湖南省2017高二下学期期中联考数学理试题

醴陵二中，醴陵四中2018年上学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷命题学校：醴陵二中命题人：审题人：（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1、设是虚数单位,若,则复数（）A．B．C．D．2、下列推理正确的是（）（A）把与类比，则有（B）把与类比，则有（C）把与类比，则有（D）把与类比，则有3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为()A.B.C.4D.56、,,则,的大小关系为（）A．B．C．D．由的取值确定7、,则()A.1B.2C.4 D.8、设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）（A）（B）（C）（D）10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（）A．B．C．D．11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（）．A．B．C．1D．二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知复数，且有，则________．14、已知x∈R＋，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，则a的值为__________．15、曲线的参数方程是，它的普通方程是．16、如下面数表为一组等式：某学生猜测,若该学生回答正确,则．三、解答题：（共70分）17、(本题满分10分)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)判断直线l与曲线C的位置关系;(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.18、(本题满分12分)在中，内角、、的对边分别为，且，已知，求：(1)和的值；(2)的值．19、(本题满分12分)在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.（1）求的值；（2）求三棱锥的体积．20、(本题满分12分)已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.(1)求a1与d的值;(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.21、(本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.(1)求动点P的轨迹Ω的方程;(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.22、（本题满分12分）已知函数).(1)讨论的单调性;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);

醴陵二中，醴陵四中2018年上学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试答案命题学校：醴陵二中命题人：贺建军审题人：宁盼（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1、设是虚数单位,若,则复数（C）A．B．C．D．2、下列推理正确的是（D）（A）把与类比，则有（B）把与类比，则有（C）把与类比，则有（D）把与类比，则有3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（B）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理（A）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为(A)A.B.C.4D.56、,,则,的大小关系为（C）A．B．C．D．由的取值确定7、,则(D)A.1B.2C.4 D.8、设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（C）（A）（B）（C）（D）10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（D）A．B．C．D．11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（B）A．B．C．D．12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（A）．A．B．C．1D．二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知复数，且有，则________．14、已知x∈R＋，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，则a的值为__________．15、曲线的参数方程是，它的普通方程是．16、如下面数表为一组等式：某学生猜测,若该学生回答正确,则8．三、解答题：（共70分）17、(本题满分10分)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)判断直线l与曲线C的位置关系;(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.解:(1)由题意可得,直线l的普通方程为x-y+4=0,曲线C的直角坐标系下的方程为=1,是以为圆心,1为半径的圆,该圆圆心到直线x-y+4=0的距离为d==5>1,所以直线l与曲线C的位置关系为相离.5分(2)由(1)得曲线C的参数方程为(θ为参数),因为M为曲线上任意一点,故设M,则x+y=cosθ+sinθ=sin∈[-].10分18、(本题满分12分)在中，内角、、的对边分别为，且，已知，求：(1)和的值；(2)的值．解：(1)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2得c·acosB＝2．又cosB＝eq\f(1,3)，所以ac＝6．2分由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×eq\f(1,3)＝13．解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＝6,a2＋c2＝13))，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2．5分因为a>c，所以a＝3，c＝2．6分(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\f(1,3)2)＝eq\f(2\r(2),3)．由正弦定理，得sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(2,3)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9)．8分因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\r(1－\f(4\r(2),9)2)＝eq\f(7,9)．10分于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝eq\f(1,3)×eq\f(7,9)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(23,27)．12分19、(本题满分12分)在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.（1）求的值；（2）求三棱锥的体积．解：【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，，所以。3分设向量所成角为，则，或，由于，所以，得，解得6分（2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，的面积，的面积，（10分）又平面，所以，所以（12分）20、(本题满分12分)已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.(1)求a1与d的值;(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)依题意,an=a1+(n-1)d.(方法一)由an与an+1的等差中项为n得=n,即=a1+d=n.所以解得a1=,d=1.5分(方法二)由an与an+1的等差中项为n得,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2.解得a1=,d=1.(2)由(1)得an=n-,bn=2n·an=n×2n-2n-1.7分(方法一)记Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,则2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.两式相减得,Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=n×2n+1-2n+1数列的前n项和1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴Sn=(n×2n+1-2n+1+2)-(2n-1)=n×2n+1-3×2n+3.12分(方法二)Sn=(1×2-20)+(2×22-21)+(3×23-22)+…+[(n-1)×2n-1-2n-2]+(n×2n-2n-1),2Sn=(1×22-21)+(2×23-22)+(3×24-23)+…+[(n-1)×2n-2n-1]+(n×2n+1-2n),两式相减得Sn=-(1×2-20)-(1×22+1×23+…+1×2n)+(n×2n+1-2n)=n×2n+1-3×2n+3.21、(本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.(1)求动点P的轨迹Ω的方程;(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.解:(1)设动点P(x,y),则,化简得=1.4分(2)由(1)知,轨迹Ω是以F(2,0)为焦点,离心率为的椭圆,如图,连接OM,ON,设直线MN的方程为x=my+2,点M(x1,y1),N(x2,y2).联立消去x,得(m2+2)y2+4my-4=0,则y1+y2=-,y1y2=-,6分所以|y1-y2|==.由于M,N均在y轴右侧,则x1>0,x2>0,且0≤|m|<1,则S=S△OAM+S△OBN+S△OMN=×2(x1+x2)+×2|y1-y2|=m(y1+y2)+4+|y1-y2|=-+4+=,8分令t=,则1≤t<,则S=.方法一:S'=<0,10分故面积函数S=在1≤t<上单调递减,所以S∈,所以面积S的取值范围是.12分方法二:S===,因为1≤t<,则t+,所以(t+)+-2,则,即S∈,所以面积S的取值范围是.22、（本题满分12分）已知函数f(x)=alnx-ax-3(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+(a+1)x+4-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);(1)解: