1.6 完全平方公式（第1课时）（同步课件）-2023-2024学年北师大版七年级数学

第一章整式的乘除6.1完全平方公式探索&交流完全平方公式1—探究(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.(2)(m+2)2=

.(3)(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.(4)(m－2)2=

.p2+2p+1m2+4m+4m2－4m+4p2－2p+1探索&交流我们来计算下列(a+b)2，(a－b)2.(a+b)2=

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2.(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2

=a2－2ab+b2.探索&交流（a+b）2=a2+2ab+b2两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的2

倍.用自己的语言叙述这一公式！简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”想一想探索&交流你能用图解释这一公式吗?

babababa=++a2ababb2（a+b）2=a2+2ab+b2探索&交流探索&交流（a–b）2=？你是怎样做的？（a–b）2=（a–b）（a–b）=a2–2ab+b2（a–b）2=[a+（–b）]2=a2+2a（–b）+（–b）2=a2–2ab+b2议一议(a+b)²aabb两数差的完全平方公式：(a－b)²ababb2你能自己设计一个图形解释这一公式吗？做一做探索&交流完全平方公式的数学表达式：(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.完全平方公式的文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.探索&交流典例精析例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.思考：(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?理由：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.探索&交流典例精析例2.利运用完全平方公式计算：(1)(－x＋5)2；(2)(－a－2b)2；解：(1)原式＝(x－5)2＝(x)2－2·x·5＋52

＝x2－10x＋25；(2)原式＝(a＋2b)2＝a2＋2·a·2b＋(2b)2

＝a2＋2ab＋4b2典例精析例3.已知a2＋b2＝9，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因为a2＋b2＝9，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab

＝9＋2×6＝21；(a－b)2＝a2＋b2－2ab

＝9－2×6＝-3.随堂练习练习&巩固C

1.计算(－a－b)2等于(

)A．a2＋b2B．a2－b2C．a2＋2ab＋b2D．a2－2ab＋b2练习&巩固C

2.小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2－10ab＋■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是(

)A．5bB．5b2

C．25b2D．100b2练习&巩固A

2.若x2＋8x＋k是完全平方式，则k等于(

)A．16B．－16C．±3D．±4(1)1972；

例1运用完全平方公式计算：(2)992.解：992=(100–1)2=10000-200+1=9801.解：1972=(200–3)2=40000-1200+9=38809.=2002-2×200×3+9=1002-2×100×1+1新知学习例2计算：(1)(x+3)2－x2；解：(1)(x+3)2－x2=

x2+6x+9－x2=6x+9例2计算：(2)(a+b+3)(a+b－3)解：(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b)－3]

=(a+b)2－32

=a2+2ab+b2－9；例2计算：(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=

x2+10x+25－(x2－5x+6)

=

x2+10x+25－x2+5x－6=

15x+19.一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果；来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……

做一做假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有(a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？请你用所学的公式解释自己的结论.解：第一天a个孩子，给出去的糖果a×a=a2.第二天b个孩子，给出去的糖果b×b=b2.第二天(a+b)个孩子，给出去的糖果(a+b)2=a2+2ab+b2.所以第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多.随堂练习1.若m+n=3，则代数式2m2+4mn+2n2-6的值为（）A.12B.3C.4D.0A2.如果(a＋b)2＝16，(a－b)2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是(

)A．3 B．4C．5 D．6A3.利用乘法公式计算：(1)982－101×99；＝(2022－2021)2＝1.解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；解：原式＝20222－2×2022×2021＋20212(2)20222－2022×4042＋20212.(1)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)；解：(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)＝x2－4－(x2－2x－3)＝2x－1；4.计算：(2)(ab+1)2-(ab-1)2；解：(ab＋1)2－(ab－1)2＝(ab＋1＋ab－1)(ab＋1－ab＋1)＝2ab×2＝4ab；(3)(x-y+1)(x+y-1)；解：(x-y+1)(x+y-1)＝[x－(y－1)][x＋(y－1)]＝x2－(y－1)2＝x2－y2＋2y－1；(4)(a-3b)2+9(a-b)(a+b)．解：(a-3b)2+9(a-b)(a+b)＝a2－6ab＋9b2＋9(a2－b2)＝a2－6ab＋9b2＋9a2－9b2＝10a2－6ab.解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.5.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.6.先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中ab＝－1.解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab.当ab＝－1时，原式＝2×(－1)＝－2.7.如图，将一个边长为a＋b的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积(用含a、b的代数式表示出来)；解：根据图中条件得，该图形的总面积为a2＋2ab＋b2或(a＋b)2；(2)如果图中的a，b(a＞b)满足a2＋b2＝35，ab＝23，求a＋b的值；解：由(1)可知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∵a2＋b2＝35，ab＝23，∴(a＋b)2＝35＋46＝81，∵a＋b＞0，∴a＋b＝9；(3)已知(5＋2x)2＋(3－2x)2＝60，求(5＋2x)(3－2x)的值．解：设5＋2x＝a，3－2x＝b，则a2＋b2＝60，