2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 函数的概念及其表示

第二章函数

§2.1函数的概念及其表示

【考试要求】1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象

法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并会简单的应用.

■落实

【知识梳理】

1.函数的概念

一般地，设48是非空的实数集,如果对于集合/中的任意一个数x,按照某种确定的对

应关系了,在集合8中都有唯一确定的数v和它对应,那么就称力/f8为从集合/到集合8

的一个函数，记作y=/(x),x&A.

2.函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函

数称为分段函数.

【常用结论】

1.直线x=a与函数夕=火刈的图象至多有1个交点.

2.在函数的定义中，非空数集4B,4即为函数的定义域，值域为8的子集.

3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的

定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“丿”或“X”)

(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(X)

（2）函数y=/（x）的图象可以是一条封闭曲线.（X）

（3»=£°与歹=1是同一个函数.（X）

X—1,

（4）函数/）=•的定义域为R.（V）

产，x<0

【教材改编题】

1.（多选）下列所给图象是函数图象的是（）

答案CD

解析A中，当1>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当

冗=》0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此

是函数图象.

2.下列各组函数表示同一个函数的是（）

A.y=x-1与歹=---

x+1

B.y=x~］与,=一丄

x

C.y=2正与y=2x

2J2

D.y=---与\r=-----

x-1t~\

答案D

解析y=x-l的定义域为R,~1的定义域为{x|x#—1},定义域不同，不是同一个函

x+1

数，故选项A不正确；

y=X-|=1与歹=一丄的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；

XX

y=2G=2|x|与y=2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；

y=亠与仁亠的定义域都是（一8,1）U（1,+8）,对应关系也相同，所以是同一个函数,

X—1t—\

故选项D正确.

3.已知函数外）=则函数/（/、匕JJ等于（）

eY,%W0,

A.3B.-3C.丄D.——

33

答案c

解析由题意可知，/日=ln(=-ln3,所以71日)=/(—In3)=e-M3=：.

■探究核心题型

题型一函数的定义域

ln(x+1)

例1(1)函数y=,的定义域为()

^/―%2—3x+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)

C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+1>0,

解析由题意得・解得一1<》<1,故定义域为

—X2-3x+4>0,

⑵已知函数/(x)的定义域为(-4,-2),则函数g(x)=/(x—1)+声踵的定义域为.

答案［-2,-1)

解析：/(x)的定义域为(-4,-2),

要使g(x)=/(x-l)+声気有意义，

则已<1<-2,解得一2令一1,

k+22o,

二函数g(x)的定义域为[—2,-1).

思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值

集合；(2)若已知函数4)的定义域为[a,b],则复合函数貝g(x))的定义域由不等式“Wg(x)Wb

求出；(3)若复合函数/(g(x))的定义域为[a,b],则函数貝x)的定义域为g(x)在[a,句上的值域.

跟踪训练1(1)函数兀0=-5—+殍二的定义域为()

ln(x—1)

A.(1,3]B.(1,2)U(2,3]

C.(1,3)U(3,+°°)D.(一8,3)

答案B

x—1>0,

解析由题意知“一1#1,

3—xNO,

所以14<2或2VxW3,

所以函数的定义域为(1,2)U(2,3].

(2)(2023•南阳检测)已知函数外)=1g~则函数g(x)=/(x—1)+^2x—1的定义域是()

1+x

B.3}

A.{x\x>2x<0}

X

C.{x|x>2}D.{-I4}

答案B

1---Y

解析要使兀r)=lg—有意义,

1+x

1---Y

则丄—>0,

1+x

即(l-x)(l+x)>0,解得一ivxvl,

所以函數人X)的定义域为(-1,1).

要使g(x)=7(x—1)+^/2r—1有意义,

—l<x—1<1,

则

2x-l>0,

解得&x<2,

2

所以函数g(x)的定义域为J

题型二函数的解析式

例2(1)已知/(I—sinx)=cos2«x,求貝尤)的解析式；

(2)已知/1+「=/+丄，求危)的解析式；

(3)已知大x)是一次函数且3{x+l)-2/(x-l)=2x+17,求加)的解析式.

(4)已知兀0满足2fix)+A-x)=3x,求y(x)的解析式.

解(1)(换元法)设l-sinx=f,fG[0,2],

则sinx=1~t,Vy(l—sinx)=cos2x=1—sin2x,

/⑴=1一(1一。2=2.一凡Qo,2].

即道%)=2%一4,[0,2].

(2)(配凑法)..•/("1=/+[=[+力2-2,

X2

：.J(X)=X1-29xe(-oo,-2]U[2,+8).

(3)(待定系数法)・・・/a)是一次函数，可设/(幻=公+伙〃#0),

：.3[a(x+l)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+\l.

即ax+(5a+b)=2x+17,

a=2,Q=2,

解得

5a+h=\79b=7.

.；危)的解析式是危)=2x+7.

(4)(解方程组法)•.•贺》)+人一x)=3x,①

...将x用一x替换，得一x)+貝x)=-3x,②

由①②解得人x)=3x.

思维升华函数解析式的求法

(1)配凑法；(2)待定系数法：(3)换元法；(4)解方程组法.

跟踪训练2(1)已知兀v-l)=/+4x-5,则人x)的解析式是()

A./(x)=x2+6xB./(X)=/+8X+7

C.D./(x)=x2+6x—10

答案A

解析fix—1)—x2+4x—5,设x—1—t,x—z+1,

则貝。=(f+l)2+4(/+l)—5=»+6/,

故7(x)=x2+6x.

(2)若/日=:口，则/(x)=.

答案丄(xWO且xWl)

X—1

i

解析y(x)=--■-=awo且%wi).

11X—}

1----

X

(3)已知函数/(x)满足J=3x,则貝2)等于()

A.-3B.3C.-1D.1

答案A

则/（xJ+2/（x）=-②

x

联立①②解得以）=—2—X,则{2）=—2—2=—3.

x2

题型三分段函数

彳（X—|）x>0

例3⑴已知函数代）=,’贝IJ貝2024）的值为（）

—ln（x+e）+2,xWO,

A.-1B.0C.1D.2

答案C

/(x—1),x>0,

解析因为/(x)=

—ln(x+e)+2,xWO,

所以貝2024)=/2023)=/2022)="fl),

又/(D=/(l-l)=/(0)=-ln(0+e)+2=—l+2=l,所以大2024)=1.

,—工2—3xI2—]

(2)已知函数火x)=,'‘若/(。)=4,则实数a的值是_______；若大a)22,

2-3>x2-1,

则实数“的取值范围是.

答案-2或5[-3,-1)U[4,+°0)

解析若大m=4,

宀\a<—1,a2一1,

贝小或

'1一02—30+2=42"、=4,

解得a=—2或a=5.

若/(a)22,

Ia<—I.a2一1,

则，，或

l-a2-3a+2>2―2，

解得一3Wa<-1或a24,

...a的取值范围是[-3,-1)U[4,+8).

思维升华分段函数求值问题的解题思路

(1)求函数值：当出现人貝。))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值,

切记要代入检脸.

x+2,xWO,

跟踪训练3(1)已知函数/(x)=若貝/(幻)=2,则。等于()

印,x>0,

.X

A.0或1B.一1或1

C.0或一2D.一2或一1

答案D

解析令儿?)=/,则/⑺=2,可得1=0或)=1,

当1=0时,即火0=0,显然aWO,

因此。+2=0=>。=—2,

当)=1时,即加)=1,显然aWO,

因此〃+2=10〃=—1,

综上所述，a=-2或一1.

10g2X,X>\t

(2)(2023♦重庆质检)已知函数｛x)=,则1)的解集为.

炉一1,xWl,

答案［"?+T

解析当xWO时，x+lWl,

/(x)</(x+1)等价于/—l<(x+I)*2—1,

解得一LxWO；

2

当0<xWl时，x+l>l,

此时人丁)=炉一IWO,/x+l)=log2(x+l)>0,

,当OvxWl时，恒有人x)勺(x+1)；

当%>1时，x+l>2,

./(X)5/(X+1)等价于10g2X<10g2(x+l),此时也恒成立.

+

综上，不等式/(X)勺a+i)的解集为〔一3°°1

课时精练

立基础保分练

1.函数人x)=1g(x-2)+—!一的定义域是()

X—3

A.(2,+8)B.(2,3)

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+8)

答案D

解析V/(x)=lg(x-2)+-,

x—3

x—2>0,厶,

***<解仔x>2,且x#3,

%—3WO,

・・・函数段)的定义域为(2,3)U(3,+oo).

2.(2023•三明模拟)已知集合4={x|-2〈xWl},B={x\0<x^4},则下列对应关系中是从集合

力到集合5的函数是()

A.f：x-^y=x+1B./：x-y=ex

C.f：x—^y=x2D.f：x-^y=\x\

答案B

解析对于A,当x=-l时，由/：x-y=x+l得尸0,但0生8,故A错误；

对于B,因为从4={x|-2aWl}中任取一个元素，通过/：x-y=e'-在8={x|0<x<4}中都有

唯一的元素与之对应，故B正确；

对于C,当x=0时，由/：x-*y=x2得y=0,但0住8,故C错误;

对于D,当x=0时，由/：xfy=|x|得夕=0,但0比8,故D错误.

3.已知人好）=怆》，则火10）的值为（）

A.1B.VlbC.-D.~

3加

答案C

解析令》3=10,则X=103,

•M0)=iggq

4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、

纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其

内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为心注水时间为3则下面选

项中最符合厶关于f的函数图象的是（）

答案A

解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，

所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快,

由图可知选项A符合.

5.函数y=1+x-\l-2x的值域为（）

解析设设=Z,贝h20,x=g—,所以丁=l+g-----z=#一1一2z+3）=—*+1>+2,

因为BO,所以z|.所以函数尸1+x—后五的值域为卜8'£

一/+2%+3,xW2,

6.已知函数Hx）=,'''•、，（心0且。#1）,若函数危）的值域是（-8,4],则

6+log«x,x>2

实数。的取值范围是（）

A.即應T

C.（1）的D.（1,也）

答案B

解析当xW2时，/（X）——x2+2x+3

=—（x-1）2+4,

当x=l时，.危）=-7+2x+3取得最大值4,

所以当xW2时，函数/（x）的值域是（-8,4],

所以当x>2时，函数/（x）=6+logd的值域为（一8,用的子集,

当a>\时,危）=6+10恥在（2,+8）上单调递增,

此时段）M2）=6+k）ga2>6,不符合题意，

当0q<1时，/（工）=6+108，K在（2,+8）上单调递减，

此时Hx）q（2）=6+loga2<4,即loga2<—2,

所以“22丄，可得也

22

亚]

所以实数a的取值范围是_2'丄

7.（多选）下列四个函数，定义域和值域相同的是（）

丄

x\x<0,

A.歹=­x+1B.y=<

~9x>°

1X

2x-l

C.y=\n\x\D.y

x~2

答案ABD

解析对A,函数的定义域和值域都是R；

对B,根据分段函数和察函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；

对C,函数的定义域为(-8,O)u(o,+°°),值域为R；

2r—1?

对D,因为函数、=幺一」=2+亠，所以函数的定义域为(-8,2)U(2,+8),值域为

X—2x~2

(-8,2)U(2,+°o).

所以ABD是定义域和值域相同的函数.

8.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧

拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当

一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他

的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上

构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设48是两个非空的数集，如果按某种对应法

则/,对于集合力中的每一个元素方在集合8中都有唯一的元素〉和它对应，那么这样的对

应叫做从“到8的一个函数”，则下列对应法则/满足函数定义的有()

A.义工2)=田B./(x2)=x

C./(cosx)=xD.

答案AD

解析令f=x2(f>0),/)=|±"|=",故A符合函数定义；

令f=x2(f》0),丿(。=±叱，设1=4,八/)=±2,一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数

定义；

设/=8$*,当/=丄时，x可以取W等无数多个值，故C不符合函数定义；

23

令t=e(t>0),Xz)=lnt,故D符合函数定义.

_[cosx,x<0,卩

9.已知函数y(x)=，则/I3"IJ=________.

—7C)»X>0,

答案!

2

解析由已知得冏可图=/(羽图=/卜衆」一髄

10.已知/(4)=x-l,则貝x)=.

答案x2-1(x^0)

解析令，=衽，则。0,x=t2,

所以人。=尸一1。20),即貝刈=炉一l(x20).

11.已知函数貝X)的定义域为[-2,2],则函数g(x)=/(2x)+q匸区的定义域为.

答案[T,0]

|-2W2iW2,

解析由条件可知，函数的定义域需满足，

|_1一2后0,

解得一1WxWO,

所以函数g(x)的定义域是[―1,O].

2》+3工>0

'''若/S)=5,则实数Q的值是__________;若/(/S))W5,则

{X2—4,xWO,

实数。的取值范围是.

答案1或一3[一$,-1]

解析①当“>0时，2"+3=5,解得。=1；

当“W0时，a2—4=5,解得a=—3或。=3(舍).

综上，a—1或一3.

②设f=/(a),由次。<5得一3W/WI.

由一3Wy(a)Wl,解得一—1.

立综合提升练

13.(2022•广州模拟)已知定义在R上的函数/(x)满足，貝1—x)+"(x)=x2+l,则大1)等于()

A.-1B.1C.——D.—

33

答案B

解析•.•定义在R上的函数人均满足，.★1-x)+〃W=K+l,

...当x=0时，/(1)+〃0)=1,①

当x=l时，貝0)+〃(1)=2,②

②X2一①，得训1)=3,解得次1)=1.

(x+3,x这0,

14.(2023・南昌模拟)已知函数外)=:「若{a—3)=次。+2),则大〃)等于()

Nx,x>0,

A.2BSC.1D.0

答案B

解析作出函数/(x)的图象，如图所示.

因为貝。-3)=/(a+2),且3<。+2,

a—3W0,

所以•即一2<〃43,

a+2>0,

此时貝。-3)=。-3+3=。，沢。+2)=4而，

所以a=++2,即。2=°+2,

解得。=2或。=一1(不满足。=正直，舍去),

则/(a)=/.

R拓展冲刺练

15.VxeR,用