2024年浙江省杭州市保俶塔申花学校九年级下学期3月月考数学试卷

第1页（共1页）2024年浙江省杭州市保俶塔申花学校九年级下学期3月月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．有四个数，其中最小的是A．4 B． C． D．02．下列计算正确的是A． B． C． D．3．“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为A． B． C． D．4．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为5等份．若小玻璃管口正好对着量具上2等份处，那么小玻璃管口径的长为A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为A． B． C． D．6．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：年龄岁12131415频数515对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差7．如图，在中，是的直径，，，则的度数为A． B． C． D．8．如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，段为助滑道，段为着陆坡，着陆坡的坡角为，点与点的高度差为120米，点与点的高度差为米，则着陆坡的长度为A．米 B．米 C．米 D．米9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则A．当时，的最大值为 B．当时，的最大值为 C．当时，的最大值为 D．当时，的最大值为10．如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为A． B． C． D．二．填空题（共6小题）11．．12．若，则．13．从一组数，，，0，1，2，3中随机选一个数，恰好是非负数的概率为．14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上，且点，在上，，则的长为．15．关于的一元二次方程的两根是，2，则抛物线的对称轴是．16．如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且，若，，则．三．解答题（共7小题）17．在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式①②③④．⑤（1）甲同学从第步开始出错（填序号）；（2）请你写出正确的解法．18．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．调查结果扇形统计图：调查结果统计表：组别分组（单位：元）人数4162请根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有人，，；（2）求扇形统计图中扇形的圆心角度数；（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数．19．随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点处俯角为，无人机垂直下降40米至点处，又测得试验田另一侧边界点处俯角为，且点，，在同一条直线上，求点与点的距离．（参考数据：，，，，，，结果保留整数）20．如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若平分，，，求．21．如图，反比例函数的图象与一次函数图象为常数，且的图象交于、两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．22．已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，，且．（1）求证：；（2）如果，，求的值．23．已知二次函数，是常数，，它的图象过点．（1）用含的代数式表示；（2）若，此二次函数的自变量满足时，函数的最大值为3，求的值；（3）若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围．24．【基础巩固】(1)如图①,在矩形中,,BC=4,为线段的中点，连结，为线段上一点，且满足,的长。【尝试应用】(2)如图②，在(1)的条件下延长DP交BC于点H,求BH的长.【拓展延伸】(3)如图③,在中,,tan∠ABC=2,Q是内部一动点，且满足∠BCQ+∠ADQ=90°,当线段BQ取最小值时，DQ延长线交线段BC于T，求BT的长

2024年浙江省杭州市保俶塔申花学校九年级下学期3月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有四个数，其中最小的是A．4 B． C． D．0【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可．【解答】解：，故最小的数为，故选：．【点评】此题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．2．下列计算正确的是A． B． C． D．【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：、，本选项错误；、，本选项正确；、，本选项错误；、，本选项错误．故选：．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．3．“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．【解答】解：，故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．4．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为5等份．若小玻璃管口正好对着量具上2等份处，那么小玻璃管口径的长为A． B． C． D．【分析】根据平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为A． B． C． D．【分析】先利用点和点的坐标得到线段平移的规律，然后利用点的坐标平移规律写出点的对应点的坐标．【解答】解：点向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到，点向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到的对应点的坐标为．故选：．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．6．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：年龄岁12131415频数515对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第14、15个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为，则总人数为：，故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁，即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．7．如图，在中，是的直径，，，则的度数为A． B． C． D．【分析】由是的直径，，可得，根据同弧所对的圆周角相等求出得，从而得到，根据等腰求出，再加上的度数即可．【解答】解：是的直径，，又，，，，，，．故选：．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是抓住两个特殊三角形：等腰和等腰直角．8．如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，段为助滑道，段为着陆坡，着陆坡的坡角为，点与点的高度差为120米，点与点的高度差为米，则着陆坡的长度为A．米 B．米 C．米 D．米【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得四边形矩形，从而得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则四边形矩形，，米，米，米，在中，米，故选：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则A．当时，的最大值为 B．当时，的最大值为 C．当时，的最大值为 D．当时，的最大值为【分析】根据抛物线解析式求得其对称轴为直线，分两种情况：当时，由当时，随的增大而增大可得，进而得到，以此判断、选项；当时，当时，随的增大而增大可得，进而得到，以此判断、选项．【解答】解：，抛物线对称轴为直线，①当时，当时，随的增大而增大，，，即，，最大值为，故选项错误，选项正确；②当时，当时，随的增大而增大，，，即，，此时无最大值，故、选项错误．故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟知二次函数的性质，掌握通过配方求最值问题．10．如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为A． B． C． D．【分析】过点作，交延长线于，再根据正方形的性质，推出，根据同角的余角相等，推出，证明，推出，是正方形对角线，推出，求出，进而求出．【解答】解：过点作，交延长线于，，在正方形中，，，，，，，，，，，，设，则，，，，是正方形对角线，，，，，，，，，，，在正方形中，，，，；故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．二．填空题（共6小题）11．2．【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．【解答】解：原式．故答案为：2．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．12．若，则2．【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可确定出的值．【解答】解：，则，故答案为：2【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．13．从一组数，，，0，1，2，3中随机选一个数，恰好是非负数的概率为．【分析】确定非负数的个数即可求解．【解答】解：，1，2，3均为非负数，随机选一个数，恰好是非负数的概率为：，故答案为：【点评】本题考查了概率的求解，熟练掌握概率公式是解题的关键．14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上，且点，在上，，则的长为．【分析】如图，圆心为，连接，，，．利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，圆心为，连接，，，．，，的长．故答案为：．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型．15．关于的一元二次方程的两根是，2，则抛物线的对称轴是直线．【分析】根据关于的一元二次方程的两根是，2，可得抛物线的对称轴为直线．【解答】解：关于的一元二次方程的两根是，2，抛物线与轴的交点坐标为，，抛物线对称轴为直线，故答案为：直线．【点评】本题考查抛物线与轴的交点，关键是掌握抛物线对称轴和抛物线与轴交点的关系．16．如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且，若，，则．【分析】过作的平行线交的延长线于，先判断出，得出，再判断出，得出，，即可得出答案．【解答】解：如图，过作的平行线交的延长线于，，，，，，，，，，，为中点，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．三．解答题（共7小题）17．在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式①②③④．⑤（1）甲同学从第②步开始出错（填序号）；（2）请你写出正确的解法．【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可；（2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．【解答】解：（1）由题意知，甲同学从第②步开始出错，故答案为：②；（2）原式．【点评】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键．18．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．调查结果扇形统计图：调查结果统计表：组别分组（单位：元）人数4162请根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有50人，，；（2）求扇形统计图中扇形的圆心角度数；（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数．【分析】（1）根据组的频数是16，对应的百分比是，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得，然后求得的值，的值；（2）利用乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）调查的总人数是（人，则，，组所占的百分比是，则．．故答案为：50，28，8；（2）扇形统计图中扇形的圆心角度数是；（3）每月零花钱的数额在范围的人数估计是（人．【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点处俯角为，无人机垂直下降40米至点处，又测得试验田另一侧边界点处俯角为，且点，，在同一条直线上，求点与点的距离．（参考数据：，，，，，，结果保留整数）【分析】根据题意得两个直角、，通过解这两个直角三角形求得、、的长度，进而即可求出答案．【解答】解：延长交于点，由题意得：，，米，米，（米，在中，，（米，在中，，（米，（米．答：点与点的距离为192米．【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．20．如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若平分，，，求．【分析】（1）根据菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和相似三角形的判定和性质，进而解答即可．【解答】（1）证明：，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，平分，，，，，，，，，，，，，即，，．【点评】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据菱形的性质和判定以及相似三角形的判定和性质解答．21．如图，反比例函数的图象与一次函数图象为常数，且的图象交于、两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出，得到点坐标为，然后把点坐标代入中求出，从而得到一次函数解析式为；（2）由于将直线向上平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组只有一组解，然后消去得到关于的一元二次方程，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值．【解答】解：（1）把代入，得，所以点坐标为，把代入，得，解得，所以一次函数解析式为；（2）将直线向上平移个单位长度得直线解析式为，根据题意得方程组只有一组解，消去得，整理得，△，解得或，即的值为1或9．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．22．已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，，且．（1）求证：；（2）如果，，求的值．【分析】（1）利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；（2）利用相似三角形的性质，圆心角，弧，弦与弦心距的关系定理和直角三角形的边角关系定理解答即可．【解答】（1）证明：，．四边形内接于，，；（2）解：是的中点，，．，，，．，．，．．【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆心角，弧，弦与弦心距的关系定理和直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．23．已知二次函数，是常数，，它的图象过点．（1）用含的代数式表示；（2）若，此二次函数的自变量满足时，函数的最大值为3，求的值；（3）若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围．【分析】（1）将代入函数表达式即可；（2）将代入函数表达式可得：，求出对称轴，再根据当时，有最大值为3，分对称轴左侧和对称轴右侧求即可；（3）由，，可得，再由△，可得函数图象与轴有2个不同的交点，判断出抛物线的开口方向，再根据对称轴即可求出的范围，进一步可求的取值范围．【解答】解：（1）将代入函数表达式得，．（2），，，，抛物线开口向下，对称轴为：，有最大值为3，当时，有，解得：，，，又在的左侧，随的增大而增大，当时，有最大值为3，．在的右侧，随的增大而减小，当时，有最大值为3，．综上所述，或．（3），，，二次函数为：，△，函数图象与轴有2个不同的交点，图象顶点在第二象限，抛物线开口向下，即，，，，，．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征以及抛物线的最值问题，熟练掌握二次函数的各个知识点是解决本题的关键．24．【基础巩固】(1)如图①,在矩形中,,BC=4,为线段的中点，连结，为线段上一点，且满足,的长。【尝试应用】(2)如图②，在(1)的条件下延长DP交BC于点H,求BH的长.【拓展延伸】(3)如图③,在中,,tan∠ABC=2,Q是内部一动点，且满足∠BCQ+∠ADQ=90°,当线段BQ取最小值时，DQ延长线交线段BC于T，求BT的长【答案】(1)2；(2)1；(3)．【解析】(1)证明：如图1，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=∠ABD=∠ACD=45°，∵∠EDF=45°，∴∠EDB=∠FDC，∴△DBE∽△DCF