极坐标与参数方程-原卷+解析-高考数学二轮复习讲义

参数方程

知识清单

（1）关于参数方程：

①恒过定点尸（9为）且倾斜角为a的直线的参数方程：f=%+'c°sa（,为参数）

[y=%+tsma

其中，，的几何意义是，当,的系数平方和为一时，，表示有向线段访的数量。当点P在丸

上方时，f为正；当点P在与下方时，f为负。

如何辨别是否为直线的标准参数方程：（举例说明）

②圆心为（岫），半径为r的圆的参数方程：F="+"°s%为参数）

\y=b+rsmu

③长轴为a且短轴为b的椭圆的参数方程：

fx=acosO.」乙、|〃\

,.〃9为参数

[y=〃sin〃

其中，。的几何意义是：（横椭圆为例）以。为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正

半轴的夹角。

④抛物线y2=2px（p>0）对应的参数方程为：

卜=2"；为参数）；

[y=2p/

抛物线/二2py（p>0）对应的参数方程为：

[y=2。26为参数）；

[x=2pt

（2）关于极坐标：化简中的常用公式：

X=PCOS0y、、、

.9tan0=—,p—x4-yo

y=psin^x

会识别过原点的直线的极坐标方程，如：p.p=q,p=e

1.1三大方程之间的化简

例L（2021全国三卷）在直角坐标系xQy中，以坐标原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2&cos9.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程.

【变式1-1］设二=cos。，。为参数，求椭圆注工+

V33

@±互=|的参数方程.

5

【变式1-2】已知圆c的普通方程为

/+y+2x_6y+9=0，则圆C的参数方程为.

【变式1-3］（2019年全国三卷）如图，在极坐标系xQy

中，A（2,0）,B诋,C陋尊,。（2㈤，弧AB，8C,CD所在圆的圆心分别是（1,0）,

呜），（1㈤，曲线陷是弧A3，曲线但是弧BC,曲线M是弧CD.

分别写出跖，M2,M2的极坐标方程;

例2.（2017年全国三卷）在直角坐标系Xpy中，直线4

x=—2+m,

的参数方程为、=2乜（,为参数），直线/2的参数方程为.m（"为参数）.设4与4的交

y=kt,▼

点为P,当上变化时，P的轨迹为曲线C.写出C的普通方程;

2+3f

（变式2-1】参数方程"1+，5为参数）化成普通方

1-2?

y=--

I1+r

程为；

【变式2-2】将下列参数方程化为普通方程.

x=-

。为参数）;

y=-4i^\

x=2+sin*（，为参数）;

y=-l+cos2。

1+/（f为参数）.

【变式2-3】将下列参数方程化为普通方程:

x=—（el+e~l]

（1）:3为参数）；

⑵卜=2tan*（8为参数）.

[y=2tan

1.24%的运用

1.3.1所给方程为标准形式

例3.在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为

5=2+fcosa（，为参数）.以坐标原点。为极点，i.轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的

[y=tsina

极坐标方程为止』

（1）若。=工，求直线/的普通方程和曲线c的直角坐标方程；

3

（2）若直线/与C交于AB两点，与丈轴交于点P,且|刑.|冏=32,求直线/的倾斜角.

【变式3-1]在平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程

为-=T+'8s为参数，a为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

[y=%sina

轴，建立极坐标系，曲线c的极坐标方程

Y5-3cos2<9

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点P（-1,0）,直线/与曲线0交于AB两点，与），轴交于“点，若

\PA\-\PB\=\PM^,求直线/的普通方程.

【变式3-2］在平面直角坐标系xQy中，曲线c的参数方

X

程为(,为参数).以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆”

的极坐标方程为2d-4为sin卜+(卜3=0,点A的极角为3(极径小于1)，点A在圆历

上，过点4且斜率为2的直线/与曲线c相交于只Q两点.

(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标；

(2)求厂'+二的值.

K||Ag|⑸

【变式3-3］在平面直角坐标系中，直线/的参数方程

为「"-"'cos。"为参数，04&＜汀)，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标

［y=1+Zsintz

系，曲线c的极坐标方程为炉=—^，直线/与曲线C的交点为AB.

3+sin0

(1)求曲线c的直角坐标方程及a=g时的值；

(2)设点尸(_口)，求华匚啰的最大值.

【变式3-4]平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为

[X=__杨__,f

2(,为参数)，以.为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标

3cos2^+4sin2^

(I)求C的直角坐标方程和/的普通方程；

(II)设P(O,l),/与C交于AB两点，M为AB的中点，求|尸则.

1.3.2所给方程为非标准形式

例4.已知点C(-l,0),P(-l,2),曲线C,的参数方程为

x=T+四。为参数)，曲线C2的参数方程为x=-l+rcos。(6为参数)，以坐标原点.为极

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，若G与C?相交于AB两点且a邳=2如.

(1)求G的普通方程和G的极坐标方程；

⑵求向+向的值.

【变式4-1］已知平面直角坐标系X。中，曲线G的参数

X=cos。，

方程为(，〃为参数),76（。为参数）.以坐标原

y=——sin。

I2

点0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为］子其中

tana=＞。£(0,兀).

(1)求曲线G，G的普通方程以及点A的直角坐标；

(2)若曲线G与曲线G交于M'N两点'求弁+后的值•

1.3.3题干缺失直线的标准参数方程

|r2-4

X=----

例5.已知曲线C的参数方程为广+4。为参数).

8f

(1)求曲线C的普通方程；

(2)过点P(0,l)的直线/与曲线c交于A8两点，求网.阀的取值范围.

【变式5-1］在直角坐标系xQv中，以坐标原点为极点，

以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程?出1+?卜日，曲线。的极

坐标方程为p2（l+3sin*）=4.

（1）写出直线/和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点4（1,0）,若直线/与曲C线交于P、Q两点,P。中点为求呼毕的值.

【变式5-2］以直角坐标系的原点.为极点，轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1相），点M的极坐标为万，若直线/过

（町）

点P，且倾斜角为如，圆M的半径为2.

T

（1）求直线/的参数方程（写出一个即可）和圆M的极坐标方程；

（2）设直线/与圆M相交于AB两点，求您1+出的值.

1PAi网

【变式5-3］在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的方程为。为参数)，曲线g的极坐标方程为

0cos<9-2/>sin6=4,曲线G与a相交于A8两点.

(1)求曲线G的普通方程及曲线G的直角坐标方程；

(2)求点A/(2,-l)到A3两点的距离之和.

【变式5-4］在直角坐标系入3中，点0为坐标原点，直

线/的直角坐标方程为丫=3工+且，直线/与x轴交于点M,抛物线C的参数方程为

33

"XV为参数).

(1)以点。为极点，以x轴正半轴为极轴，求直线/的极坐标方程及点M的极坐标；

(2)设直线/与抛物线C相交于E,F两点,若忸歼-阿小眼闵=0,求抛物线C的准线方

程.

1.3参数思想的运用

例6.已知P（〃z,是椭圆.+>2=1上的动点，则2〃z+3〃

的最大值是,点P到直线/：工_2〉+3点=0的最小距离是.

【变式6-1]在平面直角坐标系xG?y中，已知圆C的参数

方程为F=a+fcos。（，为参数，其中。为正实数），以坐标原点0为极点，x轴的正半轴

[j=l+v5sina

为极轴建立极坐标系，直线’的极坐标方程为Reos。-夕sin6=0.

（1）若直线/与圆。相切，求。的值；

（2）在（1）的条件下，设直线/与圆c相切于点点N是圆C上的一个动点，求

△MON面积的最大值.

【变式6-2]以坐标原点0为极点，以x轴的正半轴为极

轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为psin。-?卜五，曲线J的极坐标方程为

夕(1-cos6)=1・

(1)写出G和a的直角坐标方程；

(2)设点P在G上，点Q在C?上，求|尸2|的最小值及此时Q的直角坐标.

【变式6-3】已知曲线C的参数方程为F=2cosO(e为

[y=sin。

参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

2夕cos6+3夕sin6=12・

(1)求曲线c的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)若点P为直线/上的动点，点Q是曲线c上的动点，求|PQ|的最小值，并求出此时Q

点坐标。

1.4极坐标思想的运用

例7.在直角坐标系入勿中，直线小光=2,曲线

C：[x=2cos"(0为参数).以o为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的

[y=2+2sin夕

极坐标为,5).

(1)求直线4和曲线c的极坐标方程；

(2)在极坐标系中，已知射线/2：e=a[<a<f与hc的公共点分别为AB,且

|OA|.|O5|=873,求AMOB的面积.

【变式7-11F在平面直角坐标系中，曲线c的参数方程为

F=3+2cosO(e为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极

[y=2sin8

坐标系；曲线/的极坐标方程为。=工.

6

(I)求c的极坐标方程；

(II)/与c交于AB两点，线段AB中点为M,求|0划.

【变式7-2]在平面直角坐标系xQv中，已知曲线E的参

数方程为["*c°sa为参数)，直线/的参数方程为b="os/?(，为参数,

=5/10sina+4[y=tsm/3

B<Q.以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)求曲线E的极坐标方程；

(II)直线/与曲线E交于两点，若ON=3OM，求直线/的斜率.

【变式7-3]在直角坐标系xQv中，直线/的参数方程为

F=机一1'（加为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

[y=m+l

C的极坐标方程为0+4sin6=O.

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线/的极坐标方程；

（2）若动直线㈠6=々和/2：0=a+-（ae（O,马）分别与曲线C交于A和B，同时又分

24

别与直线/交于E和F，求》的取值范围.

、,OEF

【变式7-4]在平面直角坐标系工作中，直线/的参数方程

为卜=-f,g为参数）.以°为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c的

[y=yJ3+t,

极坐标方程为p=acos0（«>O）,直线/与曲线C有且仅有一个公共点：

（1）求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设A，8是曲线C上的两点，且乙4。8=2,求o，+o/的取值范围.

6

1.5关于轨迹方程

1.6.1相关点法

例8.（2021全国三卷）在直角坐标系工⑦中，以坐标原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0=2应cos。.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为。,0），M为C上的动点，点P满足经=应411，写出P的轨迹

C,的参数方程，并判断C与G是否有公共点.

【变式8-1]（2018年全国III）在平面直角坐标系工作中，

O的参数方程为F=为参数），过点（o_&）且倾斜角为夕的直线/与.交于

[y=sin6

两点.

（1）求a的取值范围；

（2）求A8中点P的轨迹的参数方程.

【变式8-2】设点RQ都在曲线C『=4cosw(0为参

[y=2sinp

数)上，且点p对应的参数a与点Q对应的参数乃满足/?=2a(0Va<2;r)，M为PQ的中点

(当点P与Q重合时，点M也与点RQ重合)。

(1)求点M的轨迹的参数方程；

(2)判断点M的轨迹是否过坐标原点O,证明你的结论。

【变式8-3]已知点尸(2,2),圆(7:炉+12-8丫=0，过点

P的动直线/与圆C交于A8两点，线段AB的中点为M,。为坐标原点.

(I)若点M与点P重合，求直线/的方程；

(II)求点M的轨迹方程，以及QM.OP的最大值.

【变式8-4］以直角坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，椭圆C的左、右焦点分别是曲线0=五与x轴的交点.

（1）若椭圆C的长轴长为4,求椭圆C的焦点的极坐标及椭圆C的直角坐标方程；

（2）在（1）的条件下，已知动直线/垂直于x轴，且与椭圆C交于不同的两点A，B，点

P在直线/上，若.尸引=2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

【变式8-5］在直角坐标系中，以坐标原点.为极

点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为0=2cos6>+2sin6>,Q是C

上的动点，p是射线OQ上一点且满足|0。卜|0尸|=8.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）求点尸的轨迹的极坐标方程.

1.6.2直接法

例9.在直角坐标系xQv中，曲线C的参数方程为

卜=：+2—3（,为参数且』），c与坐标轴交于A,B两点.

[y=t2+t-2

（1）求;

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以£外接圆的极坐标方

程.

【变式9-1]在平面直角坐标系中，曲线G的方程为

v+ly-zynd.以坐标原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设A是G上的动

点，先将点A绕点0顺时针旋转得（得到点B，再保持极角不变，极径变为原来的2倍得

到点C，设点C的轨迹为曲线

（1）求曲线G、C2的极坐标方程；

（2）设M是曲线G、a的公共点，P、Q分别是射线与曲线a、a的公共点，且

M、P、2都异于点O，求二MPQ的面积.

【变式9-2】在极坐标系中，已知三点A(2,0),

(1)若A8,c三点共线，求。的值；

(2)求过O,A,8三点的圆的极坐标方程.(0为极点)

课后练习

X—2tH—

1.曲线C的参数方程为J(，为参数)，则曲线C的离心率”(）

y=t——

It

A.且B.好

22

C.姮D.72

4

2.下列可以作为直线2x+y-3=0的参数方程的是()

X-2H-------1

A.5（f为参数）

,-J5

y=-1------1

5

B.卜=1+百3为参数）

[y=l-2版

x-2------1

C.5（「为参数）

D.卜=i+”「G为参数）

[y=1-2〃

x=ms-------FA/2

m

1

y=m----

3.在平面直角坐标系中，曲线。的参数方程为m（根为参数）.

（1）求曲线C的普通方程;

（2）过点A（3及,0）且斜率为近的直线与C的交点分别为点M，N，求启+总的值•

卜=招+2cosa

4.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为iy=l+2sin。（a为参数），以坐标原点为极

点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若过原点的直线/被圆C截得的弦长为2,求直线/的倾斜角.

5.在平面直角坐标系X。中，曲线q：/+卷=1,以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极

轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为炉一80COS0+15=O.

(1)求曲线q的参数方程与G的直角坐标方程；

(2)设点A8分别为曲线G与G上的动点，求|明的取值范围.

|x=1+Zcosa

6.在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为"sina«中的一个为参数)，以。

I:Qsin"-。）=1

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

(1)当,为参数，0=(时，判断曲线G与直线/的位置关系;

(2)当a为参数，方=2时，直线/与曲线G交于不同的两点A，B，若尸(0,2),求

的值。

\PA\\PB\

7.已知曲线G：f=T+cosa（"为参数），曲线c,：F=3cos'为参数）.

[y=3+sina[y=2sin^

（i）化G，a的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若G上的点P对应的参数a=乃，点Q为G上一动点，PQ中点为M，求点M到直线

=3+2f

C3：?（，为参数）距离的最小值以及此时点M的坐标.

[y=2-t

Ix=1+sincr+2cosa

8.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为i〉=4sina-2cosa（a为参数），以。为

极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设直线/与曲线C相交于A、8两点，求|AB|的值.

9.已知椭圆C:尸=2cos?"是参数），A和B是C上的动点，且满足04,08（。是坐标原

[y=sm0

点），以。为极点、以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为

（1）求线段AO的中点M的轨迹E的普通方程；

（2）利用椭圆C的极坐标方程证明厂L+白为定值，并求AO8面积的最大值.

\OA\\OB\

10.在平面直角坐标系xQy中，圆C的圆心为（°』），半径为1,现以原点为极点，x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆c的极坐标方程；

（2）设M，N是圆C上两个动点，满足NM9N=g,求|0M|+|CW|的取值范围.

卜=l+2cos尸

11.在平面直角坐标系xQy中，已知曲线M的参数方程为i，=l+2sin夕(/?为参数)，以坐标

e=~

原点为极点，X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线4的极坐标方程为4,直线4的

e工

极坐标方程为4.

(1)写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；

(2)设4与曲线“交于A、C两点，4与曲线M交于B、£)两点，求四边形ABCD面积.

12.在直角坐标系xQy中，直线/的倾斜角为a,且经过点(6,-3),以坐标原点为极点，%

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4cos/-S],直线/与曲线C

有两个不同的交点AB.

(1)写出直线/的参数方程、曲线C的直角坐标方程，并求a的取值范围；

(2)以a为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程.

X=~2f

13.在直角坐标系中，曲线c的参数方程为1+?;（，为参数），以坐标原点。为极

1一产

rw

点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为6pcose+20sine-2=O.

（1）求C的普通方程和/的直角坐标方程；

（2）求C上的点到直线/距离的最大值.

14.如图，在极坐标系Qx中，A、］）、B（2五,力、弧、弧

BC、弧CD所在圆的圆心分别是区）、（2,0）、（2,青，曲线C,是弧曲线g是弧

BC，曲线G是弧a>，曲线c：〃p,。）=o（ove<2乃）由G、G、构成.

（1）写出曲线C的极坐标方程，并求曲线C与直线9=|<peR）所围成图形的面积

（2）若点M在曲线C上，且|OM|=2百，求点”的极坐标.

15.如图是以等边三角形Q钻的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段

弧，三段弧围城的曲边三角形，记为勒洛OAB（勒洛三角形是德国机械工程专家，机构

运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）.在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点

。为极点，以X为轴正半轴为极轴建立极坐标系，（规定：极径02。，极角。旦一万,加），已

知点"

（1）求横和08的极坐标方程;

（2）已知点M。是钻上的动点，求|MQ［的取值范围.

16.在平面直角坐标系xQy中，直线4的参数方程为x=为参数）,直线4的参数方

y=kt

x=退-s

程为｛s(S为参数)，直线4与/，的交点为P，以坐标原点0为极点,x轴正半轴为极

y=一

3k

轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为0。sin1夕+?=1.

(1)求点P的轨迹c的普通方程;

血土血的

(2)若曲线a与曲线C相交于M，N两点，点Q的直角坐标为(1,0)，

值.

参数方程

知识清单

（1）关于参数方程：

①恒过定点尸（七,%）且倾斜角为a的直线的参数方程：尸=%+'83々,为参数）

[y=%+tsma

其中，/的几何意义是，当f的系数平方和为一时，，表示有向线段好的数量。当点P在6

上方时，『为正；当点P在与下方时，『为负。

如何辨别是否为直线的标准参数方程：（举例说明）

②圆心为（a,力，半径为r的圆的参数方程：F="+‘cos%为参数）

=。+rsinC

③长轴为a且短轴为b的椭圆的参数方程：

fx=acosO,

,.〃。为参数x

[y=〃sin〃

其中，。的几何意义是：（横椭圆为例）以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正

半轴的夹角。

④抛物线y2=2px（p>0）对应的参数方程为：

卜=2"、为参数）；

[y=2p/

抛物线炉=2py（p>0）对应的参数方程为：

卜=20、为参数）；

[x=2pt

（2）关于极坐标：化简中的常用公式：

[x=OCOS0V、、、

\，tan6=—,p=x2+yo

[y=psin^x

会识别过原点的直线的极坐标方程，如：p=^p=^,p=e

1.6三大方程之间的化简

例10.（2021全国三卷）在直角坐标系X。中，以坐标原

点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2&cose.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程.

【答案】卜一可+/=2.

【解析】（1）由曲线C的极坐标方程0=2血85。可得"=2在pcosP，

将x=pcos8,y=0sin©代入可得尤2+V=2返工,即（x-四）+y2=2>

即曲线C的直角坐标方程为卜一①丫+y=2

【变式1-4]设二=cos。，。为参数，求椭圆狂旦+

V33

（y+2>=i的参数方程.

5

【答案】卜=1+君COS&（。为参数）

[y=一2+6sing

【详解】

把与Leos。代入椭圆方程，得至Ucos2e+—li=i,

超5

于是（>+2）2=5（1-cos2^）=5sin23,即y-\-2=±45sm3,

由参数。的任意性，可取y=-2+75si",

因此椭圆与工+（>+2）2=1的参数方程为b=1+e°s&（。为参数）.

35=-2+V5sin^

【变式1-5】已知圆c的普通方程为

¥+/+2x_6y+9=0，则圆C的参数方程为.

【答案】/=T+cos9（e为参数）.

[y=3+sin。

【解析】由x2+y2+2x-6y+9=0，可得（x+iy+（y-3）2=l.

令x+l=cos。，尸3=sin«，所以圆c的参数方程为[x=T+c°s，e为参数）.

【变式1-6](2019年全国三卷)如图，在极坐标系xQy

中，4(2,0),8(也,C(＞也苧，。(2,兀)，弧AB，BC,8所在圆的圆心分别是(1,0),

(丐)，(1,兀)，曲线陷是弧AB，曲线区是弧BC,曲线也是弧CD.

分别写出M，M2,M的极坐标方程；

【答案】夕=2cos6(6e[O,.])，夕=2sine(6£[?,午]),P=-2cos^(^G,

【详解】

由题意得，这三个圆的直径都是2,并且都过原点.

Mx\p=2cos6(6e[0,^]),

冗43437r

M2:p-2cos(^-—)=2sin6(6G[—,—]),M3:p=2cos(6-»)=-2cos，(夕G.

例11.(2017年全国三卷)在直角坐标系xQy中，直线4

x=-2+m,

的参数方程为I；[(,为参数)'直线4的参数方程为

m(优为参数).设4与4的交

y=T

点为p,当上变化时，P的轨迹为曲线c.写出c的普通方程；

【答案】》2-9=4(忏0)

【详解】消去参数:得4的普通方程4：y=M"2);消去参数能得/2的普通方程

4：y=g(x+2).

y=左(1_2)

设尸(x,y),由题设得,1,消去攵得/一y2=4(,。0).

y=%(%+2)

所以C的普通方程为炉—V=4("o).

_2+3/

【变式24】参数方程入-777(/为参数)化成普通方

1—2/

y=--

1+/

程为;

【答案】3x+y-7=0(xw3).

【详解】

2+3r_3(l+r)-l1

x-----------------------J--------

1+t1+t1+t

=3-x

1+t

”「2(l+，)+3―2+2.,_L=2±2

1+r1+r1+r1+t3

.•.37=苫4*3),即3x+y-7=0("3)

故答案为：3x+y-7=0(xw3)

【变式2-5】将下列参数方程化为普通方程.

(1)(f为参数);

⑵卜=2+sin*(J为参数);

[y=-l+cos20

2t2

x=------

⑶1+r(f为参数).

【答案】

(1)^2+/=1,其中"臼或尸"<0

[0<y<1[-1<y<0

(2)2x+y-4=0(2<x<3)；

(3)3x+y-4=0Ue[0,2)).

【详解】(1)因(++d^^i)2=l,依题意有V+y'l,而『一GO,即91或后T,又

tt

兀=；,贝!JxwO,

当，之1时，0<冗<1,。<)<1,当/<一1时，一14九<0,1<)40,

所以所求普通方程为^+「=1,其中;；；：；或-l<x<0

—1<y<0

(2)13y=-1+cos2^=-1+1-2sin20=-2sin20,ffj]sin2^=x-2,贝|y=—2x+4,即2x+y—4=0,

X0<sin26»<l,即0VX-2V1,于是2VxV3,

所以所求的普通方程为2x+y-4=0(2VxM3)；

⑶因X=2L,则>=4-21=4(1+产)-6.=4_3•工=4—3x,

'1+r-i+r1+r1+t2

▽2f22(1+产)-232

乂》=—7=-----i—=2---e0,2)，

1+r1+f21+”rL'

所以所求的普通方程为3无+y-4=0ae[0,2)).

【变式2-6】将下列参数方程化为普通方程:

x=~(e'+e']

(1)；G为参数)；

y=2(e'~e~')

(2)卜=2tan*(J为参数).

[y=2tan6

【答案】(1)^-/=1；(2)/=2x.

x=—(e'+

【详解】解：(1)由-2、得—=》+,，e'=x—y'

两式相乘得，.二=(x+y)(x-y)=1,...曲线的普通方程为x2-y2=l;

(2)由y=2tan6得tan。=微，代入到尤=2tan2。得x=='，即y?=2x,；•曲线的普通

方程为J=2》.

1.3.1所给方程为标准形式

例12在直角坐标系X。中，直线/的参数方程为

5=2+fcosa（，为参数）.以坐标原点。为极点，i.轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的

[y=tsina

极坐标方程为止』

（1）若。=工，求直线/的普通方程和曲线c的直角坐标方程；

3

（2）若直线/与C交于AB两点，与丈轴交于点P,且|刑.|冏=32,求直线/的倾斜角.

【答案】(1)6x7-26=0,9=4心/0);(2)4或红..

66

【详解】

%=24—t

2

（1）因为/的参数方程为，所以石（x-2）=y.所以/的普通方程为

0

43x-y-2y/3=0，

又因为p=_1,所以夕=生"，所以02sinR=4pcos6,所以曲线C的直角坐标方程为

sin0tan0sin6,

y2=4x("。)；

(2)将p2+tcosa代入,2=卬"0)中，

[y=tsina

(sin2cr)z2=8+4zcosiz,BP(sin2<7)Z2-4ZCOS6Z-8=0,

8

所以tt

x2sin2a

因为1尸4卜|尸目=32,所以以21=--—=32,所以sina=土;，

又因为"£[0,]），所以0=工或a=包，

66

所以直线/倾斜角为弓或去

【变式3-5]在平面直角坐标系中，直线/的参数方程

为F=-l+,cosa,（，为参数，。为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

[y=/sina

轴，建立极坐标系，曲线c的极坐标方程p=J—匚.

Y5-3cos2<9

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点P（-1,0）,直线/与曲线0交于AB两点，与y轴交于M点，若

\PA\-\PB\=\PM^>求直线/的普通方程.

.2

【答案】（1）+y2=19(2)X—yf2y+1=0x+^f2y+1=0•

【详解】

8

(1)由0=I-§—可得/=

5-3cos26>5-3(cos*-sin*)'

/.p2(2cos20+8sin2^)=8,x=pcos3,y=psinO

.•.2X2+8/=8>曲线C的直角坐标方程是1+/=l.

（2）设A、3两点对应的参数分别为％、人

联立直线/的参数方程与曲线C的普通方程，整理得

（1+3sin2a）•〃-2cosa-t-3=0，

._3

t,t=--------7--，

71+3sin2a

设点Af对应的参数为与，由％“=-l+/3COsa=0,可得G=—-—,

cosa

由冈•附=归可得仁修引城,

即―1=，2,

l+3sin2acosa

31

l+3sinacosa

.\2sin2cr=cos2cr»即taYan；，

二直线/的斜率k=±且，

2

故直线/的方程为x_0y+l=O或X+夜y+l=o-

【变式3-6］在平面直角坐标系xQy中，曲线C的参数方

t

x=----

程为'「IG为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆M

户一r-i

的极坐标方程为2"-4何sin|+6+3=0,点A的极角为？（极径小于1）,点A在圆M

上，过点A且斜率为2的直线/与曲线C相交于RQ两点.

（1）求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标；

⑵求血+高的直

(2)型

【答案】(1)4JC2+y2=l(y7^1),

ri5

【详解】

2242f21

___4_/__(f-l)?+2r+l(+)\1

解：（1）由曲线C的参数方程可得4/+y2=+

(『+1)2'(r+1厂92+1)2

又由y=变产=1-3'有-hy<l

所以曲线C的直角坐标方程为4/+>2=1（>片1）

将代人圆M的极坐标方程有，2p-4®+3=0,解得0=孝或展半，由

0<p<l，可得p=¥，可得点A的直角坐标

=11

X-I—『t

275

（2）直线/的参数方程为(f为参数)

12

y=2+^

设PQ两点对应的参数分别为1占有|AP|=,|，|40=闾

将直线/的参数方程代入曲线c的直角坐标方程后整理为8产+66+9=0,可得

4

3A/5

3招2有11_11」彳+力_丁_24出

-432\AP\\AQ\|r,|同|V2|±5

32

【变式3.7】在平面直角坐标系％8中，直线/的参数方程

为x=T+rcosa（，为参数，。4[<万），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标

y=l+Zsintz

系，曲线c的极坐标方程为"?=」^，直线/与曲线C的交点为AB.

3+sin"0

（1）求曲线C的直角坐标方程及a=3时|AB|的值;

（2）设点尸（一1,1）,求毕*的最大值.

（1）

【答案】……

【详解】

解：⑴曲线C的极坐标方程为乐就行

x=pcos°22

根据y=psm0，转换为直角坐标方程为三+匕=1，

x2+y2=p243

当夕=工时，直线/的参数方程为F=T+'c°sa（f为参数，0＜。＜万）,

2[y=l+tsina

转换为直角坐标方程为冗=-1.

\2/

所以，由了+可=1,解得|y|4，

所以依8|=3.

（2）把直线的参数方程F=T+'c°sa,代入£+目=1，

y=l+/sina

得至U