高考物理一轮复习导学案圆周运动专题（二）竖直平面内的圆周运动及其临界问题

竖直平面内的圆周运动及其临界问题竖直面内的圆周运动规律总结1．拱形桥和凹形桥模型特点概述如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝meq\f(v2,r)规律桥对车的支持力FN＝mg＋meq\f(v2,r)＞mg，汽车处于超重状态概述如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝meq\f(v2,r)规律桥对车的支持力FN＝mg－meq\f(v2,r)＜mg，汽车处于失重状态．若v＝eq\r(gr)，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动1．两类模型对比轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示受力示意图F弹向下或等于零F弹向下、等于零或向上力学方程mg＋F弹＝meq\f(v2,R)mg±F弹＝meq\f(v2,R)临界特征F弹＝0mg＝meq\f(vmin2,R)即vmin＝eq\r(gR)v＝0即F向＝0F弹＝mg讨论分析(1)最高点，若v≥eq\r(gR)，F弹＋mg＝meq\f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹(2)若v<eq\r(gR)，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心(2)当0<v<eq\r(gR)时，mg－F弹＝meq\f(v2,R)，F弹背离圆心并随v的增大而减小(3)当v＝eq\r(gR)时，F弹＝0(4)当v>eq\r(gR)时，mg＋F弹＝meq\f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大3．解题技巧(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．二、针对练习1、如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半圆轨道固定于地面，一个小球先后在与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始下滑，通过轨道最低点时()A．A球对轨道的压力小于B球对轨道的压力B．A球对轨道的压力等于B球对轨道的压力C．A球的角速度小于B球的角速度D．A球的向心加速度小于B球的向心加速度2、一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为()A．3∶1B．3∶2C．1∶3 D．1∶23、如图，在一固定在水平地面上A点的半径为R的球体顶端放一质量为m的物块，现给物块一水平初速度v0，则()A．若v0＝eq\r(gR)，则物块落地点距离A点为eq\r(2)RB．若球面是粗糙的，当v0<eq\r(gR)时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面C．若v0<eq\r(gR)，则物块落地点离A点为RD．若v0≥eq\r(gR)，则物块落地点离A点至少为2R4、（多选）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则（）A．当地的重力加速度为B．轻质绳长为C．当时，轻质绳的拉力大小为D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为5、如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g)()A．2mgB．3mgC．4mgD．5mg6、（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(g（R＋r）)B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力7、如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是()A．数据a与小球的质量有关B．数据b与圆周轨道半径有关C．比值eq\f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径8、如图所示，质量为4kg、半径为0.5m的光滑管状细圆环用轻杆固定在竖直平面内，A、B两小球的直径略小于管的内径，它们的质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg。某时刻，A、B两球分别位于圆环最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3m/s，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56N。则B球的速度大小vB为（取g＝10m/s2）（）

A．2m/s B．4m/sC．6m/s D．8m/s9、如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时()A．球B的速度为零B．球A的速度大小为eq\r(2gL)C．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD．水平转轴对杆的作用力为2.5mg10、（多选）如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F­v2图象如图乙所示，g取10m/s2，则()A．小球的质量为4kgB．固定圆环的半径R为0.8mC．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受圆环的弹力大小为20N，方向向上D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100N11、如图所示为固定在竖直面内的半圆形轨道滑雪场，通过滑雪运动员的控制可以从半圆形场地的坡顶匀速率下滑到坡的最低点，则在运动员下滑的过程中，轨道对运动员的作用力（

）A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小12、如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则()小球在管顶部时速度大小一定为eq\r(2gR)B．小球运动到管底部时速度大小可能为eq\r(2gR)C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mgD．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg13、质量为的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为，若物块与球壳之间的动摩擦因数为,则物块在最低点时，下列说法正确的是（）A．向心力大小为B．受到的摩擦力大小为C．受到的摩擦力大小为D．受到的合力方向斜向左上方14、如图所示，轻杆一端固定有质量为的小球，另一端安装在水平转轴上，转轴到小球的距离为1m，转轴固定在带电动机（电动机没画出来）的三角形支架上（支架放在水平地面上且始终保持静止），在电动机作用下，小球在竖直面内做匀速圆周运动。若小球的转速为n且运动到最高点时，杆受到小球的压力为2N（重力加速度g取），则（

）A．小球运动时需要的向心力大小为22NB．小球运动的线速度大小为2m/sC．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力大小为18ND．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点15、（多选）如图所示，有一半圆形曲面固定于地面上。一质量为m的小球（可视为质点）静止于曲面最高位置A点，由于受到轻微扰动，小球由静止沿曲面向右侧滑动，控制小球与曲面之间的摩擦因数，使其运动至曲面上B点时恰好脱离曲面，最终落在水平地面上C点（未画出）。已知曲面半径大小为5m，AO与OB之间夹角为60°，g=10m/s2。则（）A．小球运动至B点速度大小为5m/sB．小球运动至B点速度大小为C．小球运动至C点速度大小为D．小球落地位置C点到圆心O点之间的水平距离为16、如图所示，半径为R的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内。某时刻，质量为1kg、直径略小于细圆管内径的小球A（可视为质点）从细管最高点静止释放，当小球A和细圆管轨道圆心连线与竖直方向夹角为37°时，小球对轨道的压力大小为（）（）A．38N B．40N C．42N D．44N17、如图所示,在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道,外圆光滑,内圆的上半部分粗糙,下半部分光滑.一质量0.2kg的小球从轨道的最低点处以初速度向右运动,球的直径略小于两圆间距,球运动的轨道半径0.2m,.(1)若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动,初速度至少为多少?(2)若,经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球支持2N,则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少?(3)若,经过足够长的时间后,小球经过最低点时受到的支持力为多少?小球在整个运动过程中减少的机械能是多少?

(保留3位有效数字)答案1.B【解析】下滑过程中由于只有重力做功，所以机械能守恒，设圆轨道半径为R，在最低点时mgR＝eq\f(1,2)mv2，N－mg＝meq\f(v2,R)，联立解得N＝meq\f(v2,R)＋mg＝3mg，即与半径无关，故A错误，B正确；由于在最低点v＝eq\r(2gR)，根据公式ω＝eq\f(v,R)可得ω＝eq\r(\f(2g,R))，故半径越大，角速度越小，故C错误；根据a＝eq\f(v2,R)可得a＝2g，故与半径无关，两种情况下的向心加速度相同，D错误．2.C.【解析】：汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝F′N1①所以由牛顿第二定律可得mg－F′N1＝eq\f(mv2,R)②同样，如图乙所示，F′N2＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F′N2－mg＝eq\f(mv2,R)③由题意可知FN1＝eq\f(1,2)mg④，由①②③④式得FN2＝eq\f(3,2)mg，所以FN1∶FN2＝1∶3.3.D.【解析】：若v0≥eq\r(gR)，物块将离开球面做平抛运动，由y＝2R＝eq\f(gt2,2)、x＝v0t，得x≥2R，A错误，D正确；若v0<eq\r(gR)，物块将沿球面下滑，若摩擦力足够大，则物块可能下滑一段后停在球面上某位置，若摩擦力较小，物块将在球心上方球面上某处离开，向下做斜抛运动，落地点到A点距离大于R，B、C错误．4.BD【详解】AB．设绳长为L，小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律得，解得绳子上的拉力由图像可得斜率解得，故A错误，B正确；C．当时，由图像和拉力表达式得轻质绳的拉力大小为故C错误；D．当时，轻质绳的拉力大小为当时当小球运动到最低点时速度为，根据动能定理可知最低点，根据牛顿第二定律得解得，故D正确。故选BD。5.C【解析】小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝eq\f(mvB2,1.8R)，小球在轨道1上经过其最高点A时，有FN＋mg＝eq\f(mvA2,R)，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝eq\f(1,2)mvA2－eq\f(1,2)mvB2，解得FN＝4mg，结合牛顿第三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为4mg，C正确．6.BC【解析】：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球在水平线ab以上管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故D错误．7.D【解析】在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝meq\f(v2,R)，可得图线的函数表达式为FT＝meq\f(v2,R)－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝meq\f(a,R)－mg，得g＝eq\f(a,R)，则a＝gR，A错误；图线过点(2a，b)，则b＝meq\f(2a,R)－mg，可得b＝mg，B错误；eq\f(b,a)＝eq\f(m,R)，C错误；由b＝mg得m＝eq\f(b,g)，由a＝gR得R＝eq\f(a,g)，则D正确。8.C【详解】对A球，合力提供向心力，设环对A球的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28N由牛顿第三定律可得，A球对环的力向下，大小为28N。设B球对环的力为FB′，由环的受力平衡可得FB′＋28N＋m环g＝－56N解得FB′＝－124N负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B球的力FB为124N、方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有解得vB＝6m/s故选C。9.C【解析】球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg＝meq\f(v\o\al(B2,),2L)，解得vB＝eq\r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(v\o\al(A2,),L)，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确，D错误．10.BD【解析】对小球在最高点进行受力分析，速率为0时，F－mg＝0，结合图象可知：20N－m·10m/s2＝0，解得小球质量m＝2kg，选项A错误；当F＝0时，由重力提供向心力可得mg＝eq\f(mv2,R)，结合图象可知mg＝eq\f(8（m/s）2·m,R)，解得固定圆环半径R为0.8m，选项B正确；小球在最高点的速度为4m/s时，设小球受圆环的弹力方向向下，由牛顿第二定律得F＋mg＝meq\f(v2,R)，代入数据解得F＝20N，方向竖直向下，所以选项C错误；小球经过最低点时，其受弹力最大，由牛顿第二定律得F－mg＝meq\f(v2,R)，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝eq\f(1,2)mv2，由以上两式得F＝5mg，代入数据得F＝100N，选项D正确．11.A【详解】运动员从半圆形场地的坡顶匀速率下滑到坡的最低点，运动员做匀速圆周运动，故运动员要受重力，支持力和摩擦力，运动员的向心加速度为可知a不变，设支持力与竖直方向夹角为，则；轨道对运动员的作用力为N和f的合力，则所以下滑过程中，由于夹角减小，则增大，且a不变，所以轨道对运动员的作用力一直增大，故A正确，BCD错误。故选A。12.C【解析】小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力。如果小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(2gR)，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1