江苏省泰州市兴化市2023-2024学年高二年级上册期末数学试题（含答案）

江苏省泰州市兴化市2023-2024学年高二上学期期末数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线4：x+my-1=Q,l2：(m-2)x+3y+3=0,1Z2,则m=()

A.-1B.3C.--D.1

22

2.设数列｛%｝是等比数列，且4+出+/+。4=1，a3+a4+a5+a6=2,则

%+%+〃9+%0=()

A.8B.16C.32D.64

3.已知直线/：3x-4j+7=0,圆C：(*-1)2+丁=/&>0),若圆C上恰有三个点到

直线/的距离为1,贝V=()

A.1B.3C.—D.4

5

4.已知数列｛为｝首项为2,且%+「%=2向，则％=()

A.2〃B.2n-1+lC.2"-2D.2n+1-2

5.已知函数/(%)=21nx-x+f在定义域内单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(-co,l]B.(一8』)C.(L+8)D.[l,+oo)

22

6.已知双曲线片:=-当=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为耳，F?,点A在双曲线E

ab

的左支上，且/£工4=《，|AB|=2|A用，则双曲线E的离心率为()

A.73B.6C.3D.7

£_

7.已知奇函数〃x)=T一"，则函数力⑺的最大值为()

/z(x),x<0

A.1—eB.1+eC.e—1D.—1—e

8.已知数列｛%｝满足4=1,a„+1=3«„+2"(«eN,),2=也.设feZ,若对于V/zwN*,

an

都有勿>£恒成立，则方的最大值为

A.3B.4C.7D.9

二、多选题

9.已知等比数列｛m｝满足%+%=6,a4=2a2+a3,设其公比为g,前〃项和为S”,则

()

A.q=2B.%=2"

C.Sw=2048D.Sn>an

10.已知直线/：O+l)x+OT)y—2加=。,圆C:(x-3)2+(y-l)2=2,下列说法正确的

是()

A.直线/恒过点(1,1)

B.圆C被x轴截得的弦长为1

C.当直线/与圆C相切时，直线/的斜率是±1

D.当直线/与圆C相交时，直线/斜率的取值范围是(-U)

22

11.已知尸是椭圆「:—+当=1(。＞6＞0)上的一动点，离心率为e,椭圆与x轴的交点

ab

分别为A、B,左、右焦点分别为月、F?.下列关于椭圆的四个结论中正确的是()

A.若PA、尸3的斜率存在且分别为勺、k2,则左融为一定值

B.若椭圆C上存在点/使9・讨=0,则ee［。,乎］

C.若月的面积最大时，Z^Pf；=120°,贝隆=走

2

D.根据光学现象知道：从月发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线

从月出发经椭圆反射，当光线第"次到达尸2时，光线通过的总路程为4"4

12.已知/(x)=/lnx,g(x)=〃N，/'(x)是〃尤)的导函数，则下列结论正确的是()

X

A./(九)在e2,+oo上单调递增.

B.g(x)在(。,+8)上两个零点

3

C.当。＜占＜%＜0时,m占)一/。2)恒成立，则“止不

D.若函数可元)=/(尤)-亦只有一个极值点，则实数

三、填空题

13.若圆C|：/+;/=4与圆C?：(x-3p+(y+机y=25外切，则实数

试卷第2页，共6页

14.已知定义在区间(0,兀)上的函数〃*)=缶-25加，则〃x)的单调递增区间为

15.过点尸的直线/与抛物线l=2y交于A,8两点，则|盟+4忸川的最小值

为.

16.定义：在数列｛4｝中，---=^(«eN*),其中d为常数，则称数列｛4｝为“等

an+ian

比差”数列，已知"等比差”数列｛%｝中，q=%=1,%=3,则型=.

四、解答题

17.已知函数/(x)=lnx,g(x)=tanx.

(1)求曲线y=g(尤)在尤处切线方程；

⑵若直线/过坐标原点且与曲线y=于(x)相切，求直线/的方程.

18.已知数列｛4｝的首项为1,前“项和为S",且满足.

①％=2,an+2—an=2；②2s.=+；③必用=("+2)5".

从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：

⑴求凡;

(2)求数列J|的前〃项和(.

a

[A+2J

19.已知圆M经过A（20,2&）,2（2忘，-2&）,C（-4,O）,£＞（20,O）中的三点，且半径

最大.

⑴求圆M的方程；

⑵过点£（2,0）的直线与圆M交于尸,。两点（尸在x轴上方），在x轴上是否存在定点N,

使得x轴平分BPN。？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

20.记S”为数列｛%｝的前“项和，6”为数列⑸｝的前〃项和，已知母=25“77.

⑴证明：数列电+1｝是等比数列；

（2）已知数列｛cj满足：cn=nan,求数列｛qj的前,项和却

试卷第4页，共6页

22

21.已知。为坐标原点，椭圆C:斗■+==1(。>6>0)的上焦点厂是抛物线V=40y的

焦点，过焦点产与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，且盘=坐，过

\OF\3

点尸(2上0)的直线/交椭圆C于A8两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若点七(-1,0),记VAPE的面积为5，△台尸石的面积为邑，求JS]•邑的取值范围.

22.已知函数/(x)=x-Mnx(meR).

⑴讨论的单调性；

(2)若存在不相等的实数占，巧，使得〃&)=/(々)，证明：0<〃?<玉+9.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】根据直线垂直得至!!（m-2卜1+3m=0,即可求得结果.

【详解】因为直线4：x+阳—l=0,，2：（加一2）%+3,+3=0,>1Z2,

故（加一2）xl+3m=0,解得根=：.

故选：D.

2.A

【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式，求出公比4的平方即可求解作答.

【详解】设等比数列｛风｝的公比4，因为％+%+。3+。4=1，生+%+%+/=2,

则92（6+4+〃3+。4）=2,解得/=2,

所以％++〃9+%=/（。1+〃2+〃3+〃4）=⑷/=8.

故选：A

3.B

【分析】由数形结合结合点线距离即可求

|3+7|

【详解】由题意得，C（l,0）,则点。到直线/的距离为6/=东京=2,

圆C上恰有三个点到直线I的距离为1,则如图所示，直线/交圆于A、B垂直半径CP于B,

BP=1.

^BC=d=r-1=2,故r=3.

【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.

答案第1页，共16页

【详解】由已知得。“+「4=2用，4=2,则当*2时,有

2

/_4T)+_Q“_2)++3_%)=2〃+2〃1++2,

cc2(1—2〃)

n+1

a=2〃+2〃T++22+4=2"+2〃T++2?+2=-；广=2-2

n

经检验当〃=1时也符合该式・・・・。〃=2向-2.

故选：D

5.D

【分析】由题意转化为尸(x)(0,x>0恒成立，参变分离后转化为/(一炉+2,鹏，求函

数g(x)=-炉+2%(尤>0)的最大值，即可求解.

【详解】函数的定义域是(0,+8)，

若函数了(无)在定义域内单调递减，即-/+2彳”40在(0,+力)恒成立，

2

所以尤？+2x,x>0恒成立，BPa>(-x+2.x)max

设g(%)=—%?+2%=—(%—1)+1,x>0,

当％=1时，函数g(x)取得最大值1,所以心1.

故选：D

6.A

【分析】根据题意得|A耳|=4a,\AF^=2a,ZFtF2A=^,=2c,由余弦定理解决即

可.

【详解】由双曲线定义知，|M|—体卬=24

因为|A闾=2|A可，

所以|钻|=2|筋|=4"，\AF^=2a,

因为/居KA=‘，|£g|=2c,

答案第2页，共16页

所以在△々BA中，由余弦定理得cos=—，

ZF｝F2A="闾21：A呼Bi.忸「居|产-2

即164-+45)-4a-=走,化简得上-6)2=0,

2-4tz-2c2''

所以e=A/3,

故选：A

7.A

【分析】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，(何=:1+1/<0,再由导函数求出

其单调性可得最大值为/7(-l)=l-e.

p~x1

【详解】由x<0可知-x>0,所以==一士一1,

又因为“X)是奇函数，所以〃_力=-〃司=-工-1,

xe

即可得x<0时，/(元)=3+1,即/i(x)=±+l,尤<0；

-(x+l)ex(x+1)

则/尤)=，令%)=0可得x=-1,

所以当xe(y>,—l)时，〃⑺>0,即/?(“在(-8,-1)上单调递增，

当xe(-1,0)时，“⑺<0,即/?(x)在(—1,0)上单调递减，

即力⑺在尤=-1处取得极大值，也是最大值为=+1=

e

故选：A

8.A

【详解】整理数列的通项公式有：％+2用=3(4+2"),

结合q+2=3可得数列｛%+2"｝是首项为3,公比为3的等比数列，

则见+2'=3",;.4=3"-2",

2

答案第3页，共16页

1

t<——-+2

原问题即：]2恒成立,

1—

11

----------+2-3----------+2

当时，，即「J]>3,

综上可得：r的最大值为3.

本题选择A选项.

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出

这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再

归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，

或用累加法、累乘法、迭代法求通项.

9.ABD

【分析】由已知条件可求出q,生,进而可得通项公式。“和前n项和s,,,进而可判断A,B,

C,再由作差法判断D.

【详解】对于A,由%=2%+。3，得%+/=2(。2+«3)，所以4=2,A正确；

对于B,又因为“+%=6,所以q+2q=6,故q=2,所以4=2x2襁=2",B正确；

对于C,$=所以<。=2"_2=2046,C错误；

"1-2

对于D,因为S“-a"=2"M-2-2"=2'-2,因为心1且weN*,所以2"-220,BPSn>an,

D正确.

故选：ABD

10.AD

【分析】对于A：根据直线过定点分析求解；对于B：根据垂径定理求弦长；对于CD：根

据直线与圆的位置关系分析求解.

【详解】对于选项A：因为。〃+1)尤+(m-l)y-2a=0,即〃z(x+y-2)+(x—y)=0,

“fx+y-2=0,,\x=l

令n，解得r

[x-y=0[y=l

所以直线/恒过点(1,1),故A正确；

对于选项B：圆C:(x-3)2+(y-l)2=2的圆心C(3,l),半径厂=应，

答案第4页，共16页

可知圆心C（3,l）到x轴的距离d=l,

所以圆C被x轴截得的弦长为2户彳=2,故B错误；

对于选项C：因为/:（相+l）x+（»7-l）y—2相=0,

"2+]2

当"?-1片0时，直线/的斜率为——-=-1——--显然无法取得T,

m—1m—i

当〃7-1=0时，直线/的斜率不存在，

综上，直线/的斜率不可能是-1,故c错误；

对于选项D：当直线/与圆C相交时，

|3（m+l）+（77?—1）—2m|厂

w22

7（-i）+（-i）,解得…’

所以直线/的斜率是+故D正确.

1-m1-m

故选：AD.

11.AC

【分析】根据椭圆的几何性质，作出图像对选项进行分析，由此确定正确选项.

A：设P点坐标，结合P点在椭圆上和斜率计算公式即可计算；

B：由椭圆性质知，当〃为上下顶点时，/邛明最大,保证最大这个角大于或等于90。，

则在椭圆上存在点M满足题意；

C：当尸为上顶点或下顶点时，△尸片入面积最大，结合几何关系即可求此时离心率；

D：根据椭圆的定义即可求出光线走过的路程.

【详解】依题意A（-a,0）,B（a,0）,

A,设Pg,%）,则与+算=1,

ab

…%%¥/"A，万一片为定值,A正确.

,2222222

•XQ+G/_Cl/_ClXQ—ClXQ_QCl

答案第5页，共16页

B,若椭圆C上存在点M使西・觇=0,设N为上顶点，如图:

则/々NF,2245Onsin/ON£jftin&n£也nee走,1],B错误.

-44212\

c,若△尸耳工的面积最大时，4PB=120。，尸位于椭圆上顶点或下顶点，NOP耳=60。,

D,结合椭圆的定义可知，光线第九次到达F?时，光线通过的总路程为2a+(,Ll)x4a=(4/L2)",

12.ACD

【分析】求出导函数，(x),由尸(x)>0确定增区间，判断A,然后可得g(X),再利用导数

确定g(x)的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B,构造函数

<p(x)=f(x)-mx2,由W(x)在(0,e)上递减,求得价范围，判断C,利用导数研究〃(x)的单调

答案第6页，共16页

性与极值点，得，的范围，判断D.

【详解】.r(x)=x(21nx+l)(x>0),令八%)>0,

1-1…

得21nx+l〉0=>lnx〉——x>e2,故A正确

2

,、21nx+1

g⑴=-------，

x

1_91nri11

g'O)=—令g'(x)>0得lnx<L=>x<e"g'(x)<°得o<丫</，

故g(x)在，,e?［上为减函数，在e2+00上为增函数.

当x-»时，g(x)->-co.当时，g(x)->0且g(x)>0

二8(无)的大致图象为

二.g(x)只有一个零点，故B错.

记0(x)=f(x)-mx2,则0(x)在(0,e)上为减函数,

/.(p\x)=x(2lnx+1)-2mxW0对％£(0,e)恒成立

2m221n%+1对x£(0,e)恒成立

3

.\2m>3/.m>—.

2

故。正确.

h(x)=f(x)-ax=x1x-ax,

”(无)=x(21nx+l)—6/,设H(x)=x(21nx+l),

力(x)只有一个极值点，/(%)=0只有一个解，即直线丁=，与，="(九)的图象只有一个交点.

H'(x)=2(lnx+1)+1=21nx+3,

3

H'(%)在(0,+8)上为增函数，令H'(x)=0,得犬=”，

当xe(0,尤0)时，H'(x)<0；当KG(无0,+8)时,H'(x)>0.

，H(x)在(0,%)上为减函数，在(4,+8)上为增函数,

答案第7页，共16页

8（%）=-2xf1=一2”<0,

3

xe（O,x。）时，21nx+l<21ne-i+l=-2<0,即"（劝<°，且尤->0时，〃（x）-0,又xf田

时，+8,因此"（x）的大致图象如下（不含原点）：

直线y=。与它只有一个交点，则a20.故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调

性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数.注意数形

结合思想的应用.

13.±2加

【分析】根据两圆外切列方程，从而求得加的值.

【详解】圆/+9=4的圆心为（0,0）,半径为2.

H（x-3）2+（y+zn）2=25的圆心为（3,一刃）,半径为5.

由于两圆外切，所以存了版=2+5=7,得帚=40.

故解得m=±2\/10.

故答案为：±2A/10.

14.3

【分析】对〃x）求导，求出力2"）〉。的解即可求出答案.

【详解】因为/1（X）=0x-2sinx,贝！|/f（x）=V2-2cosx

令/'（x）=V^-2cosx>0,即一，且尤£（0,九）

答案第8页，共16页

所以x1：,兀J,所以〃尤）的单调递增区间为

故答案为：

15.2

2

【分析】根据题意设直线/：＞=依+；,&（芯,％）,B（x2,y2）,且小力＞。，联立抛物线方

程得关于x的一元二次方程，从而可求得占%,%%,再利用抛物线的定义即可求得

\AF\+4\BF\,再结合基本不等式即可得最小值.

【详解】依题意可得直线/的斜率存在，

设直线/：y=且

联立V71，得炉—2h—1=0,

V=KX+—

I2

贝必=4左2+4＞0,

无2九21

则石々=T，得必%=号=：，

所以M司+4忸尸|=%+；+4（必+；]=必+4%+|"22^/5^7+[=；,

当且仅当％=1,%=;时等号成立，

故|4川+q8司的最小值为

9

故答案为：

16.399

【分析】根据“等比差”数列的概念可得&=1+（"T）x2=2"-1,进而得解.

4T

【详解】由数列｛%｝为“等比差”数列，

则a〃+2。〃+1=。3〃2=31:2,

、*an。2%]]一，

所以，工一也=2,即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

an-i4”2[a„]

所以％1=1+（”-l）x2=2〃-l,吐=2〃+1,

册4+1

则—=吐.如=（2〃_1）（2〃+1）=4"2一1,

aaa

'„n+i„

答案第9页，共16页

所以至=4x102-1=399,

〃10

故答案为:399.

17.(1)4%一〉+6一与二0

(2)%-ey=0

【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可;

/\Z1

(2)设切点坐标(为/n%),然后利用导数的几何意义得到斜率女=一，进而得到直线/的方

xo

程.

2.21

_、m\/\sinxcosx+sinx_I

【详斛】(1)^(x)=tanx=----所以g'(x)=2―2―，所以g'4

cos%COSXCOSX

df卜5

所以切线方程为：y-/=43，整理得4工7+6-r0.

(2)/(x)=lnx,所以/'(x)=L设切点坐标为小,In%),所以切线斜率为％=」,

xxo

II/\

则切线方程为：^-lnx0=—(x-x0),

又因为切线过原点，所以将(。,。)代入切线方程得-In无。=!•(-%),解得x0=e,

%0

所以切线方程为：y-l=1(x-e),整理得x-ey=0.

【分析】(I)当选①时，分〃为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据s“

与册的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到］；是常数数列，从而得到结

果；

(2)根据题意，由裂项相消法即可得到结果.

【详解】(I)选①

九一I

因为。"+2-凡=2,所以当〃为奇数时，a“=4+2x；-="；

答案第10页，共16页

〃一2

同理，当〃为偶数时，%=%+2x《一=”.

所以

选②

因为2sn=(〃+1)4,(*)所以当时，(**)

（*）-（**）,得（"一1）%=叼T，即”=也，

nn-1

所以数列1?I是首项为1的常数列，

所以4=〃.

选③

Ssfol

因为科M=5+2电，所以（〃+2/+1）=口而,所以数列［为力是首项为T的常数

列，

所以S〃=」一所以当〃N2时，/=S“—S〃］二」一一二二

“211fln-i22

当〃=1时，也符合上式.所以。〃=〃.

11

（2）由（1）得,

44+2/5+2)W2\nn1+2)

所以""111111]J311]

~\-------------1-------------\~

2435nn+2)212〃+1n+2)

19.(l)x2+y2=16

（2）存在，N（8,0）

【分析】（1）根据圆的几何性质，结合待定系数法进行求解即可；

（2）设出直线方程根据直线的斜率是否存在，结合直线斜率公式、一元二次方程根与系数

的关系分类讨论即可.

【详解】（1）由坐标可知：4民。三点共线，

由图得直线8垂直平分线段AB,

由圆的性质可以判断圆M经过A,8,C三点时，符合要求.

所以圆心在A8的中垂线即x轴上，设圆M的方程为（x-ay+V=尸（r>0）,

答案第11页，共16页

（）222

4+a+0=r,a=0,

r=4,

所以圆M的方程为工2+丁=16.

(2)设过点E(2,0)的直线方程为x=ty+2.

①当t=0时，直线尸Q的方程为尤=2,此时N可为x轴上的任意一点.

/尤2.2=]6

②当"0时，联立方程组_一'消去X得(『+1卜2+例-12=0,

Ix—ry।

设尸(西，乂)，。(々，％)，"(m,0),则x+%

因为x轴平分BPN。，所以%v+%v=。，即=

xx-mx2-m

化简得%(%-m)+y2(xj-m)=0,即y(y+2-m)+y2((y1+2-m)=0,

整理得(2-m)(％+%)+2aly2=0・

2由7(2®=0对任意”0恒成立，

t2+l

即(-32+4加"=0恒成立,故〃z=8,即N(8,0).

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的几何性质确定圆，由无轴平分BPNQ,判断

kpN+卜3=0是否恒成立.

20.(1)证明见解析；

【分析】(1)根据给定条件，结合数列第〃项与前”项和的关系变形，再利用等比数列定义

答案第12页，共16页

推理即得.

（2）由（1）求出S“，进而求出数列｛4｝的通项，再利用错位相减法求和即得.

【详解】（1）数列｛S“｝的前〃项和么=25“-〃，贝|4=21一1,即解得岳=1,

当〃22时，Sn=b「bn_｝=（2Sn-n）一[2S,i-（〃一1）],

即S“=2S,T+1,整理得S“+1=2（S,T+1）,而M+1=2W0,

所以｛S'+l｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知S,,+l=2",即S“=2”-l,当时，a“=S“-S,i=2"」，

-1

当力=1时，«i=5,=1,符合”22的情况，因此。"=2"一'，cn=n-2",

则7；=1x1+2x2+3x22+-+〃X2“T,

所以27；=2x1+2x22+3x23++wx2",

两式相减得一7；=1+2+2?++2"-1=

所以7；=（〃-1）2+1.

21.（1）上+Y=i

3

⑵唱

【分析】（1）由题意列式求。力,c,即可得椭圆C的标准方程;

（2）设直线/的方程为y=Z（x-2）,联立方程利用韦达定理结合弦长公式整理得

进而可得取值范围.

【详解】（I）因为炉=川源的焦点坐标为（0,闾,所以网0,@,

,人2

所以|MN|=—,\OF\=c=y/2.

因为黑=中,所以之:一化简可得上=3，

\°F\3。3

22

又一"2=02=2,解得a-3,Z?=1,

答案第13页，共16页

2

所以椭圆C的标准方程为『X』.

（2）由（1）可知尸（2,0）,可知过点尸的直线/的斜率存在且不为0,

设直线/的方程为y=Mx-2）,

y=k^x-2）

由，y22，化简可得（左之+3）兀2—4左2尤+4左2—3=0,

13

2

设4（石,乂）,8（%2，%），则3+无2=4kZ4k-3

左2+31-左2+3

由△=（-4//一4（公+3）（4fc2-3）>0,解得0</<1.

根据弦长公式可得|A斗忸尸|'\=y/l+le\2-xt\-^ll+le\2-x2\

4（兀2+3）-8左2+（4左2-3）9。+左2）

S'）k2+3/+3,

因为VAPE的面积为SiABPE的面积为S2,

一3M

设点E到直线/的距离为d,根据点到直线的距离公式可得d=

止+i

所以S|=g|AP|M,S2=:1忸斗d'

2

2

19（4+1）f卜3M|81k2813

因止匕S].S2=小斗忸叶屋1-

=54F+3-7V+3

Q1/381

因为所以3<f+3<4,贝!|0<a[l-<16,

V+3

的取值范围是.

答案第14页，共16页

【点睛】方法点睛：解决解析几何中平面图形面积的最值或取值范围问题一般有三个步骤:

一是求出面积的表达式（常用直接法或分割法）；

二是得到目标函数后，明确自变量及自变量的限制条件；

三是利用配方法、基本不等式法、单调性法等求出面积的最值或取值范围.

22.（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由已知条件求出尸（力，分情况讨论导数的正负，即可得函数的单调性；

（2）由（1）可判断出帆＞0,结