2023年新高考数学大一轮复习 等比数列及其前n项和 (原卷版)

专题25等比数列及其前n项和

【考点预测】

一.等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为

(2)等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做。与6的等比中项.

即G是。与6的等比中项oa,G,6成等比数列=>G2-ab.

二.等比数列的有关公式

(1)等比数列的通项公式

设等比数列｛七｝的首项为%,公比为q(q丰0),则它的通项公式an==c-q'\c=0).

“q

推广形式：

(2)等比数列的前"项和公式

nax(q=1)

等比数列｛〃“｝的公比为w0),其前〃项和为S〃=<〃a,-aq

—,--------=-.--------(#1)

I1一夕i-q

注①等比数列的前〃项和公式有两种形式，在求等比数列的前〃项和时，首先要判断公比9是否为1,

再由4的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比9是否为1时，要分4=1与4W1两种情况讨论求解.

②已知(项数)，则利用5“=0(1一"")求解;已知q,a”,q(qwl),则利用斗=5，连求解.

1-q1-q

③S“=空二dl=3.q"+—=kq"_go,q^l),S“为关于/的指数型函数，且系数与常数互

1-q1-q1-q

为相反数.

三.等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若加+〃=p+q时，则特别地，当《7+〃=2。时，aman=aj.

(2)①设｛%｝为等比数列，则｛叫』(2为非零常数)，｛㈤｝,⑷"｝仍为等比数列.

②设｛4｝与｛b„｝为等比数列，则｛anb,,｝也为等比数列.

(3)等比数列｛4｝的单调性(等比数列的单调性由首项q与公比q决定).

当『>0或时，｛%｝为递增数列;

国>1[0<^<1

当或I;1:时，他"）为递减数列.

（4）其他衍生等比数列.

若已知等比数列｛,｝,公比为g,前“项和为S,,则:

①等间距抽取

ap,ap+t,ap+2t,ap+（n_I）t,为等比数列，公比为

②等长度截取

Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,为等比数列，公比为q"■（当q=T时，加不为偶数）.

【方法技巧与总结】

（1）若m+n=p+q=2k（m,n,p,q,keN*）,则〃加,•

（2）若｛4｝,依｝（项数相同）是等比数列，则｛皿｝（六0）,｛口，伍口，｛%%｝,｛2｝仍是等比

a”b»

数列.

（3）在等比数列｛%｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即%,an+k,an+2k,%+3&…为

等比数列，公比为4%.

（4）公比不为一1的等比数列｛%｝的前〃项和为S“，则S"，S2n-Sn,SM-S?”仍成等比数列，其公比

为小

（5）｛a/为等比数列，若q•生…4=7,，则（，&，及，成等比数列.

Tn

（6）当q/0,gwl时,S“=6—Oq"（左N0）是｛%｝成等比数列的充要条件，此时左=-^一.

i-q

（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等.特别地，若项数为奇数时，还等于中间

项的平方.

（8）若｛4｝为正项等比数列，贝|｛10&q｝9>0美彳1）为等差数列.

（9）若｛%｝为等差数列，则-%｝（00,用1）为等比数列.

（10）若｛g｝既是等差数列又是等比数列=｛4）是非零常数列.

【题型归纳目录】

题型一：等比数列的基本运算

题型二：等比数列的判定与证明

题型三：等比数列项的性质应用

题型四：等比数列前"项和的性质

题型五：求数列的通项外,

题型六：奇偶项求和问题的讨论

题型七：等差数列与等比数列的综合应用

题型八：等比数列的范围与最值问题

题型九：等比数列的简单应用

【典例例题】

题型一：等比数列的基本运算

例1.（2022•全国•高三专题练习）已知正项等比数列｛4｝的前w项和为邑=2,诙=10,则｛%｝的公比

为（）

A.1B.72C.2D.4

例2.（2022・广东•梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数歹U｛%｝中，%+%+%=6，/+4+%=24.则

｛凡｝的公比4为（）

A.2B.2或_2C.一2D.3

l

【解析】由题意，=a、/,a$=a厅，a。=a1g

：.q+/+为=（41++。7

q2=4q—+2

例3.（2022•全国•高三专题练习）记S.为正项等比数列｛见｝的前,项和，若$3=14,4=2,则，管的值

为（）

11

A.2B.-C.3D.-

例4.（2022.河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列｛q｝的前〃项和为S“，且满足

3a2=S3-4tZj,则公比（）

11

A.yB.2C.-D.3

z3

例5.（2022•广东江门•高三阶段练习）设等比数列｛%｝满足％+/=10,%+%=5,贝。

log?"+log2a2++log2a„=.

例6.（2022.福建・厦门一中模拟预测）已知等比数列｛?｝的前〃项和为%若S2=],$3-4=:,则§6=

例7.（2022.全国•高三专题练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，

5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢

中一共有蜜蜂（）

520-5421-4

A.42°只B.520只C.--------只D.---------只

43

例8.（2022•全国•高三专题练习）已知2、X、8成等比数列，则x的值为（）

A.4B.-4C.±4D.5

例9.（2022.全国•高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差

数列，则这两个正数之和为（）

A.13—B.11—C.10—D.10

242

例10.（2022.全国•高三专题练习）已知数列｛4｝是等差数列，数列｛2｝是等比数列，若

+期

/+4+佝=6也/a=8,则f—的值是（）

A.1B.1C.2D.4

,、1a,+a.

例11.（2022•青海海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列｛q｝的公比4=-二，则六支等于（）

3u2+u4

11c

A.——B.-C.3D.-3

33

例12.（2022.内蒙古・海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列｛4｝中，其前5项的和$5=25,等比

数列电｝中，4=2,。]3=8,则，=（）

例13.（2022•全国•高三专题练习）已知等比数列｛见｝的前3项和为168,%-%=42,则以=（）

A.14B.12C.6D.3

例14.（2022•全国•高三专题练习）已知正项等比数列｛%｝满足%=g+24,若存在金、巴，使得爆q=16端，

14

则—।—的最小值为（）

mn

A.-B.16C.—D.一

342

例15.（2022•全国•高三专题练习）在正项等比数列｛〃〃｝中，—%,且。4=16,贝!）。10=（）

A.1024B.960C.768D.512

例16.（2022.全国.高三专题练习）在公差不为0的等差数列｛“〃｝中，。1，〃2，%，%，43成公比为3的等比数

列，则上3=（）

A.14B.34C.41D.86

例17.（2022.安徽.合肥一中模拟预测（文））等比数列｛4｝的前〃项和为S”，已知耳，2s2,3s3成等差数

列，则｛4｝的公比为（）

111

A.—B.-C.3D.—

/43

【方法技巧与总结】

等比数列基本量运算的解题策略

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量q,n,q,an,S“,

一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

（2）等比数列的前〃项和公式涉及对公比q的分类讨论：

当4=1时，S“=:吗；当“Al时，s/答二£2=与4£.

题型二：等比数列的判定与证明

例18.（2022.青海・海东市第一中学模拟预测（理））设数列｛4｝的前"项和为S“，Sn=2an+n-4.

（1）证明：数列是等比数列.

12〃]170

（2）若数列——的前"2项和刈，求相的值.

例19.（2022•海南海口•二模）已知数列｛4｝的各项均为正整数且互不相等，记S,为｛%｝的前〃项和，从下

面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛q,｝是等比数列；②数列电+1｝是等比数列；③%=4（4+1）.

注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

例20.（2022.江苏・南京师大附中模拟预测）己知正项数列｛%｝的前九项和S"=Aq"+B,其中A,B,4为

常数.

（1）若4+3=0,证明：数列｛4｝是等比数列；

⑵若％=1,册+2=4%,求数列｛"。"｝的前〃项和「.

,,>—a+”,〃为奇数f3]

例21.（2022.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，％=1,4+1=3,求证：数列%,-不

为偶数〔4

是等比数列.

例22.（2022•全国•高三专题练习）设数列｛《,｝满足。向=巴三

,其中4=1.证明:是等比

数列;

例23.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足％=1,%=3,an+2-2an+l=an+1-2an（neN*）,证明：

数列伍用-%｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

例24.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足：­+%=2",且％=1,"=。"-白2”.求证：数列也｝

是等比数列；

例25.（2022•上海•模拟预测）在数列｛〃“｝中，%=5,0用=3氏-4"+2,其中“©N*.

⑴设。=4-2〃,证明数列他,｝是等比数列；

（2）记数列｛为｝的前〃项和为试比较S”与+2022的大小.

例26.（2022•全国•高三专题练习）记S"是公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，已知生+3%=S5,ala5=S4,

数列M｝满足4=3%+2"一（心2,〃eN*）,且4=%-1.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）证明数列[当+"是等比数列，并求｛2｝的通项公式；

例27.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛《,｝的前”项和为S"，4=3,Sn=2+an+l.

（1）证明：数列｛S,-2｝为等比数列；

（2）记数列的前〃项和为T.，证明：Tn<2.

例28.（2022・吉林长春•模拟预测（理））已知数列也｝和也｝满足%=2,4=0,2a„+bn+l=3n+l,

。向+2%=3"+1.

⑴证明：｛%-2｝是等比数列；

⑵求数列也｝的前〃项和.

13

例29.（2022.河北•模拟预测）已知数列｛%｝和也｝满足q=-耳,吊=万,4a„+1=3%-bn+4,4%=3bn-an-4.

（1）证明：｛%+2｝是等比数列，｛4-2｝是等差数列;

（2）求｛%｝的通项公式以及｛4｝的前〃项和S”.

例30.（2022・湖北•房县第一中学模拟预测）已知在数列｛%｝中弓=1,

⑴令2=3'”“-；,证明：数列也｝是等比数列；

1

(2)Sn=%+3a2+32%++3"an,证明：4Sn—3"a“=n.

（、33。”

例31.（2022•江西・赣州市第三中学模拟预测（文））已知数列何｝满足q=""用=左左.

（1）证明：是等比数列；

⑵设2=笛已证明4+仇++2<"

JO

例32.（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝的前"项和为S",Sg=90,颊=20,数列也｝满足伪=6,

b

,t+l=3b”-4n,Tn为数列也｝的前“项和.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求证：数列也一%-1｝为等比数列；

（3）若£「3692。恒成立，求”的最小值.

例33.（2022•全国•高三专题练习）在数列｛qj中，4=1,%=2,S.an+2=3an+1+4an.

（1）证明：｛%+1+。“｝是等比数列；

（2）求数列｛%｝的通项公式.

【方法技巧与总结】

等比数列的判定方法

若&k=q（q为非零常数，ncN*或—q为非零常数且

定义法a„a„-\

n>2,neN*）,则｛对｝是等比数列

中项

若数歹U｛%｝中，an。0且〃〃+12=4〃.%+2（几£浦），则｛〃〃｝是等比数列

公式法

通项若数列｛4｝的通项公式可写成a,=c“"T（c,q均为非零常数，

公式法力eN*）,则｛%｝是等比数列

前几项和若数列｛4｝的前〃项和S"=kq"H（%为非零常数，#0,1）,贝IJ

公式法｛%｝是等比数列

【注意】

（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定.

（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.

题型三：等比数列项的性质应用

例34.（2022•全国•高三专题练习）等比数列｛4｝中,若％=9,则log3a4+kg3a6mC）

A.2B.3C.4D.9

例35.（2022•辽宁沈阳三模）在等比数列｛4｝中，的，%为方程d-4x+%=0的两根，则四为%的值为（）

A.兀&B.-兀辰C.土兀&D.万3

例36.（2022.青海.大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列｛。“｝的公比为2,前"项和为

S”，若4+%=2,则邑=（）

A.—B.4C.—D.6

55

例37.（2022.全国•高三专题练习）在等比数列｛4｝中，如果%+%=16,4+〃4=24,那么％+/=（）

A.40B.36C.54D.81

例38.（2022・陕西・长安一中一模（理））正项等比数列｛%｝满足：2a4+的=2%+%+8,贝！12a6+生的最小

值是

A.64B.32C.16D.8

例39.（2022•全国•高三专题练习）在由正数组成的等比数列｛4｝中，若,

log3a｛+log3a2+log3as+log3a9的为

434

A.-B.—C.2D.03

343

例40.（2022・天津・一模）在等比数列｛4｝中，公比是4,则F>1”是“%>。"（〃€4）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例41.（2022•河南安阳•模拟预测（理））已知｛4｝为等比数列，生+4=-7,%%=-8,则/+%=.

例42.（2022•安徽・合肥一中模拟预测（文））在正项等比数列｛%｝中，«1=1，%&=9,记数列｛%｝的前“

项积为T“，Tn>9,则〃的最小值为

例43.（2022•全国•高三专题练习（理））在各项都为正数的等比数列｛4｝中，已知其前〃项之积

为且％=4,则I取最小值时，〃的值是.

【方法技巧与总结】

（1）在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m+n=p+q=2k,

则%=。二"，可以减少运算量，提高解题速度•

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注

意设而不求思想的运用.

题型四：等比数列前“项和的性质

例44.（2022•全国•高三专题练习）已知等比数歹或凡｝的前〃项和S"=ax3"-2,贝l]"=.

例45.（2022・全国•高三专题练习）等比数列｛«„｝的前“项和为S"=4"-c,则实数c=.

等比数列前〃项和为s“，若率=4,贝e=

例46.（2022・全国•高三专题练习）

,3%

例47.（2022.上海.高三专题练习）已知数列｛叫、也｝均为正项等比数列，月、Q“分别为数列｛%｝、也｝

InP5n—7Ina,

的前〃项积，且丁才=一丁一，则笠的值为___________.

In。”2nlnb3

例48.（2022•全国•高三专题练习）设等比数列｛%｝的前“项和为S.，若凡：邑=1：2,则$9:63=（）

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

例49.（2022.全国•高三专题练习）己知正项等比数列｛%｝的前"项和为S“，若-5,53,$6成等差数列，则

59-品的最小值为（）

A.25B.20C.15D.10

例50.（2022•全国•高三专题练习）设等比数列｛”“｝的前〃项和为S,,若星=9,S6=36,则为+q+佝虫

）

A.144B.81C.45D.63

例51.（2022・全国•高三专题练习（文））等比数列｛4｝的前〃项和为%若S.=f-2"T-l,则/=（）

A.2B.-2C.1D.-1

例52.（2022•全国•高三专题练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和斗=23+2%（meR）,则（）

1111

A，-10mC.-----D.—

2020

【方法技巧与总结】

（1）等比数列｛%｝中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和“具有的性质，设公比为q.

①若共有2w项，则上=q；②若共有2九+1项,

（2）等比数列｛%｝中,S1fc表示它的前左项和.当#-1时，有S「S21fc—&氏丘一电，…也成等比数列,

公比为

题型五：求数列的通项4

+l

例53.（2022•全国•高三专题练习）在数列｛风｝中，若％=2,an+l=3an+2",则%=（）

51

A.B.———

C.23—2向D.4・3〃T—2计1

例54.（2022.青海玉树.高三阶段练习（文））已知£为数列｛%｝的前〃项和，若%=2%-2凡=10,则｛%｝

的通项公式为（）

22

A.g=3"-4B.an=2"+2C.an^n+nD.an=3H-1

例55.（2022.安徽.高考模拟（文））已知等比数列｛4｝的首项为2,前〃项和为S“，且S5-邑=q+40.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若％=出”,求数列｛4｝的前“项和配

例56.（2022•云南・昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属

的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二

是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条

边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就

得到一个“雪花,，状的图案.设原正三角形（图①）的边长为3,把图二中的①，②，③，④，……图形的周

长依次记为生,“2,。3，

图一

（1）直接写出。2,%的值;

（2）求数列｛a,｝的通项公式.

例57.（2022.上海.高三阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产生的垃圾量为200万

吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减

少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%.

（1）写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数”仅eN*）的表达式；

（2）设4为从今年开始〃年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的

治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.

【方法技巧与总结】

（1）等比数列的通项公式

1

设等比数列｛%｝的首项为生，公比为q（q丰0）,则它的通项公式an=a^=c-q'\c=幺）（q,q声0）.

q

nm

推广形式：an=am-q-

（2）等比数列的前〃项和公式

na《q=1）

等比数列｛4｝的公比为q（q70）,其前〃项和为S"=<a,-aq

—,----=----（#1）

〔i-qi-q

题型六：奇偶项求和问题的讨论

例58.（2022•全国•一模（理））已知数列｛%｝中，4=1,anan+l=2",则｛册｝的前200项和邑°。=.

例59.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛凡｝的前〃项和5“=2"一+1,则数列｛4｝的前10项中所有奇数

项之和与所有偶数项之和的比为（）

例60.（2022•全国•高三专题练习）已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶数项

之和为170,则这个数列的项数为（）

A.2B.4C.8D.16

例61.（2022・山东师范大学附中模拟预测）已知S“是数列｛%｝的前〃项和，且q=1,。“+。用=2〃+1.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

,为奇数）

（2）记b,=,求数歹U也（的前2n项和T”.

为偶数

例62.（2022•天津•二模）已知数列｛%｝中，％=1,anan+i=2",令优=%..

（1）求数列｛2｝的通项公式；

标"为偶数,

⑵若c”=<________2________，〃为奇数,求数列匕｝的前23项和.

Jog2d+加22+2''

［凡，”为奇数，

例63.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛4｝满足q=1,a,

为偶数.

⑴令％=%，求仇,4及｛2｝的通项公式;

（2）求数列｛。,｝的前2n项和S2n.

例64.（2022•天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知数列｛a'｝,｛%｝,已知对于任意〃eN*,都有%，

数列｛〃｝是等差数列,4=1,且打+5,a+1,%-3成等比数列.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式;

an,n=2k-l

⑵记c=-

nbn,n=2k

2

(i)求t2

C

i=llog?C2i-1-10§32i+1

2n

(ii)求Zckck+l.

k=\

例65.（2022•浙江嘉兴.模拟预测）已知公差不为零的等差数列包,｝满足g=2,%,%，。9成等比数列.数列也｝

的前〃项和为工，且满足S“=2-4-2（〃eN*）

⑴求｛%｝和｛2｝的通项公式；

—为奇数

a〃。计2（、

（2）设数列｛%｝满足cn=",求数列｛qj的前2〃项和&.

笔，”为偶数

a

【方法技巧与总结】

求解等比数列的前〃项和s“，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数九的值；

对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论.主要是从九为奇数、偶数进行分类.

题型七：等差数列与等比数列的综合应用

例66.（2022.北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知％，%，%为一等差数列，4,&也为一等比数列，且这6

个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（）

①4<%与%可能同时成立

②仇<久与仇>以可能同时成立

③若%+4<0，贝lj%+。3<0

④若耳也＜0,则打也＜。

A.①③B.②④C.①④D.②③

例67.（2022•浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列｛4｝公差不为0,正项等比数列｛2｝,出=4，

%o=4o，则以下命题中正确的是（）

A.4＞4B.C.。6＜%D.47＞如

例68.（2022.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝是公差不为零的等差数列，｛2｝是正项等比数列，若％=4，

。7=，7，贝U（）

A.。4="B.a5＜b5C.。8＞为D.%＜为

例69.（2022・全国•高三专题练习）已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

⑴证明:C=4;

（2）求集合招优=册+q,14mW500｝中元素个数.

例70.（2022.浙江.模拟预测）已知数列｛%,｝是公差为2的等差数列，数列也｝是首项为2的等比数列，且

%+4=&，4+3=%.设数列｛g｝满足c“=L"k,其中左eN*,其前"项和为S”.

也,，"=2

⑴求为的值.

一,j111

（2）若明=--,求证：&+/,+4++.

»2"-J-18

例71.（2022•山东潍坊模拟预测）已知公差为正数的等差数列｛。“｝,出与4的等差中项为8,且%%=28.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）从｛%｝中依次取出第1项、第3项、第9项....第3"一项，按照原来的顺序组成一个新数列抄“｝,求数列

也｝的前”项和S”.

例72.（2022•吉林市教育学院模拟预测（理））在①4=q+%+%,②§3=13这两个条件中，任选一个补充

在下面的问题中，并解答.

已知正项等差数列和“｝满足%=3,且出吗+1吗+3成等比数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）已知正项等比数列出｝的前"项和为S“，…,,求S..

注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分.

【方法技巧与总结】

（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通

过对数运算转化为等差数列.

（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列.

题型八：等比数列的范围与最值问题

例73.（2022•安徽•蚌埠二中二模（理））已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，则下列判断一定正确是

A.若$3>0,则。2018>0B.若邑<0,则。2018<0

11

C.右。2>%，则%019>“2018D.右>7，则。2019<“2018

CTQCi-1

例74.（2022.全国•高三专题练习）设等比数列｛q｝的公比为4,其前〃项和为S“，前〃项积为（，并满足

条件%>1,〃2021a2022>。，（。2021-1乂%022-1）<°，下列结论正确的是（）

1

A.〃2023>B.S2022-S202i>1

“2021

C.数列£｝存在最大值D.5⑼是数列出｝中的最大值

例75.（2022.全国•高三专题练习）设等比数列｛%｝的公比为4，其前〃项之积为4,并且满足条件：%>1,

。2019。2020>1,~°，给出下列结论：虫°<4<1；②。2019“2021-1>°；③5019是数列｛4｝中的最大项；

④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（）

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

n+1

例76.（2022•北京房山•高三开学考试）已知等比数列｛%｝中，an=q,那么"0<q<l”是“％为数列｛%｝的

最大项”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例77.（2022.浙江•镇海中学模拟预测）已知数列｛%｝满足%性限=e%-1,且％=1,｛S“｝是数列｛%｝的前〃

项和，则（）

A.数列｛叫单调递增B.$2022<2

C.2a2022>a2021+°2023

例78.（2022.全国•模拟预测（文））设正项等比数列｛4｝的前"项和为S"，q=9,a3=l.记

7；=01a24（〃=1,2,.）,下列说法正确的是（）

177

A.数列何｝的公比为JB.S„>y

C.，存在最大值，但无最小值D.

例79.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）已知等比数列｛。“｝满足%>。，公比4>1,且卬出…出*<1，

…。2024>1，则（）

A.。2024>1B.当“=2022时，…。“最小

C.当〃=1012时，…%最小D.存在“<1012,使得=。”+2

例80.（多选题）（2022•湖南怀化•一模）设｛4｝（〃eN*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K“是其

KKK

前W项的积，且（<（，6=1>S,则下列选项中成立的是（）

A.0<"1B.a7=1C.K9>K5D.（与£均为K”的最大值

3

例81.（2022•全国•高三专题练习）已知等比数列｛q｝的前"项和为S,，若q+22=0,$=[，且。WS“4a+2,

则实数。的取值范围是（）

A.[0,1]B.[-1,0]C.—JD.T,；

题型九：等比数列的简单应用

例82.（2022・河南•模拟预测（理））北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递

了“人类命运共同体”的理念.“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，

是一种分形几何.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三

角形，再将中间部分的线段去掉得到图2,这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述

操作，得到图3,这称为“二次分形”；L.依次进行“〃次分形geN*）”.规定：一个分形图中所有线段的

长度之和为该分形图的长度.若要得到一个长度不小于40的分形图，则”的最小值是（）（参考数据

1g3®0.477,lg2®0.301）

图1图2图3

A.11B.12C.13D.14

例83.（2022・四川・宜宾市教科所三模（理））如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二

个正方形，依此类推，共作了〃个正方形，设这"个正方形的面积之和为S“，则$5=（）

例84.（2022•全国•高三专题练习）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分

则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入加个细菌，在1小时内，有=的细菌分裂为原来的2

倍，J的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的

4

10倍的记录时间为第（）

A.6小时末B.7小时末C.8小时末D.9小时末

例85.（2022.海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础.著名的“康

托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”,

其操作过程如下：将闭区间［0,1］均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个

间1°，91/!41/31］分别均分为四段,并各自去掉第二个区间段,记为第二次操作；……如此这样,每次

在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段.操作过程不断

地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”.第三次操作去掉的区间长度和为;若使去

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掉的各区间长度之和不小于V，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据:1g2。0.30,1g3“0.48）

例86.（2022•全国•华中师大一附中模拟预测）已知数列｛%｝为1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,

8,16,其中第一项是2°，接下来的两项是2°，2、再接下来的三项是2°，21.22,依此规律类推.若

其前w项和S"=2Y笈eN*）,则称上