃平面ABC,有三边平行于a.

若一点在平面a的一侧，另两点在平面a的另一侧，则有两边与平面a相交，

有一边平行于a,故△ABC中至少有一边平行于a.

［答案］B

4.如图，在四面体A8CD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误

的为（）

A.ACLBD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.异面直线PM与5。所成的角为45。

［解析］截面PQMN为正方形,

，PQ〃MN,PQ〃面DAC.

又•.,面ABCC面ADC=AC,PQu面ABC,，PQ〃AC,

同理可证QM〃BD.故有选项A、B、。正确，C错误.

［答案］C

5.设a,8是两条直线，a,4是两个平面，若a〃a,au§,aC\［i=b,则a内与

b相交的直线与a的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a〃乩

又。与a无公共点，故选C.

【答案】C

6.如图所示，长方体48。£＞一4四。回中，E、尸分别是棱A4］和8干的中点，

过EF的平面EFGH分别交8C和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是（）

A.平行

C.异面D.平行和异面

［解析］,e•截面PQMN为正方形,

.♦.PQ〃MN,PQ〃面DAC.

又•.•面ABCn面ADC=AC,PQu面ABC,，PQ〃AC,

同理可证QM〃BD.故有选项A、B、D正确,C错误.F分别是AA「

BB］的中点，，EF〃AB.

又ABU平面EFGH,EFu平面EFGH,

，AB〃平面EFGH.

又ABu平面ABCD,平面ABCDCI平面EFGH=GH,

，AB〃GH.

「答案］A

7.如图，在长方体ABCD-A/iGQ中，E,b分别是棱AA】和8片的中点，过

EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H,则GH与AB的位置关系是（）

DUA

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

［解析］由长方体性质知：后尸〃平面A8C。，

YE/u平面EFGH,平面EFGHCI平面ABCD=GH,

J.EF//GH,又,：AB,J.GH//AB,.•.选A.

［答案］A

8.直线。〃平面a,a内有〃条直线交于一点，则这〃条直线中与直线。平行的

直线（）

A.至少有一条B.至多有一条

C.有且只有一条D.没有

［解析］设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定

一■个平面0,则点P既在平面a内又在平面P内，则平面a与平面0相交，设

交线为直线b,则直线b过点P.又直线a〃平面a,则a〃b.很明显这样作

出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即

这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.

［答案］B

9.如图所示，平面an£=//aAy=/2,pC\y=ly,11//12,下列说法正确的是（）

I,\

।!

A.4平行于4,且1平行于）

B./］平行于4,且1不平行于4

C.乙不平行于4,且，2不平行于，3

D.6不平行于4但，2平行于，3

［解析］'：\//\,卜丫，1仔丫，

又1尸0,pny=i3,

:.\//\z//\r

［答案］A

10.正方体A5C0-A卢1G0中，E,F,G分别是A?,CD,81G的中点，则

正确命题是（）

A.AE1CG

B.AE与CG是异面直线

C.四边形AEC£是正方形

D.AE〃平面BC—

［解析］由正方体的几何特征知，AE与平面BCC向不垂直，则AELCG不成立;

由于EG〃A［C］〃4C,故A,E,G,C四点共面，所以AE与CG是异面直线

错误；在四边形AEC］尸中，AE=EC=CyF=AF,但AE与AE不垂直，故四

边形AEC£是正方形错误；由于AE〃C］F,由线面平行的判定定理，可得AE〃

平面Be/.故选D.

「答案］D

11.对于直线相、〃和平面a,下列命题中正确的是（）

A.如果加ua,〃仁a,tn、〃是异面直线，那么〃〃a

B.如果mua,n*a,m、〃是异面直线，那么〃与a相交

C.如果mua,n//a,加、〃共面，那么相〃〃

D.如果，〃〃a,n//a,〃共面，那么机〃”

［解析］对于A,如图⑴所示，此时〃与a相交，故A不正确；对于B,如图（2）

所示，此时机，〃是异面直线，而〃与a平行，故B不正确；对于D,如图（3）

所示，相与〃相交，故D不正确.故选C.

［答案］C

12.如图，四棱锥P-A8CO中，M,N分别为AC,PC上的点，且MN〃平面玄

则（）

A.MN//PD

B.MN//PA

C.MN//AD

D.以上均有可能

［解析］〃平面%。，平面%cn平面%。=%，MNu平面%C,

J.MN//PA.

［答案］B

二'填空题

13.设M、〃是平面a外的两条直线，给出三个论断：

①用〃“；②加〃/③〃〃a.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构

造三个命题，写出你认为正确的一个命题：.（用序号表示）

［解析］设过M的平面（3与a交于1.

，M〃1,VM/7n,An^l,

Vn<ta,lea,.,.n//a.

［答案］①②=③或①③党

14.如图，正方体中，AB=2,点E为A。的中点，点尸在CD

上，若EF〃平面AB。，则线段EF的长度等于.

［解析］因为EF〃平面AB。，ER=平面ABC。,

平面A81Cn平面ABCD=AC,

所以E尸〃AC.又点E为AO的中点，点尸在CD上,

所以点F是CD的中点，所以EF=^AC=y［2.

［答案］y/2

15.如图所示的正方体的棱长为4,E,F分别为A1D1,AA1的中点，过Cl,E,

F的截面的周长为.

［解析］由EF〃平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1,

平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF,所以截面周长为EF+FB+BC［+C］E

=46+6、3

［答案］475+672.

16.如图所示，ABC。一是棱长为"的正方体，〃、N分别是下底面的

棱A向、与G的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=*过尸，M,N

的平面交上底面于PQ,。在CO上，则尸。=.

［解析］：MN〃平面AC,平面PMNC平面AC=PQ,

，MN〃PQ,易知DP=DQ=3,

故PQ=1PD2+DQ2=pDP=2?.

［答案］2乎a

17.如图所示，直线。〃平面a,并且。和A位于平面a两侧，点5,C^a,

A8、AC分别交平面a于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则.

［解析］EE可看成直线。与点A确定的平面与平面a的交线，

'：a//a,由线面平行的性质定理知，BC//EF,由条件知

AC=AF+CF=3+5=8.

EF_AF.AFXBC_3X4_3

又阮=恁，•,"=AC=丁=亍

［答案］（3

18.已知（如图）4、B、C、。四点不共面，且AB〃a,CD//a,AC^a=E,ADHa

=F,BDC\a=H,BCC\a=G,则四边形的形状是.

［解析］平面ADCCa=EF,且CD〃a,

得EF〃CD;

同理可证GH〃CD,EG〃AB,FH〃AB.

，GH〃EF,EG〃FH.

...四边形EFGH是平行四边形.

［答案］平行四边形

19.如图所示，在空间四边形A8CD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们

共面，并且AC〃平面EFG”,平面EFG”，AC=M,BD=n,当四边形

EFG”是菱形时，AE：EB=

［解析］:AC〃平面EFGH,，EF〃AC,GH〃AC,

BEAE

，EF=HG=M市，同理EH=FG=n

.BEAE

VEFGH是菱形,，，MBA=nAB,

AAE:EB=M：n.

［答案］M：n

三'解答题

20.ABC。是平行四边形，点尸是平面ABC£＞外一点，M是PC的中点，在。M

上取一点G,过G和AP作平面交平面30M于G”,

求证：AP//GH.

［证明］如图所示，连接AC交BD于O,连接M0,

VABCD是平行四边形，

，0是AC中点，又M是PC的中点,

，AP〃0M.

根据直线和平面平行的判定定理，

则有PA〃平面BMD.

•.•平面PAHGCI平面BMD=GH,

根据直线和平面平行的性质定理，

二AP〃GH.

21.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一

点，AB1AA1E=F,BlCnClE=G求证：AC〃FG.

［证明］VAC^AICI,AlClu平面A1EC1,ACC平面A1EC1,

...AC〃平面A1EC1.

又；平面A1EC1CI平面AB1C=FG,

，AC〃FG.

22.如图所示，四边形ABC。是矩形，PiABCD,过BC作平面8CFE交