数值计算方法 第4版 课件 第5-7章 二乘法、数值积分和数值微分、微分方程01欧拉法02R-K法

第5章曲线拟合的最小二乘法

5.1最小二乘法原理

5.2超定方程组的最小二乘解

5.3可线性性化模型的最小二乘拟合

5.4多变量的数据拟合

5.5多项式拟合

5.6正交多项式及其最小二乘拟合5.1最小二乘原理设已知某物理过程y=f(x)在m个互异点的观测数据

求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x)，而不必满足插值原则。称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。这就是曲线拟合问题。

xix1x2

…..xmyiy1y2

…..ym5.2超定方程组的最小二乘解设线性方程组

(m>n)

即

如果有向量x使得

达到最小，则称x为超定方程组的最小二乘解。

定理超定方程组Ax=b存在最小二乘解，且即为方程组ATAx=ATb

的解。当A的列向量线性无关时ATA非奇异，这时有唯一的解。

称方程组ATAx=ATb

为方程组Ax=b的正则方程组、正规方程组、法方程组

曲线拟合的最小二乘法可以看成求下述超定方程组的最小二乘解的问题

简写为

一般计算步骤(1)计算

，其中

(2)计算ATA,ATb

，形成法方程组ATAx=ATb(3)求解法方程组，输出

a1,a2,…,an,构成

5.3可线性性化模型的最小二乘拟合

例已知观测数据(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如的经验公式。

解

作超定方程组即法方程组为求得a=1.537650114

b=－6.432976311所求经验公式为5.5多项式拟合1直线拟合

作超定方程组

n记号

指对i从1到n取和法方程组

2二次拟合、抛物拟合

作超定方程组

有法方程组

3一般情形

超定方程组的系数矩阵

例给定函数y=f(x)的实例数据表。试用最小二乘法求二次拟合多项式。

解设二次拟合多项式写出其正则方程组x1234678y2367532将计算结果代入正则方程组解得

a0=-1。3185,a1=3.4321,a2=-0.3864二次拟合曲线

第6章数值积分和数值微分

本章的问题：计算定积分∫abf(x)dx的近似值。必要性:如果f(x)的原函数是F(x)，则

等.

实际问题中常有些被积函数没有表达式,只是通过观测得到一些离散的数据点,这样的定积分也只能用数值方法近似计算.（牛顿-莱布尼兹公式）但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示,牛顿-莱布尼兹公式不能用.如第6章数值积分和数值微分6.1数值积分概述6.2牛顿-柯特斯公式6.3变步长求积和龙贝格算法6.4高斯型求积公式6.5数值微分6.1.2代数精度代数精度与节点数的关系6.1.3插值求积公式6.1.4

构造插值求积公式的步骤用待定系数法构造插值求积公式6.2牛顿-柯特斯求积公式6.2.1公式的导出6.2.2牛顿-柯特斯公式的代数精度6.2.3低阶求积公式的余项6.2.4复化求积法6.2牛顿-柯特斯求积公式

6.2.1

公式的导出2柯特斯系数的求取n

11/21/2

21/64/61/6

31/83/83/81/8

47/9016/452/1516/457/90

519/28825/9625/14425/14425/9619/288

641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840

7751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/17280

8989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/2835010496/28350-928/283505888/28350989/28350柯特斯求积系数表：例如：n=1时，有n=2时，有柯特斯系数的性质

(2)系数有对称性。

(3)当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。

(1)取f(x)≡1，则f(n+1)(x)≡0,Rn(f)≡0，于是梯形公式

当n=1时,有

相当于用直线P(x)代替f(x)计算积分。3常用的低阶牛顿-柯特斯公式抛物线(辛卜生)公式牛顿－柯特斯求积公式当n=2时有

相当于用过两个端点和中点的二次抛物线P(x)代替f(x)计算积分。辛卜生公式的几何意义

柯特斯公式牛顿－柯特斯求积公式当n=4时有

6.2.2

牛顿－柯特斯公式的代数精度当f(x)是1,x,x2,…,xm时，准确成立，但当f(x)=xm+1时，不准确成立，则称求积公式的代数精确度（简称代数精度）为m。复习定义求积公式（Ai与f(x)无关）

牛顿－柯特斯公式是把积分区间分成n等分，用n+1个节点构造的插值求积公式。因此，牛顿－柯特斯公式至少具有n

次代数精度，但当n为偶数时具有n+1次代数精度。

定理当n是偶数时，牛顿－柯特斯求积公式具有n+1次代数精确度。梯形公式，

n=1(2个节点）,有1次代数精度，应用梯形公式不是因为其代数精度高，而是因为其简单。辛卜生（抛物线）公式，n=2(3个节点）,有3次代数精度，柯氏公式，n=4(5个节点）,有5次代数精度。因为其代数精度高，所以常采用。当n=3(4个节点）,因为n=3不是偶数，只有3次代数精度，所以该公式不采用。

证

由于(x-a)(x-b)在[a,b]

中不变号，在[a,b]

中连续，根据广义积分中值定理，存在一点η∈[a,b]

,使6.2.3牛顿－柯特斯公式的余项梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项（误差估计）定理（梯形公式的余项）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的余项（误差)

对梯形公式余项的说明负号f(x)的2阶导数，有1次代数精度。3和区间的3次方成正比。例证梯形公式的代数精度为1。证明梯形公式是误差当f(x)=1,x

时，R1

(f)=0,梯形公式成为准确等式.当f(x)=x2

时，根据梯形公式，R1

(f)不为零。因此，梯形公式的代数精度为1。

定理（辛卜生公式的余项）设f(x)在[a,b]上具有连续的四阶导数，则辛卜生公式的余项定理（柯特斯公式的余项）设f(x)在[a,b]上具有连续的六阶导数，则柯特斯公式的余项

对辛卜生公式余项的说明负号f(x)的4阶导数，有3次代数精度。3和区间的5次方成正比。例证明辛卜生公式的代数精度为3。证明辛卜生公式是误差当f(x)=1,x,x2,x3

时，R2

(f)=0,辛卜生公式成为准确等式.当f(x)=x4

时，因此，辛卜生公式的代数精确度为3。≠0，辛卜生公式不能准确成立。

对科特斯公式余项的说明负号f(x)的6阶导数，有5次代数精度。3和区间的7次方成正比。

梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式在区间不大时，用来计算定积分是简单实用的。但当区间比较大时，由余项可以看出精度差（梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项分别和区间长度的3，5，7次方成正比），为减小因区间过大造成的误差过大，将积分区间等分成n

等份，对每等份（每个小区间）分别用低阶的牛顿－柯特斯公式（如梯形公式、辛卜生公式或柯特斯公式）求积，然后将其结果加起来，得到积分的近似值。6.2.4复化求积法

复化求积法的基本思想：为减小因区间过大而造成的误差过大，将积分区间等分成若干等份,每份成为一个子区间，然后对每个子区间用低阶的求积公式（如梯形公式、辛卜生公式或科特斯公式等）求积，再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，得到复化求积公式。

将积分区间等分成n个小区间，在每个小区间上分别用梯形求积公式求积，然后再将其结果加起来。设f(x)

在[a,b]上有连续的二阶导数，n是正整数.将[a,b]等分成n个小区间1复化梯形公式及其误差在

，上运用梯形公式然后对各子区间的积分值相加在[a,b]上的误差由于f″(x)连续，对连续函数在[a,b]上存在，有（平均值）梯形公式的误差已知为当f(x)在[a,b]有连续的2阶导数时，在子区间例

用n=6的复化梯形公式计算积分的近似值。解

44.24.44.64.855.21.827655

用n=6的复化梯形公式计算积分解

2复化辛卜生（抛物线）公式及其误差记子区间的中点为

则复化辛卜生（抛物线）求积公式当f(x)

在[a,b]上有连续的4阶导数时，在子区间辛卜生公式的误差为使绝对误差小于10–6。例

用复化辛卜生公式计算积分的近似值,解解不等式求得n=6。用n=6的复化抛物线公式计算积分，见上例。3复化柯特斯公式及其误差将子区间分成4等份，内分点依次为则复化柯特斯求积公式当f(x)在[a,b]有连续的6阶导数时，复化柯特斯公式的误差6.3变步长求积和龙贝格算法

复化求积公式能提高精度，但要给出步长，步长太大精度低，步长太小，计算量大。实际计算用变步长计算，在步长逐次二分过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求积分值满足精度要求为止。

将积分区间等分成n个子区间，则有n+1个分点对子区间再增加一个新节点，区间增加1倍，有对子区间运用梯形公式，有6.3.1变步长梯形法则

比较取（允许截断误差ε

）在步长逐次二分的过程中，校验上式，取满足精度的。若将区间再分半，为则有6.3.2

龙贝格（Romberg)求积法梯形法的加速梯形法计算简单，精度较低，收敛慢，当把区间分成n等份，用复化公式计算积分的近似值为，截断误差为当时，T2n即为所求的近似值。是T2n

的修正项，它与T2n

之和比T2n

、Tn更接近与真值，即它是一种补偿。取设f″(x)在

[a,b]连续且变化不大时，有f″(ξn)≈f″(ξ2n),可得近似式验后误差估计式下面说明将Tn,T2n的表达式代入，有2辛卜生法的加速当把区间分成n等份，用复化辛卜生公式计算积分的近似值为，截断误差为若将区间再分半，为则有设

连续且变化不大时，有

,可得近似式具有5次代数精度。3龙贝格公式（柯特斯法的加速）当把区间分成n等份，用复化柯特斯公式计算积分的近似值为，截断误差为若将区间再分半，为则有设连续且变化不大时，有,可得近似式具有7次代数精度。龙贝格积分法可以按下面表的顺序进行：

当对角线上最后两个相邻项满足时,可停止计算并取作为所求积分的近似值。例用龙贝格积分法计算积分

,使精确度达到10-4。解最后得到………6.4.2高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式

从定理可以看出，当给定，节点就确定了。本题的精确解,求积公式具有4为有效数字。6.5数值微分

两点公式第7章常微分方程初值问题的数值解法微分方程常微分方程一阶常微分方程定阶条件：初值问题数值解法：给定点a=x0<x1<…<xn=b,将初值问题离散化为差分方程,求出解函数(积分曲线)y(x)在这些点的近似值y1,y2,…,yn

。所求得的近似值y1,y2,…,yn称为微分方程数值解。第7章常微分方程初值问题的数值解法7.1欧拉法7.2龙格-库塔法7.3线性多步法7.4收敛性与稳定性7.5微分方程组和高阶微分方程7.1欧拉法和改进的欧拉法7.1.1

欧拉公式7.1.2局部截断误差和阶7.1.3隐式（后退）欧拉公式和两步欧拉公式7.1.4

梯形公式7.1.5

改进的欧拉法(预报-校正公式)7.1欧拉法

7.1.1欧拉公式3欧拉法数值微分推导用差商代替导数

设等距，步长

令x=xn,x+h=xn+1,

y(xn)≈yn

，y(xn+1)≈yn+1,初值问题离散化为初值问题(欧拉公式)

，

局部截断误差和阶：数值公式的精度定义局部截断误差：假设第n步是准确的，即y(xn

)=yn，将y(xn+1)-yn+1定义为数值方法的局部截断误差。由于实际上yn不是准确值，因此它的误差会传播下去。实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。定义若局部截断误差为O(hp+1),p为正整数，则称数值公式是p阶公式。

欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是1阶的。二阶泰勒公式

两式相减，由设yn=y(xn

)，有

欧拉公式的局部截断误差和阶7.1.3两步欧拉公式

1隐式（后退）欧拉公式2两步欧拉公式：中点方法

7.1.3梯形法对微分方程y′=f(x,y)两边求xn到x