高中数学人教A版选修1-2测评2-1-1第2课时类比推理

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第2课时类比推理课后篇巩固提升1.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①若a,b∈R,则ab=0⇒a=b,类比推出若a,b∈C,则ab=0⇒a=b;②若a,b∈R,则|a|=|b|⇒a2=b2,类比推出若a,b∈C,则|a|=|b|⇒a2=b2;③若a,b∈R,则ab>0⇒a>b,类比推出若a,b∈C,则ab>0⇒a>b;④若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c且b=d,类比推出若a,b,c,d∈Q,则a+b2=c+d2⇒a=c且b=d.其中类比结论正确的是()A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 解析对于①中,在复数集C中,若两个复数满足ab=0,则它们的实部和虚部均相等,则a=b,所以①正确;对于②中,在复数集C中,例如:a=1+i,b=1i,此时|a|=|b|,但a2=2i,b2=2i,此时a2≠b2,所以②不正确;对于③中,在复数集C中,例如:a=2+i,b=1+i,此时ab=1>0,但a,b都是复数,无法比较大小,所以③不正确;对于④中,在有理数集中,若a+b2=c+d2,则(ac)+(bd)2=0,可得a=c且b=d,所以④正确.故选D.答案D2.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术,他在《九章算术》方田章圆田术中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程,比如在正数121+121+…中的“…”代表无限次重复,设x=121+121+…,则可以利用方程x=121+A.2 B.3 C.22 D.2+1解析设x=2+2+…,则x=2+x且x>2,所以x2=2+x,所以x2x2=0,所以(x2)(x+1)=0,所以x=2或x=1(舍),所以2+2+2+…答案A3.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c;类比这个结论可知:四面体PABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为R,四面体PABC的体积为VA.VSB.2C.3VD.4解析将△ABC的三条边长a,b,c类比到四面体PABC的四个面面积S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数12,类比到三棱锥体积公式中系数13,从而可知选C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V,所以V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4答案C4.在平面直角坐标系内,方程xa+yb=1(ab≠0)表示在x轴、y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)A.xa+yb+zcC.xyab+yzbc+zx解析从方程xa+yb=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是答案A5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}bn=a1+a2+…+ann也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列A.dn=c1B.dn=cC.dn=ncD.dn=n解析若{an}是等差数列,则设其首项为a1,公差为d,则a1+a2+…+an=na1+n(n-1)2d,∴bn=a1+n-12d=d2n+a1d2,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则设其首项为c1,公比为q,则c1·c2·…·cn=c1n·q1+2+…+(n1)=c1n·qn(n-答案D6.在平面几何中,△ABC中的内角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC=AEBE(如图①).把这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中(如图②),平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于点E,图①图②解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比,可得AEEB答案AE7.解决问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路:方程3x+4x=5x可变为35x+45x=1,由函数f(x)=35x+45x可知,f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法,可得到不等式x6(2x+解析将不等式化为x6+x2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3或x<1.答案(∞,1)∪(3,+∞)8.若数列{an}满足a1=1,an+an+1=14n,设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n1an(n∈N*),类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,试求5Sn4na解由题意,Sn=a1+a2×4+a3×42+…+an×4n-两边同乘以4,得4Sn=a1×4+a2×42+…+an1×4n-1+an×4由①+②,得5Sn=a1