2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级下册期中模拟测试（B）数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年安徽省马鞍山市高二下册期中模拟测试(B)数学

模拟试题

一、单选题

1.在等比数列｛““｝中，。2=1，%=27,则().

11

A3

-3-D.3-

【正确答案】B

【分析】根据题意，求得等比数列的首项％和4,进而求得64的值.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,

因为的=1,%=27,可得I，］2?，解得《=g，q=3，

所以q4=aW=(g)2x35=3.

故选：B.

2.函数”》)=/+2好⑴，则1(0)等于()

A.1B.2C.3D.-4

【正确答案】D

【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则求出/'(x),令x=l,求出了'(1),再令x

=0即可求出/'(0).

【详解】•••/(司=/+2矿(1),

.•.r(x)=2x+2/，(l),

⑴=2+2/'。)，⑴=-2,

.•仆)=2x-4,.•/(())=-4,

故选：D.

3.的展开式中常数项是()

A.-84B.84C.-126D.126

【正确答案】A

【分析】写出展开式通项，令X的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】的展开式通项为九=C：.（-lfx9-3*^=0,1,2,-；9）,

令9-3k=0,可得*=3,

所以，展开式通项为C〉（-1）3=-84.

故选：A.

4.从0,2中选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数

的个数为

A.24B.18C.12D.6

【正确答案】B

【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇.如

果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3种选择），之后十位（2种选择），最后百位

（2种选择），共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位（3种情况），十位（2种情

况），百位（不能是0，一种情况），共6种，因此总共12+6=18种情况.

5.设等差数列｛叫、圾｝的前〃项和分别是%T„,若>券:，则去=（）

17「11-33-12

A.—B.—C.—D.—

20204017

【正确答案】C

【分析】方法1，利用等差数列前〃项和公式将上,和善比较确定〃的值，即得答案；

方法2,利用等差数列的性质结合前〃项和公式将詈化为变，即得答案.

区方

【详解】方法1：因为等差数列｛勺｝,｛"｝的前〃项和分别是5,,T„,

“（"I）』（〃T）j

na.+—-------da,+-------d

因为〉।2।2

Jn（〃一1）

nb}+-^——1dA+——

22

〜a,。[+5dS33

所以」■=」----="n=一

b64+5dT1]40

故选：C

方法2：因为等差数列｛《,｝,｛4｝的前〃项和分别是S“，T„.

q+%”(q+“u)

所以"=_2_=__i——=&=召一生

b„K+b“11色+如)433+740

2—F

故选：C.

【正确答案】B

【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.

【详解】因为、=〃"=无詈

所以〃_x)=r-sm(r)=-x+sinx

e+exex+e-x

得〃x)=-/(-x),

所以"矢著为奇函数,

排除C；

在［0,+oo),设g(x)=x-sinx,g,(x)=l-cosx>0,g(x)单调递增，因止匕g(x)*g(0)=0,

故厂十20在［0,+8）上恒成立

排除A、D,

故选：B.

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势：

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7.如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八

面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x.若设事件/="x为奇数”，事件8="x

为偶数“，事件C="x为3的倍数“，事件。=“x43”，其中是相互独立事件的是()

A.事件A与事件5B.事件8与事件C

C.事件A与事件。D.事件C与事件。

【正确答案】B

【分析】分别写出A,B,C,D包含的样本空间，根据相互独立事件满足的乘法公式，

即可判断.

【详解】由题意可得/={1，3,5,7},5={2,4,6,8},C={3,6},£>={1,2,3),

/8=0,8C={6},4)={1,3},CZ)={3},

由古典概型概率公式可得：

P(/)=]P(8)=；，P(C)=：，P(O)=(，P(/8)=0，P(8C)=1，PGW)=：,P(8)=!

所以尸P(BC)=P(5)P(C),P(/LD)*P(/)P(O),P(CD)*P(C)P(£>),

故ACD错误，B正确.

故选：B

8.己知定义在R上的函数“X)满足/”)>-2,则不等式〃2x)-〃x-l)>-2x-2的解集

为()

A.(-oo,-l)B.(-1,0)C.(0,1)D.(-1,+8)

【正确答案】D

【分析】根据已知构造函数g(x)=/(x)+2x,得出g'(x)=/'(x)+2,进而得出g(x)的单调

性，再结合不等式将不等式转化为g(2x)>g(x-l),再利用单调性即可求解.

【详解】设g(x)=/(x)+2x,则g'(x)=r(x)+2.

因为定义在R上的函数/(x)满足/"(x)>-2,所以g'(x)=/'(x)+2>0,

所以函数g(x)在R上单调递增.

又不等式〃2x)-/(x-l)>-2x-2可化为/(2x)+4x>/(x-l)+2(x-l),

即g(2x)>g(x-l),所以2x>x-l,解得x>-l.

所以不等式/(2x)-/(x-l)>-2x-2的解集为(-1,+8).

故选：D.

二、多选题

9.已知等差数列｛%｝的前N项和为s“，满足《+生+/=21,S$=25,下列说法正确的是

()

A.aa=2〃+3B.5„=-n2+10H

C.｛S,,｝的最大值为&D.［」一］的前10项和为-《

",+J99

【正确答案】BCD

【分析】先根据题干条件算出等差数列｛对｝的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.

【详解】根据等差中项，％+出+%=21=3%,解得4=7,

&=25=%+。2+。3+4+。5=%+&+。5)(+。4户5。3,解得%=5,设等差数列｛4"｝的

公差为d,则d=。3-。2=-2,于是等差数列的通项公式为：an=a2+(n-2)d=\\-2n,故

A选项错误；

根据等差数列前n项和公式，5„=曲土％2=避±1二也=_/+10〃，B选项正确；

22

根据B选项可知，5„=-M2+I0H=-(«-5)2+25<25,最大值在〃=5取得，故C选项正确;

，____1_______1____LfJ，故」一的前10项和为:

a„a„+i(ll-2n)(9-2n)(2n-11)(2»-9)22"一”

故选：BCD

10.A,B,C,D,E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）

A.若4,8不相邻，有72种排法B.若4在正中间，有24种排法

C.若/在8左边，有24种排法D.若48相邻，有24种排法

【正确答案】AB

【分析】A.利用插空法求得选项A正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项B正确：C.

利用缩倍法求得选项C不正确；D.利用捆绑法求得选项D不正确.

【详解】A.若48不相邻，利用插空法得共有A；・A；=72种方法，故A正确;

B.若“站在最中间，有A；A；=24种方法，故B正确;

2

C.若，在5左边，利用缩倍法共有意=6。种方法，故c不正确;

D.若/、8两人相邻站在一起，利用捆绑法共有A：A；=48,故D不正确.

故选：AB

2

11.已知（2x-5）"=《＞+4（x-2）+a-,（x-2）+a3（x-2），+…+%（x-2）“，则下列结论成立的

是（）

A.4-+a2+L+。9=1B.%=672

C.-。[+。2-。3+,,,-。9=3。D.Q[+2%+3%+…+9%=18

【正确答案】ABD

【分析】变换得到（2X-5）9=[-1+2（X—2）],令X=3,可得A正确，/=8C；=672,B正

确，令x=l,计算C错误，两边同时求导，令x=3,得到D正确，得到答案.

【详解】（2》-5）9=[-1+2s-2）了=.0+%仅-2）9291）+.，，99上"^），

展开式的通项为（7=G（—l）9f[2（x—5）1=G（―k—5）,

对选项A：令x=3,可得为+q+%+…+为=（2x3-5）9=1,正确：

对选项B：7；=8《（工一2）3,所以％=8《=672,正确;

对选项C：令％=1,可得4-q+。2----^9=-39,错误；

9239

对选项D：(2x-5)=tz0+(x-2)+a2(x-2)+a3(x-2)+•••+a9(x-2),两边同时求导，

2

得18(2x-5『=a}+2a,(x-2)+34(x-+••+9或x-3',令x=3,

q+24+3%+•••+9旬=18,正确.

故选：ABD

12.已如函数〃x)吟，则以下结论正确的是()

A.函数y=/(x)存在极大值和极小值

B./(e-2)</■⑴</(111万)

C.函数、=/(力只有1个零点

D.对于任意实数化方程/(》)=质最多有4个实数解

【正确答案】BCD

v-2

【分析】利用导数求出单调性，结合极值、零点的概念可判断ABC,转化为h(x)=g,y=k

交点问题，数形结合判断D.

【详解】由/(x)=m可得/'(x)=与4=空』，

eAevev

由/(x)>0可得：x<3,由/'(力<0可得：x>3,

所以/(x)在(-8,3)单调递增，在(3,+8)单调递减，故函数在x=3时有极大值，无极小值,

故选项A不正确；

对于选项B：“X)在(-8,3)单调递增，因为0<e一2<l<ln兀<3,所以

2

/(e-)</(l)</(lnJt),故B正确；

因为/(0)=0,/(x)在(-8,3)单调递增，故函数在(-8,3)上有且只有一个零点，当

x€(3,+o>)时，〃x)=W>0无零点，所以函数y=/(x)只有1个零点，故C正确：

eA

丫32

对于选项D：方程〃x)=去即一=履，有一根为x=0,令=则

ee

//(x)=x(2x),令%)=中7)>0可得0<x<2,

令〃3=工厂）<0可得3<0或\>2,

24

所以/?（力=♦v在（-%0）和（2,+8）单调递减，在（0,2）单调递增，且〃（2）=三，/7（0）=0,

ee

作/,（》）=：,y=%的图形如图所示：

I1

八1

4

所以存在0<%<之时，方程兰=区有3个实数解，此时方程〃力=去有4个实数解，故D

e-ex

正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.设随机变量g的分布列为尸（孑=/）=。｛£|,（/=1,2,3）,则a的值为

【正确答案】

【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.

【详解】依题意，^+^+1=y=l,解得ag

Q

所以。的值为

故,

14.已知等比数列｛%｝的前〃项积为。，若%=7；=32,则几=,

【正确答案】8

【分析】根据等比数列的定义及题干中的已知条件，可得出等比数列｛对｝的通项公式，进而

求解则4=小。6.

【详解】设等比数列｛4“｝的公比为4，•••石=4=32,，今=%%%=4=1,可得4=1,即

12

=1.

1]/]y-'

又n=4]牝==32,。=记,解得?=y>q=8,故a“=8.匕J（n=1,2,3,"）>

•,・%=。应2=；，•.・0=46=32*；=8.

故8.

15.袋子中装有3个黑球和2个白球共5个小球，如果不放回地依次摸取2个小球，则在第

1次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为.

【正确答案】g##0.5

【分析】根据条件概率公式进行求解即可.

【详解】设事件A：第1次摸到黑球，事件B：第2次摸到黑球，

3323

所以P⑷=彳，P（AB）=-X-=—9

55410

3

因此P（即）=号=;,

5

故！

16.若函数〃x）=2f-3mV+6x在区间（1,+8）上为增函数，则实数”的取值范围是.

【正确答案】（-8,2]

【分析】依据题意列出关于〃，的不等式，即可求得实数”的取值范围.

【详解】/'（力=6/-6加x+6,

根据题意可知/'（X）*0在（1,+8）上恒成立，即6/-6机x+620在（1,口）上恒成立，

也就是加4X+，在（1,+8）恒成立，

X

而函数V=X+：在（1,+8）上单调递增，则x+g>2,故加42

故（YO,2]

四、解答题

17.已知（aeN*）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21,

⑴求〃的值；

（2）求展开式中项系数最大的项.

【正确答案】（1）〃=6

⑵240/

【分析】（1）直接由C：+C；=21解方程即可;

26-人>c&+l26-（*+1）

（2）直接由《；'JA,3I求出％=2,即可得到项系数最大的项.

【详解】（1）由题意可得C：+C；=21,即（〃-6）（〃+7）=0,解得〃=6；

（2）由二项展开得到项系数为C：2i,

工2

^jk〉c*+i2

k+l47

则设：6Ji化简为‘解得；4人，故上=2,

C*26'*>c*-'2H°工233

k

因此项系数最大的为第三项，为C；（2力“=240x3.

18.已知正项数列｛。,｝的前”项和为S“，且满足2S,,=a；+a”.

（1）求数列｛。,,｝的通项公式；

4

⑵设，=荔一，数列也｝的前〃项和为小证明.骞＜3

【正确答案】（1）。“=〃；

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用。“,工的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果;

(2)根据(1)中所求，利用裂项求和法求得即可证明.

【详解】(1)依题意可得，当"=1时，2£=24=a：+q,%>0,则q=l；

当〃22时，25„=端+。“，25„,,=«；.,+，两式相减，

整理可得(。“+%)&-%T)=0，又｛《,｝为正项数列，

故可得所以数列｛4｝是以4=1为首项，d=l为公差的等差数列,

所以。，=".

422

(2)证明：由(1)可知%=〃，所以"=(----二，

〃(/7+2)n"+2

p4444

"1x32x43x5小+2)

22222222222222

=-----------1------------1------------1-------------,H------------------1-----------------------1-----------------

13243546n-2nn-\〃+1nn+2

22

=2+「Q一心<3,所以«成立.

19.已知函数/(x)=ax+』+(l-a)lnx.

(1)当a=2时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程;

(2)若a«0,讨论函数/(x)的单调性.

【正确答案】(1)P=3；(2)答案见解析.

(1)根据导数的几何意义得到./''(-1)=0,/⑴=3,进而得到切线方程；

(2)对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性.

【详解】(1)当“=2时，/(x)=2x+--lnx,/(x)=2-与-L又(⑴=0,/(1)=3,

XXX

所以曲线/(力在x=l处的切线方程为，=3.

(2)/，3=”4+4=&+(j)l=(l坐+1)(x>0),

X2XX2X2

①当a=0时，“X)在(0,1)上单调递减，在(1,m)上单调递增；

②当时，〃x)在(0,1)和(-J+8)上单调递减，在上单调递增；

③当a=-l时,“X)在(0,+功上单调递减;

④当a<-l时，/(x)在和(1,2)上单调递减，在上单调递增.

本题考查的是导数的几何意义，切线方程的求法;考查了导数在研究函数的单调性中的应用；

一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过

研究函数的导函数的正负得到单调性.

20.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者

进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别

为9、7'7'；，且各轮问题能否正确回答互不影响.

6543

(I)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(II)求该选手至多进入第三轮考核的概率；

【正确答案】解：(I)—;(II)y

62

【详解】(I)设事件10=123,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”.

5431

由已知尸(4)=7，P(4)=w，。(4)=:，尸(4)=彳.

6543

(I)设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰“，则

P(B)=P(44A)=7X7X<1-7)=7

6546

(II)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则

————1515431

P(C)=P(4+4^+4^4)=7+7X7+7X7X(1-7)=7

6656542

21.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1

个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若

摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

(1)求在1次游戏中，

①摸出3个白球的概率；

②获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.

【正确答案】⑴⑴1(ii)高7(II)X的分布列见解析，数学期望，5

【详解】解：(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=0,l,2,3),则P(A3)=

C；C；

-5,

②设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=A2UA3，又

P(A2)=^^+^■•性=3,且A2,A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=g+1=

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=0)=V2=2

100

P(X=l)=C24(l21

50,

P(X=2)=儒卜会

所以X的分布列是

X012

92149

rD

10050100

921497