新高考数学临考题号押第3题 计数原理（解析）

新高考高中数学临考题号

押第3题计数原理

琴：命题探究«与

从2021年新高考和往年高考来看，计数原理是高考的一个重点内容，主要考查二项展开式的通项、

二项式系数、展开式的系数、排列和组合等知识.

解题秘籍

1.熟记二项式定理：(a+8)"=C：a"+C“iO+L+C„kan-kbk+L+C»"(〃eN*),是解决此类问题的

关键.

2.求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求匕再将k的值代回通项求解,

注意上的取值范围(4=0,1,2,L,〃).

(1)第加项：：此时Z+1=肛直接代入通项.

(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的某指数为0建立方程.

(3)有理项：令通项中“变元”的基指数为整数建立方程.

3.对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求〃，计算时要注意〃和％的取

值范围及它们之间的大小关系.

4.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指C9,CA，…，OI,它是组合数，只与各项的项数有关,

而与“，人的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且

也与a,6的值有关.如3+公)"的展开式中，第r+1项的二项式系数是C；；,而该项的系数是CZ"一?「.

当然，某些特殊的二项展开式如(1+x)",各项的系数与二项式系数是相等的.

5.在解决排列、组合的应用题时，一定要清楚是先排列再组合，还是先组合再排列.

4真题回顾«亨

1.(2020•山东・高考真题)在卜一^］的二项展开式中，第4项的二项式系数是()

A.56B.-56C.70D.-70

【答案】A

【详解】

第4项的二项式系数为C；=^¥=56,

故选：A.

2.(2020.山东•高考真题)现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学

科的课代表，则不同安排方法的种数是（)

A.12B.120C.1440D.17280

【答案】C

【详解】

首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，

再分别担任5门不同学科的课代表，共有父种情况.

所以共有C：C；团=1440种不同安排方法.

故选：C

3.（2015・山东•高考真题）（l-x）s的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）

A.0B.-1C.-32D.32

【答案】D

【详解】

（1-的二项展开式中所有项的二项式系数之和为2,=32

故选：D

4.（2015•山东•高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其

余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）

A.10B.20C.60D.100

【答案】A

【详解】

从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有C；=10种安排方式.（选取3人后剩下2名同窗干的活就

定了）

故选：A

5.（2021.江苏.高考真题）下图是某项工程的网络图（单位:天），则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有

【详解】

山图可知，由①一④有3条路径，山④7⑥有2条路径，由⑥-⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理

可得从①f⑧共有3x2x2=12条路径.

故选：B

6.（2021・江苏・高考真题）已知。-2力”的展开式中V的系数为40,则〃等于（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【详解】

C^（-2x）2=2n（/?-l）x2,所以2〃（〃-1）=40=力=5.

故选：A.

］押题冲关5号

1.（2022・山东烟台•一模）“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体

排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某

"碳中和''研究中心计划派5名专家分别到A,B,C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每

地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（）

A.90B.150C.180D.300

【答案】B

【详解】

根据题意有两种方式：

第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方，

共有CfC•片=*9x3x2x1=60种方法,

第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家，

v4x3

共有.父=——2—x3x2xl=90,

&52x1

所以分派方法的种数为60+90=150,

故选：B

2.（2022•山东•济南一中模拟预测）如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，

在8c边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处

各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（）.

A

*aad—c

A.190B.199C.69D.60

【答案】C

【详解】

在AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔中各取两个可构成四边形，

当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，

所以最多可以钻的孔数为C汨+9=69个.

故选：C

3.(2022•山东荷泽一模)(a-x)(2+xf的展开式中彳5的系数是12,则实数a的值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【详解】

利用二项式定理展开得(a-x)(2+x)6=(a-劝(《26+废2晨+亡2々2+窃23丁+仁22/+或2丁+或力

贝I『的系数为aC；2-C：22=12,，a=6.

故选：C.

4.(2022.山东.模拟预测)(x+2y)5(x-2»的展开式中心？的系数为()

A.-160B.-80C.160D.80

【答案】D

【详解】

解：(x+2y)s(x-2y)7=(/_4y2y(x-2yj=(x2-4y2)5(x2-4xy+4y2),

(x2-4y2)5展开式的通项为Z+i=G(Y广64y2)，=(_4)，，

令/■=1,得，-4/)5的展开式中xf的系数为C；(-4)'=-20,

所以(x+2y)5(x-2»的展开式中xV的系数为-20X(T)=80.

故选：D

5.(2022.山东淄博.一模)若(1-x)=%+q(1+x)+“2(1+x)-t----+%(l+x)»则&=()

A.-448B.-112C.112D.448

【答案】C

【详解】

(1—x)x=(x—l)s=[。+x)-2『=4+q(1+x)+<z>(l+x)-++/(I+x)s,&=C],(―2)~=112.

故选：C.

6.(2022.山东临沂•一模)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率兀的范围是：3.1415926〈万<3.1415927,

为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同

学们了解''祖率"，让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变,

那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为()

A.720B.1440C.2280D.4080

【答案】C

【详解】

一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.

金

这7个数字按题意随机排列，可以得到=2520个不同的数字.

其

当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14

当前两位数字为11或12时，共可以得到28=240个不同的数字,

则大于3.14的不同数字的个数为2520-240=2280

故选：C

7.(2022.山东临沂.一模)二项式的展开式中系数为无理数的项数为(

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】

展开式通项公式为=C；(&x)6T=2*C"62,r=0,1,2,3,4,5,6,

X

当r=0,2,4,6时，7是整数，r=l,3,5时，?是不是整数，系数是无理数，共有3项.

22

故选：B.

8.(2022.山东.青岛二中高三开学考试)若(x-2y)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则"=

().

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【详解】

由题意，二项式(x-2y)”的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C；,C,；,

可得C,：=C：,解得〃=3+7=10.

故选：B.

9.（2022•山东潍坊•高三期末）如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有

三个重复数字的密码个数为（）

，em

A.90B.324C.360D.400

【答案】C

【详解】

根据题意，四个位置上恰有三三个重复数字，可分两步完成，

第一步从10个数字中任选一个安排在三个位置上，共有C；°C：=40种情况，

第二步在剩下的9个数字中£E选一个安排在剩下的那个位置上，有9种情况，

故共有40x9=360种，即密码个数为360个，

故选：C

。若（6-蛾J的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展

10.（2022•山东临沂•高三期，

开式中常数项为（）

A.90B.-93C.180D.-180

【答案】C

【详解】

解：因为（五一域）的展开我:中只有第六项的二项式系数最大，则项数〃=10,即（五-蛾J，

2V,—

则通项为乙-高I=（-2）工尸2,

令2=0=>r=2,则小=（-2）2品=180.

故选：C.

◎:考前预测q

王（限时：30分钟）

1.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的

分配方法有（）

A.80种B.90种C.120种D.150种

【答案】D

【详解】

3,有空◎种，二是分为1,2,2,共有坐G种,

先对5个人先进行两种情况的分组，一是分为1,1,

再分配，可得不同的分配方法有6=25x6=150种.

1^1^TJ

故选：D.

2.“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五这5天要面向所有学生

提供课后服务，每天2个小时.某校计划按照“5+2”模式开展“学业辅导”，“体育锻炼”，“实践能力培养”三

类课后服务，并且每天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于2小时，不高于6小时，那么不同的

安排方案的种数为（）

A.60B.90

C.150D.210

【答案】C

【详解】

第一种情况是某类服务6个小时，其余两类服务各2个小时，先选一类服务时长6小时，安排到3天里，

其余2类安排到剩余2天里即可,共C疼C=60种;

第二种情况是某类服务2个小时，其余两类服务各4个小时，先选出一类服务2个小时，剩余的2类分别

安排2天，共盘盘&=90种；

综上不同的安排方案共有150种.

故选：C

3.（V+x+yP的展开式中My2的系数是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【详解】

由题意，多项式（厂+》+y）5=［（厂+*）+）［5,

要得到含有）2项，则或（/+x）3y2=10,+X）3y2,

3

又由（炉+X）的展开式为Tr+I==G.尸,

令6-r=5,可得r=l,即，=C；=3/，

所以多项式，+x+y）5的展开式中xR的系数是10x3=30.

故选：C.

4.在口一2］的展开式中，常数项为（）

A.-60B.-240C.60D.240

【答案】D

【详解】

(V

的展开式通项为小=鹿.产人=域.（-2）：5

令6一号=0,可得％=4,因此，展开式中常数项为C〉（-2）4=240.

故选：D.

5.2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评

不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名

志愿者将吉祥物“冰墩墩''和"雪容融’'安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个

吉祥物都至少由两名志愿者安装.若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【详解】

甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有A；=2种情况，

剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有C；=3,然后分配到参与两个吉祥物的安装，

有C那=3x2=6,

则共有2x6=12种,

故选：C.

2O2

6.设（1-口严加=4+++«2O2OX°>若4+勿2+34++2020a2020=2020a（a0）,则实数。的

值为（）

A.2B.0C.1D.-1

【答案】A

【详解】

对等式（1-奴）2侬=%+研+生/++a畋。/⑼两边求导可得：

-09232019

-ax2020（1-fzr）'=a,+2a2x+3ctyX+46t4x++202047202（,^

令x=l,则有一。*2020（1—4）刈9=4+2%+3/++2O2Oa2o2O=2020a

因为awO

所以（一广=T

所以a=2

故选:A

7.在（31—5/+1丫的展开式中，除V项之外，剩下所有项的系数之和为（）

A.299B.-301C.300D.-302

【答案】A

【详解】

令x=l,W（3-5+l）5=-1.

所以（3丁-5/+1）5的展开式中所有项的系数和为_i.

由（3V—5/+1）’可以看成是5个因式（3丁-5x2+1）相乘.

要得到d项，则5个因式中有1个因式取3V，一个因式取-5/,其余3个因式取1,然后相乘而得.

所以（3?-5x2+1）5的展开式中含x5的项为C；（3打C：（-5x2）,=-3OOx5,

所以（3/-5/+1）5的展开式中，除/项之外，剩下所有项的系数之和为-1-（-300）=299.

故选：A

8.给图中A,B,C,D,E,厂六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4

种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.

A.96B.144C.240D.360

【答案】A

【详解】

解：要完成给图中A、B、C、D、E、/六个区域进行染色，染色方法可分两类，

第一类是仅用三种颜色染色，

即川同色，8。同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有窃=4种取法，三种颜色染三个区域有

A；=6种染法，共4x6=24种染法；

第二类是用四种颜色染色，即AF，BD,CE中有一组不同色，则有3种方案（4尸不同色或BD不同色或CE

不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有4=12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有

3x12x2=72种染法.

二由分类加法原理得总的染色种数为24+72=96种.

故选：A.

9.十八世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来.有

人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点.这就是著

名的哥尼斯堡七桥问题（下简称七桥问题），很多人尝试解决这个问题，但绞尽脑汁，就是无法找到答案.直

到1736年，29岁的欧拉以拉丁文正式发表了论文《关于位置几何问题的解法》，文中详细讨论了七桥问题

并作了一些推广，该论文被认为是图论、拓扑学和网络科学的发端.图1是欧拉当年解决七桥问题的手绘

图，图2是该问题相应的示意图，其中A,B,C,。四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥.欧拉将

七桥问题转化成一个几何问题——笔画问题.一笔画问题中，要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复

走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边.在图3中，根据以上一笔画问题的规

则，不同的走法总数为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【详解】

图中，A和C是偶力:，B和。是奇点，根据欧拉找到的“一笔画”规律：凡是只有两个奇点的连通图（其余

都为偶点）一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点.

以B为起点时，有BADCBD、BADBCD、BDABCD、BDCBAD、BCDABD、六种画法

以。为起点时，所有路线与以卜.情况相反即可，也有六种，故共有12种画法

故选：D

10.己知（2-如2）（1+2幻4的展开式的所有项系数之和为81,则展开式中含X，的项的系数为（）

A.56B.60C.68D.72

【答案】A

【详解】

因为（2-加卜1+24的展开式的所有项系数之和为81,故令x=l,则81（2-4）=81,解得4=1,

又对（2-0（1+2万）4,其展开式中/项是：

由（2-丁）中的常数项与（1+2X），的d项相乘得到，

或由（2—d卜中的一》2项与0+2x）4的x项相乘得到，

故（2-Y）（l+2x）4的展开式中含炉的系数为2x《x23+（—1）XCX2=56.

故选：A.

11.2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个

大国的实力和担当，”一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会

的某个比赛日，某人欲在冰壶（•只冰球（・）、花样滑冰（°）、跳台滑雪（°）、自由滑雪（6）、雪

车（G）这6个项目随机选择3个比赛项目现场观看（注：比赛项目后括号内为“•”表示当天不决出奖牌

的比赛，表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值

为（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】C

【详解】

所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为X,则X的取值为1,2,3,

尸（X=l）=等=%P（X=2）=等=|,尸（X=3）《

131

则EX=lx—+2x'+3x—=2.

555

故选：C.

12.习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计.哈九中落实讲话内容,

组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、尸共6项成果要汇报，如果B成果不

能最先汇报，而A、C、。按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（）

A.100B.120C.300D.600

【答案】A

【详解】

先排3元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共