江苏名校汇-专题立体几何（学生版）

第页专题04立体几何一、单选题1.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】在三棱锥中，平面，，，，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．2.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】把与直线垂直的向量称为直线的法向量.设是直线的一个方向向量，那么就是直线的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P是直线外一点，是直线的一个法向量，在直线上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为(为向量与的夹角），其模就是点到直线的距离，即.据此，请解决下面的问题：已知点A(-4，0)，B(2，-1)，C(-1，3)，则点A到直线BC的距离是（）A． B．7 C． D．83.【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是A． B． C． D．4.【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】三棱锥中，，，的面积为，则此三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．5.【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线EF与所成的角为（）A． B． C． D．6.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在三棱锥中，面ABC，是边长为2的正三角形，且，则二面角的大小为（）A． B． C． D．无法确定7.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】直三棱柱中，侧棱，，，则点C到平面的距离为（）A． B． C． D．8.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．9.【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在边长为2的正方形中，点､分别是边､的中点，将沿翻折到，在翻折到的过程中，的最大值为（）

A． B． C． D．10.【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A． B． C． D．11.【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．12.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】棱长为6的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的体积为（）A． B． C． D．二、多选题1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则2.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C．若，当二面角等于60°时，D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为3.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面是菱形，且，为棱的中点，为菱形的中心，下列结论正确的有（）A．直线与平面平行 B．直线与直线垂直C．线段与线段长度相等 D．与所成角的余弦值为4.【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A．BD⊥CMB．存在一个位置，使△CDM为等边三角形C．DM与BC不可能垂直D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°5.【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（）A．与垂直 B．平面C．与所成的角为 D．平面6.【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】在棱长为2的正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则（）A．平面B．过点，，的截面的面积为C．与的公垂线段的长为D．与平面所成角的大小小于二面角的大小7.【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】已知正方体的棱长为4，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，点在线段上，若，则（）A．点的轨迹的长度为B．线段的轨迹与平面的交线为圆弧C．长度的最小值为D．长度的最大值为8.【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A．三棱锥的体积为定值B．过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为C．直线与平面所成角的正弦值的范围为D．当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为9.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】设，是两个相交平面，则下列说法正确的是（）A．若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线m垂直B．若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线C．若直线，则在平面内一定存在与直线m垂直的直线D．若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线10.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（）A．四棱锥的体积的最大值为B．当面平面时，二面角的正切值为C．存在某一翻折位置，使得D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值11.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】在正方体中，若，分别为，的中点，则（）A．直线平面 B．直线平面C．平面平面 D．平面平面12.【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】在四面体中，是边长为2的正三角形.，二面角的大小为，则下列说法正确的是（）A．B．四面体的体积的最大值为C．棱的长的最小值为D．四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为13.【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】在正方体中，若，分别为，的中点，则（）A．直线平面 B．直线平面C．平面平面 D．平面平面14.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，正方体的棱长为1，E为的中点（）A．直线与直线是异面直线B．在直线上存在点F，使平面C．直线与平面所成角是D．点B到平面的距离是15.【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，在半圆柱中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD，BC为母线，AB＝AD＝2，点F在上，点G在上，BF＝DG＝1，P为DC的中点.则（）A．BF∥PGB．异面直线AF与CG所成角为60°C．三棱锥P—ACG的体积为D．直线AP与平面ADG所成角的正弦值为16.【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】下列命题中正确的是（）A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为三、填空题1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球O的交线长为___________.2.．【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示，在边长为的菱形中，，现将沿对角线折起，得到三棱锥.则当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为______.3.【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】在三棱锥中，与均为边长为1的等边三角形，，四点在球的球面上，当三棱锥的体积最大时，则球的表面积为______．4.【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面ABC，，且，，则二面角的正弦值为______.5.．【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】已知三棱锥中，，，两两垂直，且，以为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______.6.【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．7.【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】已知某空心圆锥的母线长为，高为，记该圆锥内半径最大的球为球，则球与圆锥侧面的交线的长为________.8.【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是.由此可知，该实心工艺品的表面积是____.9.【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.10.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在梯形中，，，，将沿对角线AC翻折到，连结MD．当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．11.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，三角形为正三角形，且平面平面，则四棱锥外接球的表面积为_________.12.【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.13.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，三棱锥中，，，，，，.点Q在棱上且，则直线与平面所成的角是__________.14.【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(＋1)m，则水晶球的表面积为_______m2.15.【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】正方体的棱长为1，，分别为，的中点．则平面截正方体所得的截面面积为______；以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线长为______．四、解答题1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，O，H分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.2.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】如图，在四棱锥中，底面，，，，.（1）求证：；（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.3.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期末模拟】如图，在四棱锥P-ABCD中，，平面PAB，，点E满足.（1）证明：；（2）求二面角A-PD-E的余弦值.4.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.（1）证明：MN⊥PC；（2）当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值.5.【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】如图，平面平面，且菱形与菱形全等，且，为中点.（1）求证：平面平面.（2）求直线与平面的所成角的正弦值.6.【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】如图，在三棱锥中，，.（1）证明：平面平面ABC；（2）点M在棱BC上，且PC与平面PAM所成角的正弦值为，求BM.7.【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面.（1）求证：平面；（2）已知，点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.8.【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形与均为菱形，，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.9.【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥中，，，，为的中点，.（1）求证：；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.10.【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图，四边形与均为菱形，，，且．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．11.【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在正三棱柱中，，，，，分别为线段，，的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.12.【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示的某种容器的体积为，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为，圆柱的高为.已知顶部半球面的造价为元，圆柱的侧面造价为元，圆柱底面的造价为元.（1）将圆柱的高表示为底面半径的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径为多少？13.【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点.（1）求证：；（2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.14.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】如图，在六面体中，，底面ABCD是菱形，且平面．（1）求证：平面平面；（2）求证：．15.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，已知五面体中，为正方形，且平面平面，.（1）证明：为等腰梯形；（2）若，求二面角的余弦值.16.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，已知，，.

（1）求证：平面；（2）设棱的中点为，求平面与平面所成二面角的正弦值.17.【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在三棱柱中，底面是边长为正三角形，侧面是菱形，且平面平面，，分别是棱，的中点，.（1）证明：平面；（2）若①三棱锥的体积为；②与底面所成的角为；③异面直线与所成的角为.请选择一个条件求平面与平面所成的二面角(锐角)的余弦值.18.【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次