清单10 等差数列、等比数列基本量（5个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）

清单10等差数列、等比数列基本量（5个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列．⑵等差中项：若三数成等差数列⑶通项公式：或⑷前项和公式：⑸常用性质：①若，则；②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；③数列（为常数）仍为等差数列；④若、是等差数列，则、（、是非零常数）、、，…也成等差数列．⑤单调性：的公差为，则：ⅰ）为递增数列；ⅱ）为递减数列；ⅲ）为常数列；⑥数列{}为等差数列（p，q是常数）⑦若等差数列的前项和，则、、…是等差数列．2、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）．反之不一定成立．⑶通项公式：⑷前项和公式：⑸常用性质①若，则；②为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；④若是等比数列，则是等比数列，公比依次是⑤单调性：为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列．⑦若等比数列的前项和，则、、…是等比数列．【考点精讲】考点1：等差数列及其性质1．（2023·重庆·高三统考期中）记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（

）A．0 B． C．1 D．22．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）数列，满足：，，，则数列的最大项是第（

）项．A．6 B．7 C．8 D．93．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知是等差数列的前n项和，且，则的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·甘肃临夏·高二校联考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．27 B．45 C．81 D．185．（2023·福建三明·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺6．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列中，，则公差（

）A．4 B．3 C． D．7．（2023·江苏盐城·高二校考期中）已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（）A． B． C． D．8．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（

）A．12 B．18 C．6 D．99．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设是等差数列的前项和，若，则（

）A．36 B．45 C．54 D．63考点2：等比数列及其性质10．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知数列满足，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．811．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．512．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）在等比数列中，，则（

）A．8 B．6 C．4 D．213．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（

）A． B． C．2 D．414．（2023·河南·高二河南大学附属中学校考期中）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（

）A．192 B．190 C．180 D．18215．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等比数列中，若，则（

）A． B．3 C．±3 D．16．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．17．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）已知等比数列中，，，则公比（

）A．2 B． C．4 D．考点3：等差等比数列的证明30．（2023·云南昆明·高二云南民族大学附属中学校考期中）数列满足.(1)求的值；(2)设，证明是等差数列.31．（2023·江苏盐城·高二校考期中）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.(1)证明：数列是等比数列；(2)若成立，求的最小值.32．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知非零数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知数列满足且．(1)若为等差数列，求其前项和；(2)若存在，使得对任意的，恒成立，证明是等差数列．34．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知满足，且.(1)求；(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.35．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)求；(2)证明：数列是等差数列，并求.36．（2023·北京海淀·高三统考期中）已知无穷等比数列的各项均为整数，其前项和为．(1)求的通项公式；(2)证明：对这三个数成等差数列．37．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列满足，，.(1)证明：数列为等比数列.(2)数列满足，求数列的前项和.38．（2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）在数列中，，，设.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.考点4：等差等比数列的交汇问题39．（2023·浙江杭州·高二校联考期中）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求证数列的前n项和．40．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.(1)求等差数列的通项公式；(2)若，，成等比数列，求数列的前10项和.41．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）设是公差不为0的等差数列，，成等比数列．(1)求的通项公式：(2)设，求数列的前项和．42．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．(1)求数列与数列的通项公式；(2)求数列的前项和．43．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得．(1)若，，求的值；(2)求证：数列是等差数列；(3)若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．44．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知等差数列和正项等比数列满足：，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求．45．（2023·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.(1)求与的通项公式；(2)设，求的前项和.46．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值.考点5：范围与最值问题18．（2023·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（

）A． B． C． D．19．（2023·重庆·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为．20．（2023·北京东城·高二东直门中学校考期中）已知等差数列满足，是数列的前n项和，则的最大值为．21．（2023·安徽合肥·高二统考期末）记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为．22．（2023·高二校考课时练习）已知等差数列的前n项和为，，，则取得最大值时n的值为.23．（2023·北京西城·高二统考期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：①可能为等差数列；②中最大的项为；③不存在最大值；④的最小值为36．其中所有正确结论的序号是．24．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为.25．（2023·浙江绍兴·高二统考竞赛）已知各项均为整数的等差数列，若，，，则的最小值是．26．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是.27．（2023·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为.28．（2023·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为.29．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，．47．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列中，.(1)求数列的通项；(2)若存在，使得成立，求实数的范围.48．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求对所有的正整数都有成立的的范围．49．（2023·江苏扬州·高二校考开学考试）已知数列的前项和为，数列满足1点在直线上.(1)求数列的通项和；(2)令，求数列的前项和；(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围.50．（2023·浙江·高二校联考期中）已知数列、满足，，，﹒(1)求证：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【提升练习】一、单选题1．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习）现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（

）A．33 B．34 C．36 D．373．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（

）A．10 B．11 C．12 D．134．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．5．（2023·上海闵行·高二校考期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个6．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知，，（，），为其前项和，则（

）A． B． C． D．7．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（

）A．为递增数列 B．C．是数列中的最大项 D．8．（2023·江西·高三开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏苏州·高二统考期中）下列命题中，正确的有（

）A．数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B．数列的通项为，若为单调递增数列，则C．等比数列中，，是方程的两根，则D．等差数列，的前项和分别为，，若，则10．（2023·江苏南通·高二海安高级中学校考期中）已知数列的前n项和为，则以下命题正确的有（

）．A．若数列为等差数列，则为等比数列B．若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列C．若数列为等比数列，则恒成立D．若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到11．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）设数列满足：，，则下列说法中，正确的有（

）A．是递增数列 B．是等差数列C． D．当时，12．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（

）A．是等差数列B．成等差数列，公差为C．当或时，取得最大值D．时，n的最大值为33三、填空题13．（2023·湖南株洲·高二校考阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则.14．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第项．15．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考期中）已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为.16．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则．四、解答题17．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，