新教材高中数学选择性人教B版必修第三册 数列基础 学案

5.1数列基础

5.1.1数列的概念

最新课程标准

1.理解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项

公式）.

2.掌握数列的通项公式及应用.（难点）

3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

恤川HW川小川川川川川川川川川川川川川川川川H川川川勿/囱囱陶・:「］匕I学I"川川川川川1川皿川川则川川川川田川川川川川川川川h

［教材要点］

知识点一数列的概念及一般形式

定义：按照一定次序排列起来的一列数

项：数列中的称为这个数列

的项；排在的数称为这个数

列的第1项（通常也叫做首项）

数列

数列的项与项数一样吗?

［提示］不一样.

知识点二数列的分类

类别含义

按项有穷数列项数—_______的数列

的

无穷数列项数—_______的数列

个数

从第2项起，每一项都_______—它的

递增数列

按项前一项的数列

的从第2项起，每一项都_______—它的

递减数列

变化前一项的数列

趋常数列各项都________的数列

势从第2项起，有些项________它的前

摆动数列

一项，有些项小于它的前一项的数列

知识点三数列的通项公式

如果数列伍〃｝的第n项即与之间的关系可以用一个

函数式来表示，那么这个叫做这个数列的通项

公式.

状元随笔|数列一定有通项公式吗？

［提示］不一定.

知识点四数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下

表：

定义域正整数集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝）

解析式数列的通项公式

值域自变量______________时对应的一列函数值

（1）通项公式（解析法）；（2）________法；

表示方法

（3）________法

状元随笔数列所对应的图像是连续的吗?

［提示］不连续.

［基础自测］

21

1.已知数列｛z｝的通项公式为。〃=房,那么总是它的（）

A.第4项B.第5项

C.第6项D.第7项

2.下列四个数中，哪个是数列｛〃5+1）｝中的一项（）

A.380B.392

C.321D.232

1+(-11

3.已知数列｛“〃｝的通项公式为an=一丁一，则该数列的

前4项依次为()

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.1,0,1，0D.2,0,2,0

J.2，2，2，Vi•J'

4.下列说法正确的是.(填序号).

①(0123451是有穷数列•

②从"至；决’的自然数构成二个无穷递增数列;

③数列123,4,…，2"是无穷数列.

川川川川川川川川川川川川川I川川川川川川川川川I卅勿出勿h玛圜陶|图・I素］养I提I升I中川川川川川川川川川川川川川川川小川川川川川川川川h

题型一数列的概念及分类

例1已知下列数列：

①2011,2012,2013,2014,2015,2016；

科23(-1)〃一％

③1，万亍…，2-1'…；

crm

④1,0,—L…，sing,・・・；

⑤2,4,8,16,32,•••；

⑥一1,-1,-1,—1.

其中，有穷数列是，无穷数列是，递增数

列是,递减数列是,常数列是,摆动

数列是.(填序号)

状元随笔|紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列,

常数列及摆动数列的定义求解.

方注归他

1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下

特点：

(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合

中的元素也具有确定性；

(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重

复出现(即互异性)；

(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与

这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；

(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数

字外的其他事物.

2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特

点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;

而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限.

跟踪训练1给出下列数列：

①2011〜2018年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列

82,93,105,119,129,130,132,135.

②无穷多个小构成数列小，小，小,小，….

③一2的1次幕，2次累，3次幕，4次事，…构成数列一2,4,

—8,16,—32,….

其中，有穷数列是,无穷数列是,递增数

列是,常数列是,摆动数列是.

题型二由数列的前几项求通项公式

例2写出下列数列的一个通项公式：

⑴；，2,|,8,苧，•••；

(2)9,99,999,9999,…；

22-132—242—352—4

⑶，5，

⑷-1X2,2X3'-3X4,4X5'

状元随笔先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子

与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后

归纳出通项公式.

方法归他

1.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析,

抓住以下几方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相邻项的变化特征；

(3)拆项后的特征；

(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.

2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察

出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如

自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变

化，可用(-1)”或(-1)田来调整.

跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：

(1)0,3,8,15,24,…；

(2)1,-3,5,-7,9,…；

1234

(3)1/,2,，31,45，•••；

(4)1,11,111,1111,

题型三数列的单调性及应用

状元随笔

1.数列1］3p7(1若5，3券1…的通项公式是什么？该数列的

24o1032

第7项是什么？念255是否为该数列中的一项？为什么？

ZJO

［提示］由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an=

7

1一，当n=7时，a7=一?—厂1=续1?7，若9怒55为该数列中的一项，

乙IZoZDO

255255

川2,1-256'解得『8,所以须是该数列中的第8项.

2.已知数列｛an｝的通项公式为an=—W+2n+l,该数列的图

像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项.

［提示］由数列与函数的关系可知，数列｛%｝的图像是分布在

二次函数y=—x?+2x+l图像上的离散的点，如图所示，从图像

上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3

项往后各项为负数项.

例3已知函数)=%一：.数歹U｛an｝满足/(“〃)=一2〃，且an>0.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)判断数列｛“”｝的增减性.

状元随笔先根据已知条件解方程求“，再利用作差法或作

商法判断数列｛an｝的增减性.

方法归他

1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对〃进行取值，然

后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值

求函数值.

2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式

等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数

是否为数列中的项.

3.判断数列单调性的两种方法

⑴作差(或商)法；

(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数的

单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由于

数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的单

调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错实数

k的取值范围.

在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是

N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，N)这一约束条件.

跟踪训练3已知数列的通项公式为的=泳+2〃-5.

(1)写出数列的前三项；

⑵判断数列｛“〃｝的单调性.

题型四数列的最大(小)项的求法

例4已知数列｛斯｝的通项公式诙=(〃+1)［打加£N+),试问

数列｛。〃｝有没有最大项？若有,求最大项和最大项的项数;若没有,

说明理由.

方法模的

求数列的最大(小)项的两种方法

一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，

再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列

的单调性，以此求解最大项.

,a会ak-\

二是设以是最大项，则有、对任意的％£N+且上22

一或三或+1

都成立，解不等式组即可.

跟踪训练4已知数列｛“〃｝的通项公式为“〃=/—5n+4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)八为何值时，“〃有最小值？并求出最小值.

数材女思

1.本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式

的求法.难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式.

2.要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以

及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的

方法.

易错点要注意以下两个易错点：

1.并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，兀的不同

近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…，它

没有通项公式.

2.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形

式.

温馨提示：请完成课时分层作业（一）

第五章数列

5.1数列基础

5.1.1数列的概念

新知初探咱主学习

知识点一

每一个数第一位（an}

知识点二

有限无限大于小于相等大于

知识点三

nan—j{ri）公式

知识点四

从小到大依次取正整数值列表图像

［基础自测］

11?

1.解析：设上是数列中的第八项，则方解得〃=4

或〃=—5.:一54N+,.,.八=一5应舍去，故〃=4.

答案：A

2.解析：因为19X20=380,

所以380是数列｛九5+1)｝中的第19项.应选A.

答案：A

3.解析：当〃分别等于1,2,3,4时，(71=1,“2=0，"3=1,"4

=0.

答案：A

4.解析:因为｛0,1,2,3,4,5｝是集合，而不是数列，所以①错误；

②正确;数列1,234,…，2〃共有2〃项，是有穷数列，所以③错

误.

答案：②

课堂探究•素养提升

例1解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数

列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周

期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数

列，也是常数列.

答案：①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

跟踪训练1解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①

也是递增数列；②为常数列；③为摆动数歹L

答案：①②③①②③

例2解析：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将

1491625

各项都统一成分数再观察：木右…，所以，它的一

2'2，2，

个通项公式为a“=5(〃£N+).

(2)各项加1后，变为10,100,1000,10000,…此数列的通项公

式为式",可得原数列的通项公式为期=10"—l(〃=N+).

(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，

可用2〃一1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，

可用(〃+1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用〃表

(n~\~1/一几

示，综上，原数列的通项公式为叫=\不-，5GN+).

2〃-1

(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的

倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是

=(一1)"丁亦(〃6+)・

n{n-\-1)

跟踪训练2解析：(1)观察数列中的数，可以看到0=1—1,3

=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…，所以它的一个通项公

式是dn—n2—N+).

(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…，是连续的正奇数，并

且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为期

=(-1)"+I(2L1)(〃£N+).

(3)此数列的整数部分为123,4,…恰好是序号n,分数部分

n

与序号H的关系为干，故所求的数列的一个通项公式为如i+

nrr-\-2n

(4+).

n~\-1

(4)原数列的各项可变为：X9,3X99,3X999,59999,…,

yyyy

易知数列9,99,999,9999,…的一个通项公式为期=10"-1.所以原

数列的一个通项公式为斯=/10"—1)(〃£N+).

例3解析：⑴二7(%)=%—/(④)=-2〃，

Ji

/.an————即届+2〃。“一1—0,

解得—〃川噌+1,

Van>0,an=\]tv-\-\—n.

(2)法一(作差法)

an+\—cin=q(n+])2+1—(/?+1)—«序+1—ri)

[(〃+1y+1+、4+1

______(〃+])+〃_____

[(〃+111?

又、(“+1y+1>n+1,X层+1>n,

.(n+l)+n

*^/(H+1)2+1++1°

an+\—an<0,即。"+1<。〃.，数列｛。〃｝是递减数列.

法二(作商法)_________

..c•a〃+1d(〃+i)2+i—(〃+i)

*""3an1—ft

_____1+〃

-\J(AZ+1)2+1+(n+1)L

•••斯+1〈即，数列｛恁｝是递减数列.

跟踪训练3解析：⑴数列的前三项：°1=1?+2X1—5=-2；

“2=22+2X2—5=3；

“3=32+2X3—5=10.

(2);。”=/+2〃-5,

22

an+\—“"=(〃+l)+2(n+1)—5—(n+2n—5)

=H2+2H+1+2«+2—5—n2—2«+5

—2/1+3.

•fi£,••2/2I3>0,••cin+i>a〃.

■数列｛〃”｝是递增数列.

(10、,10、