上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高一年级上册数学期中考试试题

上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高一上学期数学期中考试试题

阅卷入

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12

得分题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.对数式log2（1-3%）中X的取值范围为

2.已知集合4=（—2,2）,B=（-3,一1）,则ZUB=

3.已知log2X=-1,贝I」K=.

4.若嘉函数丫=/的图像经过（3,V3）,则此函数的表达式为

5.已知a>0,用有理数指数幕的形式表示•犷=

6.不等式/f>之的解集为

7.下列幕函数在区间（0,+8）上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有

（请填入全部正确的序号）

1151

@y=%3；@y=x2;@y—；④y=%3

8.若%>0时，指数函数、=（2。2一1尸的值总小于1,则实数a的取值范围为

9.若关于x的不等式组产尢一3）（3%}2）4°，}没有实数解，则实数a的取值范围为

（x—a>0

10.设log。,2a>0,logo,2b>0,且10go.2a•logo.2b=1，则log。.2ab的最小值为

11.某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理来销

售衬衫，以降低管理和营销成本.已知代理商要收取的代理费为总销售金额的r%（每100元销售额收取r

元），且r为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到禺元，但提价

1—7%

后每年的销售量会减少0.62r万件.若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数r的取值

组成的集合为__________________

12.已知函数y=*：（aeR）,若该函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数a的取值

范围为_____________

阅卷人二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13T4题每题4分，第15-

16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位

得分置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.如果a<0<b,那么下列不等式中成立的是（）

A.V—a<VbB.a2<b2C.a3<b3D.ab>b2

14.若a>0,a7LM>0,N>0,下列运算正确的是()

A.logaW=^logaMB-(log/)"Mog/

C.(logaM)+(logaN)=loga(M-N)D.(logaM)+(logayv)=loga(M+N)

15.设a、bCR,“a=0”是“方程ax=b的解集为R”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

16.关于x的不等式a/+b%+c<0的解集为(—8,-2)U(3,+oo),则下列说法正确的个数是

()个.

①a<0；②关于％的不等式bx+c>0的解集为(-8,-6)；③a+b+c>0；④关于x的不等式

11

c/—bx+a>0的解集为(—8,—W)0(讶，+8).

A.1B.2C.3D.4

阅卷人

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的

得分相应位置写出必要的步骤.

17.

(1)设％,yER9用反正法证明：若X+y>2,则％>1或y>1

(2)设aeR,比较(a+l)2与/一。+1的值的大小

18.已知方程/+6租％+9771-2=0,且%1，%2是方程的两个不同的实数根.

11

(1)若TH=1,求丁+=的值；

X1x2

2

(2)若znER,且％J+%2<4，求机取值范围.

19.某新建居民小区欲建一面积为700租2的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道.

设计方案为：绿地外南北两侧人行道宽3m,东西两侧人行道宽4m,如图所示(单位：m),人行道的

占地面积为Szn2.

北

----------0?0----------

____1____

-4—绿地-4-

------E1------

_________±_________

南

(1)设矩形绿地的南北侧边长为xm,试写出S关于久的函数关系式.

（2）如何设计绿地的边长，才能使人行道的占地面积最小?（结果精确到（Mm）

20.

（1）已知集合4={久||x—a|<2|},B=且41求实数a的取值范围；

（2）已知集合4={x\x2-2%-3>0|},B={x\x2+px+q<0\],若力UB=R且力CB=,求p+

q的值;

（3）已知keR,当k变化时，求不等式（卜久―1—4）（久一4）>0的解集.

21.已知集合4为非空数集，定义：S={x\x=a+b,a,bEA},T={x\x=\a-b\,a,bEA]（a,b

实数可以相同）

（1）若集合4={2,5},直接写出集合S、T；

（2）若集合4={%i，K2，久3，久4卜久1<久2<芯3<%4，且T=A，求证：无1+处=X2+%3；

（3）若集合A£{久|0〈X〈2021,%GN},SCIT=0,记|A|为集合4中元素的个数，求⑷的最大值.

答案解析部分

1.【答案】

【知识点】函数的定义域及其求法

【解析】【解答】解：要使久）有意义，需久>所以对数式久）中久的

log2（1-31-30x</,log2（1—3

取值范围为（-co,1）.

故答案为：X<^.

【分析】根据对数函数性质，列出不等式，即可得结果.

2.【答案】（一3,2）

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】解：因为A=（-2,2）,B=（一3,-1）,所以AUB=（—3,2）

故答案为：（一3,2）.

【分析】根据并集定义即可得结论.

3.【答案】|

【知识点】指数式与对数式的互化

【解析】【解答】解：因为log2x——1所以％=2-1=

故答案为：I.

【分析】对数式化成指数式即可.

4.【答案】了二久］

【知识点】幕函数的概念与表示

【解析】【解答】解：因为嘉函数y=%a的图像经过（3,遍），所以百=3%所以a=$所以此函数

的表达式为y=

故答案为：”=I.

【分析】根据幕函数定义，代入点计算即可.

5.【答案】0学

【知识点】有理数指数幕的运算性质

【解析】【解答】解：因为a>。所以a3.^=a3.J=a3+?=a学.

故答案为：。竽.

【分析】把根式转化为指数塞，根据同底数幕运算即可.

6.【答案】％e(—8,1)U(3,+00)

【知识点】一元二次不等式；指、对数不等式的解法

【解析】【解答】解：因为3/一轨>3=3-3,所以比2一4久>—3,，x>3殷<1,所以不等式

3，-4X>3的解集为％e(_8,1)u(3,+00).

故答案为：Xe(—00,1)U(3,+00).

【分析】根据指数函数单调性转化为一元二次不等式求解即可.

7.【答案】①③

【知识点】基函数的图象与性质

1

【解析】【解答】解：因为幕函数y=£a在区间(0,+8)上是严格增函数，所以a>0,①y=%3;

151

=③丫二户满足.又因为图像关于原点成中心对称，所以该幕函数为奇函数，而②丫=久2定

15

义域为x20,定义域不关于原点对称，不是奇函数，®_3，③V./图像在一三象限，都是奇

yV一4Yy一人

函数.

故答案为：①③.

【分析】根据嘉函数的图象，观察其单调性、奇偶性即可判断.

8.【答案】(-1,—易乂孝，1)

【知识点】指数函数的图象与性质

【解析】【解答】解：因为龙〉0时，指数函数y=(2a2-1尸<1,...0<2a2-1<1!<a2<1,

所以—1<%<—乎或乎<%<1,所以实数a的取值范围为(—1,—孝)u(¥，1).

故答案为：(―1,-圣火孝,1).

【分析】根据指数函数性质，％>0时函数值大于。小于I,则底数也在。与I之间，解不等式组即可.

9.【答案】a?|

【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：因为（2久—3）（3%+2）W0一代xw|,又｛（2久一］［；；）<。没有实数根，

所以a?|

故答案为:a>^.

【分析】解出一元二次不等式，根据不等式组没有实数根，作图可得结论.

10.【答案】2

【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用

,2

log,a+log,h\

【解析】【解答】解：因为logo2a>0,logo,2b>0,所以loga-logb<0202

02022

2

(log0.2叫，

4

又logo.2a,logo.2b=L所以log。,2ab>2,当且仅当a=b时log。,2ab的最小值为2.

故答案为：2.

【分析】根据基本不等式，结合对数运算即可得结论.

11•【答案】｛7,8,9,10｝

【知识点】不等关系与不等式；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：当每件衬衫价格为短空元时，代理商可销售（10-0.62r）万件衬衫，则代理商收取

1—r%

的代理费为/空（10-0.62r；r%万元.据题意得3维110-0.62r；r%>65,

1—r%1—r%

0<1-r<1

即10-0.62r>0所以罂等，则正整数r的取值组成的集合为｛7,8,9,10｝

,496r2-8325r+32500<0

故答案为：｛7,8,9,10).

【分析】根据题意得每件衬衫价格、销售量，进而得出代理商的代理费，解不等式组即可.

12.【答案】（—2,J）

【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题

【解析】【解答】解：因为y="^=a+上等（aeR,久。—2）,在区间上a,+oo是严格减函数，且

I乙A.I乙

函数值不恒为负，所以l-2a>0a>-2,所以-2<a<12,所以实数a的取值范围为（-2,12）.

故答案为：(-2,12).

【分析】把函数分离常数，结合反比例函数单调性，列出不等式组，即可求解.

13.【答案】C

【知识点】利用不等式的性质比较大小

【解析】【解答】解：对于A、B,取a=-2,b=l则口>VF,a2>标所以人、B错误.

对于C,若a<O<b,则a3<0,户>0,a3Vb3,所以C正确.

对于D,因为ab—/?2=b(a—b)因为，a<0<b,所以b>0,a—b<0,b(a—b)<0,.1,ab<

b2.

所以D错误.

故答案为：C.

【分析】举反例即可判断A、B错误，根据正数奇次幕为正数，负数奇次幕仍为负数，即可判断C正

确，

作差比较法比较ab与b2的大小，即可判断D错误.

14.【答案】A

【知识点】对数的性质与运算法则

1d

【解析】【解答】解：对于A,]OgaV/W=\ogaMN=-^logaM>故A正确.

Ww

对于B,(logaM)N\ogaM=logaM,故B错误.

对于C,(10gaM)+(10gaN)/loga(M-N),故C错误.

对于D,(10gaM)+(10gaN)=10gaMN410ga(M+N),故D错误.

故答案为：A.

【分析】根据对数运算法则逐个判断即可.

15.【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】解：关于x的方程a尤=b的解集为R,则卷二，当a=0时，不一定于x的方程a久=b

的解集为R,但关于x的方程ax=b的解集为R,可以推出a=0,所以“a=0”是'方程a久=力的解集为R”

的必要非充分条件.

故答案为：B.

【分析】先根据关于x的方程ax=b的解集为R,得出噂:二，再根据充分必要条件的定义判断即可

16.【答案】C

【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根

与系数的关系

【解析】【解答】解：因为关于久的不等式。久2+6芯+。<0的解集为（_8,—2）u（3,+8）,所以

a<0

a<0

-2+3=--(b——a故①正确.

c=-6a

-2x3=-a

所以关于％的不等式"+c>0可化为-ax-6a>0,所以第>-6,故②错误.

所以a+b+c=—Get>0,故③）正确.

所以关于％的不等式c%2-ft%+a>0可化为-6a/+ax+a>0,即6/—x—1>0/x>号或t<

_1

一7

所以关于％的不等式c/一b%+。>o的解集为（_8,-1）u（1,+oo）.故④正确.

故答案为：C.

a<0

ba<0

-2+3=一万b=—a,然后逐个代入判断即可.

{-2X3=-=-6a

a

17.【答案】（1）证：假设xW1且y<1

则x+yW2,与已知条件久+y>2矛盾

所以假设不成立，即久>1或y>l

（2）（a+1）2—（口2-0+1）=Q2+2a+1—+a—1=3a当a>。时，（a+1）2>a?—a+1

当a=0时，（a+I）2=a2—a+1

当a<0时，（a+1）2<a?-a+1

【知识点】不等关系与不等式

【解析】【分析】（1）利用反证法证明步骤，先假设结论不成立，然后根据假设推出矛盾即可.

（2）根据作差法比较大小即可.

18.【答案】（1）解：当m=l时，方程为x2+6x+7=0,因为%1；利是方程的两个不同的实数根•

所以%1+%2=-6;%「皿=7，所以看答=一母

(2)解：%i+%2=—6m,•冷二97n—2

2

•・•+x2=(%i+%2)—2•%2

2

・•・(%1+%2)—2%i・％2V4

・•・36m2—2(9m—2)<4

解得0<m<|

又・・,方程有两个不同的根

・•./=36m2—4(9m—2)>0

解得根<4或771>!

1

0<TH<W

【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的解集

11

【解析】【分析】(1)根据根与系数关系得%1+%2=—6;%1-%2=7,代入"+石化简即可.

22

狙+支2<4,解不等式组即可.

(△>0

19.【答案】(1)矩形绿地的南北侧边长为工根，则东西侧边长为迎根

x

700

5=(%+8)(--+6)-700

•X

(2)根据平均值不等式，得6%+噌2216"噌=2V33600=80旧

当且仅当6久=嘤，即％=2()&。30.6(m)时等号成立.

此时S达到最小，^x22.9(陶

所以，当设计绿地的南北侧边长约为30.6m,东西侧边长约为22.9m时，人行道占地面积最小.

【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】(1)由矩形绿地的南北侧边长为久m,得东西侧边长为避m,即可列出人行道的占地

X

面积S的解析式.

(2)根据基本不等式，即可求出S的最小值.

20.【答案】(1)4=(a—2,a+2)B=(-2,3)

■■■AQB

,Ca-2>-2

"ta+2<3

解得0<a<1

(2)A=(-oo,-1)u(3,+oo)AUB=R,ADB=[-2,-1)

B=[-2,3]

・•・方程/+p%+q=0的解为=—2,%2=3

%]+%2=1=—p,得p=-1

%1­%2=-6=q，得q=—6

•••P+q=—7

(3)当k=0时，71={%|%<4]；

当kW0时,解方程(々％-k2-4)(%-4)=0,得％=k+/或％=4,

97

且k+*_4=卜—轨+4=(k-2)

kkk

①当k<0时，、+3_4=(J/<0,则k+g<4,

kkK

解原不等式可得k+U<v。，即A={久Ik+UV%<4}；

KK

2A

②当0<k<2或k>2时，k+」_4=(k—2)>0,即k+^>4,

kkR

解原不等式可得％<4或%>/c+p即4={%I%<4或%>k+3；

③当k=2时，k+2=4,原不等式即为2(%—4)2>0,解得%H4,即4={%|%W4}.

综上所述，当k=0时，X={%|%<4}；

当々V0时，A={x\k+^<x<4};

当0<k<2或々>2时,A={x\x<4或%>k+3；

当k=2时，A={久|xH4}.

【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法

【解析】【分析】(1)先解出A、B集合，然后由力UB,得出不等式组，即可求解.

(2)由/=(—8,-1)U(3,+8)4UB=R,AClB=[-2,-1)得到B集合的解集，利用根与系数关

系，即可求解.

(3)先求得方程(kx-k2-4)(%-4)=0的两根，然后根据根的大小分类讨论，根据范围解不等式即可.

21.【答案】(1)S=[4,1,10)；

(2)由于集合力={久「久2，K4卜巧<%2<%3<则T集合的兀素可能包含0,%2~X1,X3—

久4一久1，久3一%2，X4~X2,%4一X3这些兀素，

且有％2一久]力久3一%1片久4一久]

因为4=7,所以7集合有4个元素，即7={0,久2-尤1，久3-%4-xl}>

则剩下的一第2=%4—%3=%2一第1，所以％1+%4=%2+%3；

(3)设4={的,…纵}满足题意，其中V。2<…<耿，

贝42al<的+gV的+的<…<+%V。2+纵<。3+纵<…<ctk-i+纵<2/，

•e•|S|N2k—1,臼一的<g—<。3—%V…<耿—，•，•|T|之女，

・・・SnT=0,由容斥原理|SUT|=|S|+\T\>3/c-l,

SUT中最小的元素为0,最大的元素为2%，

|SUT|<2ak+1,

・•・3/c-1<2ak+1<4043(/c>1,kEN)

即3/c—l<4043

・・・k<1348

实际上当月={674,675,676,…2021}时满足题意，

证明如下：

设力={m,m+1,m+2,…，2021},mEN,

则5={2租，2m+1,2m+2,…，4042},T={0,1,2,…，2021-m},依题意有2021-租<

2m,即血>673件，

故TH的最小值为674,于是当TH=674时，A中元素最多，

即4={674,675,676,-,2021}时满足题意，

综上所述，集合4中元素的个数的最大值是1348.

【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换

【解析】【分析】(1)根据题中定义，代入计算集合S、T即可.

(2)利用集合相等定义证明即可.

(3)通过假设集合设/={加，m+1,m+2,,2021},mEN,写出对应集合S、T,由SCl7=0

列出不等式，求出对应值即可.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分:150分

客观题（占比）18.0(12.0%)

分值分布

主观题（占比）132.0(88.0%)

客观题（占比）4(19.0%)

题量分布

主观题（占比）17(81.0%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题（本大题共有

12题，满分54分，

第1・6题每题4分，

第7-12题每题512(57.1%)54.0(36.0%)

分）考生应在答题纸

的相应位置直接填写

结果.

选择题（本大题共有

4题，满分18分，

第13-14题每题4

分，第15-16题每题

5分）每题有且只有4(19.0%)18.0(12.0%)

一个正确选项.考生

应在答题纸的相应位

置，将代表正确选项

的小方格涂黑.

解答题（本大题共有

5题，满分78分）

解答下列各题必须在5(23.8%)78.0(52.0%)

答题纸的相应位置写

出必要的步骤.

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(42.9%)

2容易(52.4%)

3困难(4.8%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1一元二次方程的根与系数的关系19.0(12.7%)16,18

2幕函数的图象与性质5.0(3.3%)7

3集合关系中的参数取值问题36.0(24.0%)2