4-3-定积分的几何意义和性质

模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称基础模块三级模块名称定积分几何意义和性质模块编号4-3先行知识定积分的概念模块编号4-2知识内容教学要求掌握程度1、定积分的几何意义1、理解定积分的几何意义熟悉2、定积分的性质，用定积分的性质求解问题2、理解定积分的性质，运用定积分的性质求解问题能力目标培养学生分析问题的能力时间分配45分钟编撰王明校对熊文婷审核危子青修订人张云霞二审危子青一、正文编写思路及特点思路：通过图形和定积分的几何意义让学生直观理解定积分的性质。特点：培养学生的理解能力。授课部分（一）知识回顾定积分的概念（二）新课讲授1、定积分的几何意义(1)当时,定积分在几何上表示由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积；(2)当时,由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；(3)当f(x)在区间[a,b]上的值有正有负时，等于[a,b]上轴上方各曲边梯形面积总和减去轴下方曲边梯形面积总和。例如，若如图所示，则图1特别的，如果在区间[ab]上f(x)º1，则下面我们利用定积分的几何意义求一些简单的定积分:例1用定积分的几何意义求.解函数在区间[0,1]上的定积分是以为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积（如图2所示）.因为以为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一直角三角形,其底边长及高均为1,所以.111y=1-x图2例2用定积分的几何意义求.解：由定积分的几何意义可知表示由曲线与所围成的半圆的面积，因此(选择)例3将下列图形的面积用定积分的形式表示出来。410410300图3图4解：图形4是由曲线，及所围成的曲边梯形，故该图形的面积可表示为；图形3是由曲线，及所围成的曲边梯形，故该图形的面积可表示为2、定积分的性质这里先补充两点约定:(1)当a=b时,.(2).下列性质中，均假定所讨论的定积分是存在的.性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即.（选讲）证明:.例如：性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即.（选讲）证明：.例如：性质3（积分区间的可加性）设，则.例如：当被积函数时(如图5所示)，表示由曲线y=f(x)、两条直x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；表示由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=c与x轴所围成的曲边梯形的面积;表示由曲线y=f(x)、两条直线x=b、x=c与x轴所围成的曲边梯形的面积;显然，故.同理当被积函数为其它形式时亦是如此.y=f(x)y=f(x)A1A2图5说明：这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．注：不论a,b,c的相对位置如何，总有等式成立.例如,当a<b<c时,由于于是有.例3：计算，试计算定积分解：根据积分区间的可加性由定积分的几何意义知，是由轴，轴以及单位圆周位于第二象限的部分围成的四分之一圆的面积（如图6所示），即是由轴，轴以及直线y=1-x围成的三角形的面积（如图5所示），即因此-11-11y=1-x图6性质4（保号性）如果在区间[a,b]上f(x)³0,则(a<b).注：若在区间[a,b]上f(x)³0,积分表示由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积，而面积一定是非负的.推论1（保序性）如果在区间[a,b]上f(x)g(x)，则(a<b).（选讲）证明：这是因为g(x)-f(x)0,从而所以.注：推论1表明在同一区间上，被积函数越大相应的积分值也越大。故该性质可用来比较同一区间上两个积分值的大小例4：不计算积分，比较与的大小.解：因为，有，所以推论2（绝对可积性）若在区间[a,b]上可积，则在[a,b]上也可积，且有(a<b).（选讲）证明:这是因为-|f(x)|£f(x)£|f(x)|,所以,即|.注：推论2表明积分的绝对值小于等于绝对值的积分.性质5（估值定理）设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则(a<b).（选讲）证明：因为m£f(x)£M,所以从而.注：（1）此性质可用来估计定积分值的范围.（2）若用此性质来估计定积分值的范围，只须求出被积函数在区间[a,b]上的最大值及最小值，然后代入公式即可.例5：估计定积分值得范围.解：先求在上的最大值和最小值由，即得故，又，因此性质6(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点,使下式成立:.这个公式叫做积分中值公式.（选讲）证明由性质6,各项除以b-a得再由连续函数的介值定理,在[a,b]上至少存在一点,使于是两端乘以b-a得中值公式.注:不论a<b还是a