考点巩固卷05 指对幂函数（十一大考点）（解析版）

考点巩固卷05指对幂函数（十一大考点）考点01：指数幂的运算1．（多选）下列判断正确的有（

）A． B．（其中）C． D．（其中，）【答案】BCD【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.【详解】对于选项A，，A错误；对于选项B，因为，所以，B正确；对于选项C，，C正确；对于选项D，因为，，所以，D正确；故选：BCD.2．（1）_________；_________．（2）_________；_________．【答案】6【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】（1）；.（2）；.故答案为：；6；；3．计算：(1)；(2)已知：，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；（2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值.【详解】（1）解：原式.（2）解：因为，则，所以，，所以，，可得，，因此，.4．（1）计算：；（2）化简：．【答案】；【分析】（1）根据分数指数的运算性质直接求解即可；（2）将根式化为分数指数幂，然后根据分数指数的运算性质化简即可.【详解】（1）；（2）.5．（

）A． B．C． D．当为奇数时，；当为偶数时，【答案】D【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解.【详解】当为奇数时，；当为偶数时，.故选：D考点02：对数的运算6．（2023·天津河西·统考三模）已知，，则（

）A． B． C．25 D．5【答案】A【分析】由指对互换，表示出，代入原式即可.【详解】由，.故选：A.7．求下列各式的值．(1)．(2)已知，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】根据对数运算规则以及换底公式计算即可.【详解】（1）；（2）..8．（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据对数的运算逐项分析判断.【详解】对A：，A正确；对B：，B错误；对C：，C正确；对D：，D正确.故选：ACD.9．求值：(1)；(2)的值．【答案】(1)(2)6【分析】根据对数的概念及运算性质求解.【详解】（1）由题意可得.（2）由题意可得：，因为，所以.10．（多选）下列运算正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据对数的运算性质可判断A，C；根据根式和分数指数幂的运算判断B；根据指数式和对数式的互化以及对数运算可判断D.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，若，则，故，C正确；对于D，若，则，则，D正确，故选：BCD考点03：指对幂函数的定义11．幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为_________．【答案】或【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值.【详解】是幂函数，也是偶函数，且在上为增函数，且为偶数，解得或，当时，，当时，.故答案为：或12．函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是_________．【答案】①⑤【分析】根据指数函数的定义及解析式逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】因为指数函数为且，故①⑤正确；由幂函数定义知，是幂函数，故②不正确；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；对于⑧，当时，，不是指数函数.故答案为：①⑤.13．已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________．【答案】【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.【详解】由幂函数知，得或.当时，图象与坐标轴有交点，当时，与坐标轴无交点，∴.故答案为:14．若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，则a=________.【答案】2【分析】根据对数函数的定义知a2+a-5=1且，，求解即可.【详解】因为函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，、所以a2+a-5=1得或a=2又a>0且a≠1，所以a=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了对数函数的概念，属于容易题.15．已知对数函数的图像过点，则_________．【答案】3【分析】首先求出对数函数表达式，再代入求值即可.【详解】由题意可知，设，因为在图像上，则，解得，则，则.故答案为：16．已知幂函数的图象过点和，则实数m＝______.【答案】2【分析】由幂函数的定义可设，代入运算即可得解.【详解】由题意，设，因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以.又幂函数的图象经过点，所以.故答案为：.考点04：定义域和值域17．下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D．18．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是______．【答案】．【分析】分别求出和时的取值范围，然后由值域可得集合的关系，从而得参数范围．【详解】时，且，即，因此时，的取值范围应包含，又时，，所以．故答案为：．19．已知函数，，则其值域为_______．【答案】【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.【详解】令，∵，∴，∴，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.20．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据被开方数大于等于零，分母不等于零列不等式组求解结果.【详解】由已知可得，解得，当时，解得不等式组，所以函数的定义域为.故选：A.21．函数的值域是__________．【答案】【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可【详解】令，则，因为，所以的值域为，因为在是减函数，所以，所以的值域为，故答案为：22．（多选）已知函数,下列说法正确的是(

)A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则【答案】BCD【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可.【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立,当时,恒成立,满足题意,当时,则有,解得,所以实数的取值范围为,故选项A错误；对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数，当时,,不满足题意，当时,则有,解得，所以若值域为R,则,故选项B正确；对于C，若函数最小值为0,则有最小值1，由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确;对于D，若函数最大值为2,则有最大值4,由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确.故选:BCD.考点05：图象的问题23．已知，且，则函数与的图象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质结合条件分析即得.【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1；当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选：C．24．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的图象，求得参数范围；再根据幂函数的图象，即可容易判断.【详解】由的图象可知，，所以，得，，所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.故选：B.【点睛】本题考查由对数函数的图象求参数范围，涉及幂函数图象的应用，属综合基础题.25．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】在第一象限，对数函数图象越接近轴底数越大，进而可得答案．【详解】解：由已知中曲线是对数函数的图象，由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，故选：．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，数形结合思想，对数函数的图象和性质，属于基础题．26．若的图像如图，（，是常数），则（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据指数函数的性质得到，，即可求出的取值范围.【详解】由图可知函数在定义域上单调递减，所以，则，所以在定义域上单调递增，又，即，所以.故选：D27．如图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，，，与的大小关系是__________【答案】【分析】作直线，由图可知，，，与的大小关系.【详解】作直线，由图可得，即.故答案为：.28．给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C考点06：定点问题29．（多选）下列函数的图象过定点的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】在每个选项中令，计算函数值，即可判断答案.【详解】根据题意，在每个选项中令，选项A中，，故函数图象过点，A正确.选项B中，，故函数图象不过定点，B错误.选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误.选项D中，，故函数图象过点，D正确.故选：AD.30．已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】令便可得到函数图象恒过点，将点代入幂函数中，解得的解析式，然后计算的值.【详解】函数中，令，解得，此时，所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得，所以，.故选：B.31．已知函数（且）的图像过定点，且角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】解：由题意在中，且，当时，，∴过定点，∵角的终边过点∴由三角函数的定义可得，，，∴，故选：A32．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．【答案】/【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解.【详解】令，可得，此时，所以函数图象恒过定点，因为点A在直线上，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.综上，的最小值为.故答案为：.考点07：比较大小33．设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得，，进而根据指数函数以及对数函数的性质，即可得出答案.【详解】因为，，所以，.故选：A.34．（23·广东佛山·校联考模拟预测）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别由指数、对数、幂函数的性质可得，，，即可得出答案.【详解】由题知，，，，所以.故选：A.35．（23·河北·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指、对数函数的性质，得出，再利用对数的运算性质，得出，从而得出结果.【详解】易知，，，而，故，又因为，，故，即，所以，故选：D.36．（23·湖南·校联考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.37．（23春·广西·高二校联考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明当，时，有.进而根据对数的运算性质以及换底公式，即可得出答案.【详解】当，时，有，则，所以.所以，所以，即．故选：B.38．（23·重庆·高二统考学业考试）已知，，，则（）A． B． C．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将，，与和进行比较即可.【详解】由已知，∵指数函数在上单调递增，且值域为，∴，∴，即又∵对数函数在区间单调递减，∴，即，即.综上所述，，，的大小关系为.故选：B.考点08：解不等式39．函数，，则的定义域是_________．【答案】【分析】由即可求解.【详解】的定义域需要满足，解得，故的定义域为，故答案为：40．已知，，，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】先根据求出，分，，三种情况，结合求出实数a的取值范围，利用来验证，最终求出答案.【详解】，而单调递减，故，若，由可得，故，此时，满足要求，若，此时，不合要求，若，由可得，故，此时，不合要求.故答案为：41．已知集合，，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数和指数函数的性质分别解得集合，再由交集定义写出.【详解】解，得，所以，解，得，所以,所以.故选：C.42．解关于的不等式．【答案】【分析】转化为，再解不等式可得答案.【详解】由得，即，解得或，可得或.所以不等式的解集为.43．不等式的解集为：_________．【答案】【分析】不等式变形为，即，构造函数，判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】不等式变形为，所以，令，则有，因为函数在R上单调递增，所以在R上单调递增，则，解得，故不等式的解集为．故答案为：.44．已知，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出的范围.【详解】，根据指数函数在上单调递减得，，根据幂函数在上单调递增知，则，，根据对数函数在上单调递减得，综上.故选：D.考点09：已知单调性求参数45．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将函数在区间上单调递增，转化为且在区间上恒成立可求解.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以且在区间上恒成立，所以，解得或.故选：B46．已知在上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求．【详解】若函数在上是单调减函数，则，解得，即，故答案为：．47．若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是__________.【答案】【分析】根据函数的单调性结合对数函数的定义域可直接列式求解.【详解】令，则在上单调递增，若在上是减函数，则在上是减函数且恒大于0，从而有，解得.故答案为：.48．函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a的取值区间结合选项可得答案.【详解】函数在均单调递减可得即；函数在均单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，由题可得所求区间真包含于，结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C故选：C49．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.50．已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.【答案】或【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可.【详解】复合函数可以看做，，当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得；当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得；综上所述，或.故答案为：或.考点10：函数的实际应用51．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【分析】由，得污染物含量的初始值为，根据得，得，代入，即可求出答案.【详解】当时，；当时，，即，得，所以；当时，.故选：C52．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（

）（参考数据：，）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】B【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．【详解】把，代入，可得，，当时，，则，两边取对数得，解得．故选：B.53．测量地震级别的里氏是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数值．显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是级，旧金山1906年地震是级，问日本1923年地震强度是级的_________倍．【答案】4【分析】设地震强度为x，则地震级别为，由此可结合对数的运算求得答案.【详解】设地震强度为x，则地震级别为，由题意可令，则，由于，故，即日本1923年地震强度是级的4倍，故答案为：454．某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示.则下列结论：①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.

其中正确结论的序号是_____．【答案】②④【分析】由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【详解】由已知可得，则.对于①，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），①错；对于②，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，②对；对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；对于④，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、，则，，，所以，，所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④对.故答案为：②④.55．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（

）（参考数据：，）A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟【答案】C【分析】根据生活常识，选择模型③较为合适，根据题意求出、的值，然后解不等式，解此不等式即可得解.【详解】根据生活常识，茶温一般不低于室温，若选择模型①或模型②，茶温在一定时间后会低于室温，不合乎题意，故选择模型③较为合适，则，解得，此时，由可得.故选：C.56．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合