第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元重点综合测试）（解析版）

一元二次函数、方程和不等式（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先化简集合A，再根据补集的运算得到，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为，，所以或，所以.故选：D.2．若且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用不等式的性质即可判断.【详解】对于A，令，则，但，故A错误；对于B，令，则，但，故B错误；对于C，令，则，故C错误；对于D，因为，则，即，又，所以，故D正确.故选：D.3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】根据题意知、为方程的解且，根据韦达定理得，进一步化简可得，再解不等式即可.【详解】解：因为不等式的解集为，所以、为方程的解且，所以，解得：，所以即为所以解不等式得，即不等式的解集为.故选：C4．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】，利用做乘法，借助基本不等式求最值,.选C.5．关于x的不等式解集为，且，则实数（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】依题意可得、为方程的解，根据根与系数的关系，得到关于的方程解得即可，【详解】解：的解集为，为方程的解，，，又，，，，根据不等式的解集为，又，可得且故二次函数的对称轴在轴左侧，即，.故选：B．6．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8【答案】D【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.【详解】不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（

）（注：1里＝300步）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】C【分析】设步，步，由相似形得出的关系，然后由基本不等式求得小城周长的最小值．【详解】如图，设步，步，由得，所以，（步）所以小城周长为（步）＝（里），当且仅当，即时取等号，故选：C．8．是不同时为0的实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同，不妨设均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。9．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；B.由可知，，由不等式性质可得，结论正确；C.由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；D.取，满足条件，显然不成立，结论错误.故选：BC.10．公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段为直径作半圆，，垂足为，以的中点为圆心，为半径再作半圆，过作，交半圆于，连接，设，，则下列不等式一定正确的是（）．A． B．C． D．【答案】AD【解析】先结合图象，利用垂直关系和相似关系得到大圆半径，小圆半径，，，，再通过线段大小判断选项正误即可.【详解】因为是圆O的直径，则，因为，则，所以，故，易有，故，即，大圆半径，小圆半径，，，故，同理.选项A中，，显然当时是钝角，在上可截取，故，即大圆半径，故，正确；选项B中，当时，大圆半径，有，故错误；选项C中，中，，故，故错误；选项D中，大圆半径，小圆半径，则，而，故，故正确.故选：AD.【点睛】本题解题关键在于将选项中出现的数式均与图中线段长度对应相等，才能通过线段的长短比较反馈到数式的大小关系，突破难点.11．已知不等式的解集为或，其中，则下列选项正确的是（

）A． B．不等式的解集为或C． D．不等式的解集为或【答案】AB【分析】对于A，由不等式的解集进行判断，对于BD，由韦达定理，然后结合一元二次不等式的解法进行判断，对于C，由不等式的解集结合根与系数的关系判断.【详解】不等式的解集为或，所以，，所以A正确，所以，由解集形式可知，由于，所以，所以，所以C不正确，由，得，因为，所以，即，因为，所以，所以不等式的解集为或，所以B正确，D错误，故答案为：AB12．设正数满足，则（

）A． B． C． D．的最大值为【答案】AC【分析】根据已知等式，变形处理各选项的式子，结合基本不等式分别求解最值即可.【详解】解：对于A，，，即又，∴，可得，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，又，则，当且仅当时，等号成立，故B不正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，即，故C正确；对于D，，又，当且仅当，即时等号成立，又，所以，所以，则取等条件成立，所以，故D不正确.故选：AC.三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。13．已知，，则6x＋5y的取值范围为．【答案】【分析】由结合不等式的性质得出答案.【详解】解：，即故6x＋5y的取值范围为．故答案为：14．若．则P，Q的大小关系（用“”，“”，“”连接两者的大小关系）【答案】【分析】通过平方的方法来判断的大小关系.【详解】依题意可知，所以，所以.故答案为：15．若且满足，则的最小值是．【答案】/【分析】由变形为；化应用基本不等式可求最小值．【详解】因为满足所以，则所以当且仅当，即时取“”，解得,所以的最小值为；故答案为：．16．已知且，则的最小值为.【答案】【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．【详解】解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：.四、综合题：共6题，共计70分。17．（本题满分10分）解关于x的不等式.【答案】答案见解析【分析】对不等式变形为，然后对进行合理分类讨论即可.【详解】原不等式变为，①当时，原不等式可化为，所以当时，解得；当时，解集为；当时，解得②当时，原不等式等价于，即.③当时，，原不等式可化为，解得或.综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.18．（本题满分12分）已知不等式的解集为条件，关于的不等式（）的解集为条件．(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若的充分不必要条件是，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件解不等式得，条件解不等式得，根据是的充分不必要条件，可得，再根据包含关系可得答案；（2）根据的充分不必要条件是，则，解不等式组可得答案.【详解】（1）条件由，可得，解得，记；条件由，可得，因为，所以，所以，记，若是的充分不必要条件，则，可得，解得，所以实数的取值范围是.（2）若的充分不必要条件是，则，可得，解得，又，所以实数的取值范围是.19．（本题满分12分）若，,（1）求证：；（2）求证：；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.【分析】（1）根据的符号去绝对值可证不等式成立；（2）根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立；（3）在的两边同时乘以，得，在的两边同时乘以，得，所以.【详解】（1）因为，且，所以，所以.（2）因为，所以．又因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．所以，因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.（3）因为，，所以，因为，，所以，所以.所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意.【点睛】本题考查了利用不等式的性质证明不等式成立，属于中档题.20．（本题满分12分）如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.(1)求的值；(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.【答案】(1)1(2)(3)最大值为分米，此时.【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出；（2）利用基本不等式求出的最小值即可；（3）利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，则，所以，则，整理可得；（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，剩下木板的面积最大；（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，则，当且仅当，即时等号成立，故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.21．（本题满分12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本)【答案】(1)20元(2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价.（2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价.【详解】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶，所以提价少月销售