湖北省荆州市重点高中2023-2024学年高一上学期12月学生素养测试数学试题

荆州市省市重点高中2023级高一学生素养测试数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中只有一个选项是符合题目所给的题意的）1.有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】观察数轴，确定的正负，再去绝对值符号即得.【详解】观察数轴，，因此，所以.故选：B2.如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数与下列哪项最接近（）（结果精确到，参考数据，，）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合正切函数的定义即可求解.【详解】依题知，为等腰直角三角形，则，，则，在，，即，故点在尺上的读数约为故选：C3.如图，在菱形中，，，点在边上，且.若直线经过点，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点，则线段的长为（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】连接交于O，延长交于点F，由三角形全等可得点F满足题意且，过作，垂足为，结合直角三角形分析求解.【详解】连接交于O，延长交于点F，因为，可知，则点F满足题意，且，过作，垂足为，由题意可知：，则，可得，则，所以线段的长为.故选：C.4.如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形.若，则这个正方形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两个图形面积相等先求解出的值，然后即可求解出正方形面积.【详解】左边正方形的面积为，右边长方形的面积为，所以且，所以，解得（舍去负值），所以正方形面积为，故选：A.5.欧拉（L.Euler，17071783）是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市卖，两人所带鸡蛋个数不相同，但卖得的钱数相同.第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称）.”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索.”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设第一个农妇带了个鸡蛋，根据两人卖得的钱数相同，可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出第二个农妇带的鸡蛋个数，再根据各自的叙述列出方程即得.【详解】由第一个农妇带了个鸡蛋，得第二个农妇带了个鸡蛋，则按她们的说法，第一个农妇鸡蛋卖得的钱数为，第二个农妇鸡蛋卖得的钱数为，所以故选：B6.如图，已知，为反比例函数的图象上一点，以为直径的圆的圆心在轴上，与轴正半轴交于，则反比例函数解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设与轴的另一个交点为，连接，利用勾股定理求出的半径，再利用得到线段的比例关系从而求出点的坐标，代入求出即可.【详解】设与轴的另一个交点为，连接，如图：设的半径为，，，在中，，，解得，，，，，，为反比例函数的图象上一点，，得，即反比例函数解析式为.故选：C.7.有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（）A.第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜B.取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜D.取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜【答案】A【解析】【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙包含的的基本事件数量即可得答案.【详解】画树状图如下：对于A：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中所确定的点在直线上的点有共个，所确定的点在直线上的点有共个，故两种情况下的基本事件个数不一样，即两种情况下概率不一样，选项A符合题意；对于B：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两个数乘积大于15的有共8种，则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项B不符合题意；对于C：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不小于20的有共6种，则取出的两个数乘积小于20的有10种，，选项C不符合题意；对于D：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的两个数相加和为奇数的有共8种，则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项D不符合题意；故选：A.8.已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据条件求解出的值，然后结合二次函数的图象分析在时，由此求得的取值范围.【详解】因为的图象与直线有且只有一个公共点，所以仅有一个解，所以仅有一个解，所以，所以，所以即为，令，且开口向下，对称轴为，，如下图：又因为在上的最大值为，最小值为，由图象可知：，故选：C.二、多选题（每小题5分，共20分，在每小题所给的四个选项中有多个选项是符合题目所给的题意的，漏选得2分，选错得0分）9.下列说法正确的有（）A.命题“任意两个正数、，且”的否定是“存在两个正数、，或”B.已知为全集，“”的充要条件是“”C.已知、均为非零实数，则“”是“”的充分不必要条件D.已知，为实数，则“”的必要不充分条件是“”【答案】AB【解析】【分析】根据特称命题与全称命题的否定关系直接得出A；由集合之间的关系得出B；举反例判断C；构造函数利用单调性可判断D.【详解】A：根据特称命题与全称命题的否定关系直接得出A正确；B：等价于A是B的子集，等价于，即“”的充要条件是“”，故B正确；C：举反例.设，，系数比满足，但它们的解集不同，故不能推出，故C错误；D：构造函数，则，因为在上递增，所以，所以，是的充要条件，故D错误；故选：AB10.下列说法正确的是（）A.已知幂函数在上单调递减，则B.函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是C.已知，，，则恒成立D.已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称【答案】AC【解析】【分析】利用幂函数定义及性质求出判断A；利用分段函数单调性求出范围判断B；作差与0比较判断C；求出函数对称中心坐标判断D.【详解】对于A，依题意，，解得，A正确；对于B，依题意，，解得，B错误；对于C，依题意，，C正确；对于D，依题意，，，即，令，则，，所以的图象关于点中心对称，D错误.故选：AC11.下列有关最值的结论中，正确的是（）A.已知，则函数的最大值为0B.已知，，则的最小值为8C.已知，，，则的最大值为4D.已知，为实数，则的最大值为【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式，结合基本不等式的“1”的妙用逐项计算判断即可.【详解】对于A，，则，，当且仅当，即时取等号，A错误；对于B，由，，得，且，，当且仅当，即时取等号，B正确；对于C，，由，得，解得，当且仅当时取等号，C正确；对于D，显然要取到最大值，必有，此时，当且仅当，即时取等号，D错误.故选：BC12.已知函数，则下列关于的方程的命题正确的有（）A.存在实数，使得方程恰有1个实根B.不存在实数，使得方程恰有2个不等的实根C.存在实数，使得方程恰有3个不等的实根D.不存在实数，使得方程恰有4个不等的实根【答案】ACD【解析】【分析】令，，利用图象分别研究，，，，下的根的情况.【详解】令，，作出函数，的图象如图：，，，，当时，，方程无解，即方程无解；当时，，解得，此时恰有一个根，即方程恰有一个根；当时，，解得，此时恰有一个根，即方程恰有一个根；当时，，，有一个根在内，另一根在内，此时方程恰有两个不等实根；当时，，，有一个根内，另一根在内，此时方程恰有三个不等实根；故选：ACD.三、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13.若关于的方程的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由可得方程的根为，其中是方程的两根，分为斜边和为一条直角边两种情况，利用韦达定理计算即可.【详解】由可得方程的根为，其中是方程的两根，所以，当为斜边时，，解得，不满足，舍去；当为一条直角边时，设为斜边，则，即，解得，满足.故答案为：.14.如下图，分别过点（，2，…，）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点.则的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据的纵坐标和的纵坐标的绝对值之和为的长，表示出，然后利用裂项相消法即可求解.【详解】由已知，，故答案为：.15.已知，，则__________.（结果用，表示）【答案】【解析】【分析】应用指对互化及对数的运算律及换底公式即可.【详解】，则，，则，则，故答案为：16.函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据函数为偶函数，且在单调递增，转化为对任意恒成立，进而可得结果.【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，，所以当时，，则，∴，则，则等价于，当时为增函数，则，即对任意恒成立，设，则，解得，又，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为对任意恒成立.四、解答题（6小题，共70分）17.若关于的一元一次不等式组的解集是，求关于的分式方程的非负整数解.【答案】或2或3【解析】【分析】由不等式组的解确定的取值范围，再解分式方程即可得答案.【详解】由不等式组，解得，而不等式组的解集为，则，由分式方程，解得且，于是，即且，又为非负整数且，因此或或，所以分式方程的非负整数解为0或2或3.18.已知关于的一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值.【答案】（1）且；（2）2027.【解析】【分析】（1）利用判别式大于0，列出不等式求解即得.（2）由（1）求出，再利用韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，且，解得且，所以取值范围是且.【小问2详解】由（1）知，且，，则，此时方程变为，于是，又，，即，，因此，所以.19.如图①，一张矩形纸片，其中，，先沿对角线对折，点落在点的位置，交于点.（1）线段与是否相等？请说明理由；（2）如图②，再折叠一次，使点与点重合，得折痕，交于点，求和长.【答案】（1），理由见解析（2），.【解析】【分析】（1）通过证明可得结果；（2）设，，在中利用勾股定理列方程求出，再利用，线段成比例可求出.【小问1详解】，理由：如图①，由对折和图形的对称性可知，，，在矩形中，，，，，在和中，，，，，；【小问2详解】如图②，设，，则有：，，，在中，，，，即解得：.，，又，，，，即：，解得：，即：，所求的、长分别为，.20.如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点A，间的一个动点（含端点），过点作于点，点，的坐标分别为，，连接，，.（1）小明探究点的位置发现：当点与点A或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（2）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“特别点”，则存在多个“特别点”，且使的周长最小的点也是一个“特别点”.请直接写出所有“特别点”的个数，并直接写出周长最小时“特别点”的坐标.【答案】（1）正确，理由见解析（2）11个“特别点”，【解析】【分析】（1）根据题意求抛物线的解析式，设，结合两点间距离公式分析判断；（2）过点P做轴，垂足为H，设，利用割补法整理得，结合题意分析判断；结合（1）分析可得，可得当P、E、F三点共线时，周长最小.【小问1详解】正确，理由如下：因为边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点A，则，，设抛物线解析式为：，则，解得：.故抛物线的解析式为：；设，则，因为，可得，，所以.【小问2详解】过点P做轴，垂足为H，设，则，当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；综上所述：，，当时，取最大值13；当时，取最小值为4；所以，当时，或，即有2个点P；根据二次函数对称性可知：当且为整数，共有9个；所以共有11个“特别点”．当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，的周长最小，因为，即，可得，当P、E、F三点共线时，最小，此时点P，E的横坐标都为4，将代入得，即，此时的周长最小．21.已知函数的图像关于原点中心对称.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）已知，，若，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）在上是减