11.2.2 三角形的外角 教学设计

11.2.2三角形的外角教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用本课是在前面学习了三角形的内角和的基础上，利用三角形的内角和定理和邻补角的关系推导出三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．体会证明的必要性，同时这一推论可以解决三角形中一系列与角有关的问题，为证明角的关系问题提供了依据．另外，通过对外角和的探究，也可为后续学习的多边形的外角和提供研究方法．概念解析三角形的外角是相邻内角的补角，是与它不相邻的两个内角的和，是三角形内角和定理的推论，它是内外角关系的纽带，可作为解决与角有关的问题的推理依据．三角形外角和是指每个顶点处取一个外角所得的和，它是最简单的多边形的外角和，外角和度数的探究可以类比内角和的探究，同时为后续学习的其它多边形的外角和提供了方法．思想方法采用“问题—探究—发现”的研究模式，采用了拼图和数学说理两种方法，一方面，让学生通过剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论，另一方面又利用简单的数学说理，使学生初步体会，要得到一个数学结论，可以采用观察实验的方法，还可以采用数学说理的方法，观察实验只能给我们带来一个直观形象的数学结论，而推导说理才能使我们确信这一数学结论是否正确，对学生的逻辑推理能力与推理素养的发展，有着深远的意义．教学中遵循从特殊到一般的教学思路，循序渐进，还类比内角和的探索过程，运用演绎推理方法逐步解决综合性问题．知识类型三角形的外角属于概念性知识．要抓住概念的本质：①顶点为三角形的一个顶点②一边为三角形的边③另一边为三角形的边的延长线，提高学生的数学核心素养．三角形的外角的性质属于原理与规则的知识．教学中应突出强调三角形的外角的性质的运用，学会用推理的方法解决与三角形有关的角的问题，提高学生解决问题的能力．教学重点本节课的教学重点：三角形内角和定理的推论教学目标解析教学目标1．理解三角形的外角的概念2．掌握三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和3．能综合运用三角形内角和、外角、平行线等性质进行三角形角度的有关计算．目标解析达成目标1的标志是学生能够识别三角形的外角；达成目标2的标志是学生能证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并知道三角形的外角和；达成目标3的标志是学生能综合运用三角形的内角和、外角性质、外角和、平行线等知识解决与角有关的计算．教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了三角形的内角和定理，知道三个内角之间的数量关系，并能解决简单的有关内角的计算问题，也已经具备了一定的几何推理能力，能进行合情的推理．与本课目标的差距分析从知识层面看，学生已经学习了三角形的内角和定理，但与三角形的外角的性质结合就不那么容易解决了，还有外角也不及三角形的内角那么直观，容易辨别；从能力层面看，学生能利用三角形内角和进行合情推理，能计算出相关的内角，但引入外角后，加上图形变得错综复杂，就不容易解决．存在的问题可能存在的问题（问题、障碍）在本节课的学习中可能遇到的问题是：在综合运用三角形外角、内角、角平分线、平行线等知识计算角度时，添辅助线时有障碍，未能在复杂图形中提炼出基本图形，还有几何证明的书写也存在一定的问题．应对策略让学生经历识别三角形的外角的过程，抓住概念的核心，可以增加较为复杂的图形让学生尝试；在添辅助线的过程中强调所求的角是内角还是外角，如何构造内外角的关系等，还有教师在讲解过程中提炼和归纳出基本图形（如“8”字型图、凹四边形的外角图）.教学难点本节课的教学难点是：规范的几何证明的书写和三角形研究思路的构建.教学支持条件分析利用PPT自定义动画进行变式训练，逐步推进对各种不同图形的认识，总结出各种图形中角的数量关系；利用希沃授课助手，连接上平板，展示学生的练习，及时巩固概念；利用教学软件统计显示测评结果，并对没有达标的学生推送相应的内容，真正做到有的放矢.教学过程设计课前检测1．在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=________．2．写出图中的x值为_________．3．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=65°，则∠3=（）A．65°B．70°C．75°D．85°设计意图：了解学生对三角形内角和定理的掌握情况．第一个问题是已知三角形的两个内角求第三个角，即直接考查学生对三角形内角和定理的把握；第二个问题是借助对顶角相等求角度，即考查学生对“8”字型图的认识，进一步复习三角形内角和定理，同时为下面的新课埋下伏笔，即“8”字型图可以由外角性质得到；第三个问题是考查学生对平行线与内角和定理的综合运用能力．回顾梳理问题1三角形有几个内角？它们的和为多少？学生活动：学生思考并回答三角形的内角和定理．师生活动设计：对学生的回答进行评价，同时进行下面的追问．追问1：三角形的内角和是怎么得到的？学生活动：学生思考并回答是通过拼图的方式发现它们的和为180°，再推理说明．追问2：既然三角形有三个内角，那有没有外角呢？设计意图：让学生回顾三角形的内角，是为了引出课题；而复习三角形的内角和定理，则为推导三角形的外角的性质提供依据，同时可以类比三角形的内角和的探索过程对三角形的外角和进行探究．合作学习问题2观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？学生活动：仔细观察，小组合作讨论，找到它们的共同特征：①∠1的顶点在三角形的一个顶点上②∠1的一条边是三角形的一条边③∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线.师生活动设计：提示学生从组成角的元素出发找共同特征，归纳出这个角实际上是内角的邻补角，也是本节课学习的外角．得到结论：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．追问：你能画出它的所有外角吗？想一想△ABC的外角一共有几个？师生活动设计：动手画图，发现每个顶点处有2个外角，总共有6个外角．设计意图：让学生仔细观察外角的特征，不仅可以准确说出三角形的外角的定义，还有助于辨认外角与内角、内角的对顶角，揭示外角的本质，以免产生混淆．让学生动手画图，可以进一步理解三角形的外角的特征．让学生找外角的个数是为下面求外角和作铺垫．目标1检测：如图，以∠AOD为外角的三角形是___________________设计意图：如果学生能顺利解答目标检测，则说明学生已经理解了外角的概念；如果只有个别学生不能顺利解决，可以进行课后单独辅导；如果大部分学生不能回答正确，则说明目标还没有达成，可以针对外角的定义找出三角形，注意一定要抓住概念的本质．问题3三角形的一个外角与三角形的三个内角之间有何关系？由于三角形的一个外角与三角形的三个内角之间有相邻与不相邻之分，因此可进行以下追问．追问1三角形的一个外角与它相邻的内角的关系如何？师生活动设计：从定义出发不难得到三角形的一个外角与它相邻的内角互补追问2三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系如何？学生一时不容易发现它们的关系，不妨设置下面的题目：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，求∠ACD的度数．学生活动：根据三角形的内角和定理，结合已知条件，先求出∠ACB的度数，再求出邻补角∠ACD的度数．师生活动设计：评价学生的回答，并引导学生发现求得的∠ACD的度数与∠A、∠B的度数关系，不难发现∠ACD=∠A+∠B．此时，可继续下面的追问．追问3：任意三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？你能证明吗？学生活动：用推理的方法证明这一结论，写出证明过程．师生活动设计：对学生的书写进行评价，并鼓励学生用不同的方法加以证明（可提示学生参照内角和定理的证明）推理得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．这就是今天学习的外角的性质，由这个数量关系知道，只要已知这三个角的两个角就可以求出第三个角．并由此得出三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．归纳：①三角形的一个外角与它相邻的内角互补②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．练习巩固：1．求下列图中各标出角的度数．2．把图中∠1、∠2、∠3按由大到小的顺序排列.设计意图：此问题主要针对外角与内角的关系进行探究，既是对三角形的内角和定理的复习，也体现了从特殊到一般思想，最终得出三角形的外角的性质．让学生关注知识之间的联系，这也是几何学习的基本过程，明确几何研究的方向．问题4若在每个顶点处取一个外角，三角形的三个外角的和是多少？学生活动：模仿三角形的内角和定理的推导，先在纸上画出一个三角形，再画出三个外角，进行剪拼，猜测三角形的外角和等于360°．教师要引导学生猜测、发现三角形的外角和等于360°，同时用推理的方法进行证明．当学生用第一种方法（邻补角的定义）解决时，可以进行追问．追问1能利用三角形的外角的性质解决吗？师生活动设计：回顾三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），并把三角形的三个外角和写成内角和的两倍，就可以得到结论．追问2能模仿三角形的内角和中添平行线的方法解决吗？还有其它方法吗？师生活动设计：可以将三角形的三个外角转移到同一个顶点处，刚好构成周角就可以得到结论．设计意图：通过类比内角和定理的教学进行探究，用不同的方法进行证明，其中还运用三角形外角的性质，真正做到学以致用，同时拓宽学生的思维．另外，第一种方法还为后面推导多边形的外角和作了铺垫．例题示范例1已知：如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，则AD∥BC，请说明理由．师生活动设计：分析要证明边平行，可以从角入手，又有外角和内角，思考能否利用外角的性质证明．即时练习：如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∠BDC=70°，求∠C的度数．解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（_____________________）∴∠BDC=∠A+∠ABD（_____________________）∵∠A=40°，∠BDC=70°（_____________________）∴∠ABD=_______-________=________-________=________（_____________________）∵BD平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC=2∠ABD=_____×______=__________（_____________________）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-________-_______=_______（_____________________）要求学生能依据分析逐步填写理由，为以后独立书写推理过程打好基础．教师可以分析、点拨解题的思路．设计意图：前面利用三角形外角的性质求内角与外角的度数，本例补充说明直线平行，体现了三角形外角性质应用的广泛性，巩固练习则让学生通过填写理由，逐步培养学生有逻辑地思考和表达能力．目标2检测：若∠C=30°，则∠A+∠B+∠D+∠E的值是_____________．设计意图：如果学生能顺利解答目标检测，则说明学生已经掌握了外角的性质（三角形内角和的推论），同时也知道外角与相邻内角的关系；如果只有个别学生不能顺利解决，可以进行课后单独辅导；如果大部分学生不能回答，则说明目标还没有达成，可以逐步分解难度，让这部分学生能熟练掌握．拓展知识练习：（1）已知如图所示的四边形，∠BDC与∠A、∠B、∠C的关系如何？（2）已知国旗上的正五角星形如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______度．（3）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为________°．师生活动设计：思考、分析、解答，第（1）题如何把四边形问题转化为三角形问题，显然要通过添辅助线来构造三角形；第（2）题利用外角性质把这五个角转化为三角形中的三个内角得以解决；第（3）题利用外角性质把六个角转化为三角形中的三个外角，再利用三角形的外角和得出结论．设计意图：巩固三角形外角性质及外角和的知识，利用转化思想将复杂问题变得简单，培养学生分析、解决问题的能力．同时，为后面学习的“一笔画”图形的内角和的求法埋下伏笔．目标3检测：如图，在△ABC中，∠A=80°，∠BAC和∠ACD的平分线交于点O，求∠O的度数．设计意图：如果学生能顺利解答目标检测，则说明学生已经掌握了外角的性质（三角形内角和的推论）与角平分线的综合应用；如果只有个别学生不能顺利解决，可以进行课后单独辅导；如果大部分学生不能回答，则说明目标还没有达成，可以进行详细讲解，同时可以补充求两个外角的平分线的夹角的度数的题目加以巩固．课堂小结结合下面的结构图，回答以下问题：（1）什么是三角形的外角？三角形的外角要满足什么条件？（2）三角形外角有几条性质？你是怎样研究三角形外角的性质的？设计意图：通过回答以上的问题，使学生回顾三角形外角的概念，记住三角形外角的两条性质，了解研究三角形性质的一般方法，突出以下三点内容．（1）三角形的外角的概念要满足的三个条件：一边为三角形的边、另一边为边的延长线、内角的顶点．（2）三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（3）三角形的外角和等于360°．目标检测设计1.如图所示，标出的∠1、∠2、∠3、