第二章系统的数学模型1

第二章控制系统的数学模型数学模型是指描述系统当中各变量之间相互关系的数学表达式控制系统数学模型具有非唯一性，主要形式有微分方程、传递函数、频率特性、结构图和信号流图等。同一系统不同形式的数学模型之间可以相互转换建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的基础。3/24/20241控制工程中将建立系统的数学模型的过程简称为建模建模的方法：机理分析法（解析法）和实验法建模的原则：一个合理的数学模型应该折中考虑模型的简化性与分析结果的准确性。建模时，必须对控制系统的工作原理以及构成系统的各个部分有一个全面的了解，这就要求设计人员必须具备扎实的理论基础，并且掌握一定广度的专业知识。太原科技大学控制工程基础3/24/20242第二章控制系统的数学模型太原科技大学控制工程基础2-l

微分方程2-2

非线性数学模型的线性化

2-3

传递函数

2-4

结构图

2-5

信号流图

2-6

利用MATLAB描述和求解系统数学模型3/24/202431.将系统划分为若干个单向环节，确定每一环节的输入和输出信号。

所谓单向环节是指此环节的运动状态与后面环节的存在与否没有系。

2.根据个环节的工作原理和遵循的物理学的基本定律（基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学定律、电磁感应定律、能量守恒定律等）建立各环节的数学模型（微分方程或代数方程）。3.联立描述各环节变量之间关系的微分方程，消除中间变量，最后得到描述整个系统输入输出之间关系的微分方程。4.通常还按照惯例把微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，而与输出量有关的各项写在方程的左边，方程两边各导数项均按降幂排列。2.1微分方程一、建立控制系统微分方程的步骤太原科技大学控制工程基础3/24/20244

例2-1

图2-1所示为RLC串联电路，ui(t)为输入量，uo(t)为输出量。 列写该电路的微分方程。RLCui(t)uo(t)i(t)＋＋－－图2-1RLC串联电路解:

1.引入中间变量。设回路电流为i(t)

3.消去中间变量。将电路中电容元件的约束关系方程带入上式整理可得：若令可得：2.列写回路的KVL方程太原科技大学控制工程基础二、环节和系统建模举例1、电气系统

3/24/202452、机械系统

例2-2

图2-2是弹簧—质量—阻尼器的机械位移系统。设外作用力F为输入量，位移x为输出量，试求该系统的微分方程。mFxkf图2-2弹簧-质量-阻尼器系统解：中间变量：为了方便，在建模过程中引入的一些变量:消去中间变量的方法：太原科技大学控制工程基础根据牛顿第二定律用输入量和输出量表示中间变量，带入基本方程中。3/24/20246消去中间变量整理成标准形式系统的数学模型元件约束关系方程基本数学关系方程mFxkf图2-2弹簧-质量-阻尼器系统太原科技大学控制工程基础3/24/2024例2-2(书上)

图2-2所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位移系统。其中m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力F(t)为输入量，位移y(t)为输出量时，系统的数学模型。解：

质量-弹簧-阻尼器系统m（2-9）（2-8）3/24/20248（2-11）（2-10）根据牛顿第二定律，可以写出物体的受力平衡方程为将式（2-8）和式（2-9）带入式（2-10）中，消去中间变量并将所得方程整理成标准形式，有显然，这也是一个二阶线性定常系统。3/24/202493.液位系统出水流量Q2图2-3液位控制系统示意图阀门目标水位H0实际水位H进水流量Q1例2-3考虑图2-3所示液位控制系统，其中水箱水位H为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化的物理量主要是输入流量Q1和负载流量Q2。试确定该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量的关系方程。

3/24/202410解：根据物质守恒定律，列出液位系统流体过程的关系方程——非线性微分方程式中，A为容器截面积。当节流阀开度一定时，通过包含连接导管和容器的液体流量为式中，K为节流阀的流量系数。将式（2-14）代入（2-13）中可得水箱水位与进水流量的关系方程（2-13）（2-14）3/24/202411例（补）

求图所示他激直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。图中，

ω为电动机角速度（rad/s），Mc为折算到电机轴上的总负载转矩（N.m），Ua为电枢电压（V）。设激磁电流恒定，并忽略电枢效应。ia图2-3电枢控制的他激直流电动机ω＋-UaMcea＋－Uf解：图所示他激直流电动机在电枢控制情况下：

Ua为输入，ω为输出量，Mc为扰动量为了便于列写方程，引进中间变量：电动机电枢两端的反电势ea（V）；电枢电流ia（A）；电动机轴上产生的电磁转矩M（N.m）。

太原科技大学控制工程基础3/24/202412电枢回路KVL方程：反电动势与转速的关系方程：电动机轴上产生的电磁转矩：电动机轴上的动力学方程：J——折算到电动机轴上的总转动惯量（kg∙m2）。联立、消去中间变量，并整理成标准形式

ω＋-UaMcea＋－UfCe——电动机的电势常数（V∙s/rad）；Cm——电动机的转矩常数（N∙m/A）；3/24/202413电动机的电磁时间常数，单位:s将所得数学模型中的参数组合写成具有一定实际意义的物理量，即令电动机的机电时间常数，单位：s电动机的电压作用系数，单位:rad/(V∙s)电动机的负载作用系数，单位：太原科技大学控制工程基础3/24/202414电动机的转速随时间的变化规律ω(t)取决于两种输入信号——电枢电压和负载转矩的变化规律。根据线性系统的叠加原理：两种输入信号同时作用下转速的变化，等于各输入信号单独作用时转速变化的叠加。电动机的数学模型太原科技大学控制工程基础3/24/202415三、相似系统、相似量例2-2机械位移系统数学模型例2-1的RLC串联电路中，q作为输出时的数学模型太原科技大学控制工程基础量q作为被控量，则若以电容元件极板上的电荷3/24/202416象这样具有相同形式数学模型的不同性质的物理系统称为相似系统。相似系统数学模型中位于对应位置上的变量或参数称为相似量。机械位移系统mfkxFRLC串联电路LR1/CqUi按照输入量定义相似系统： 力-电压相似系统

相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并依此出现了仿真研究方法。太原科技大学控制工程基础3/24/202417四、微分方程的增量化表示

微分方程也称动态特性方程。当输入为恒定值，电动机处于平衡状态时，变量的各阶导数均为0，可得电动机的静态特性方程当电动机在工作在某静态工作点(Uao,ωo,Mco)附近的一个小范围内时，如果系统受到扰动，电动机将偏离当前的平衡状态，系统各变量都将发生变化。用Δ表示变化量，电动机在原平衡状态附近运动的各变量的增量表示式为这是一个代数方程，它表示平衡状态下输入量、输出量之间的关系，也称为静态数学模型。线性系统的静特性可以用一个线性代数方程描述。太原科技大学控制工程基础3/24/202418在平衡状态附近工作时，电动机微分方程的增量化表示式线性系统微分方程的变量表示和增量表示具有相同的形式，非线性系统则不然。变量形式微分方程：推导过程3/24/2024192.2非线性数学模型的线性化以上列举的各元件，都假设其具有线性特性，因而求得的数学模型均是线性微分方程。求解线性常微分方程，可得输入信号作用下系统的时域响应，即被控量的实际值随时间变化的规律。但是实际系统多多少少都有非线性，严格地讲，其特性只能用非线性方程描述目前还没有求解非线性方程的统一的方法在一定条件下对非线性特性进行线性化，将非线性方程用近似的线性方程来代替，就可以利用线性系统理论对系统进行分析和设计，从而避免了非线性造成的数学处理上的困难，而且所得到的结果可以在一定范围内近似地反映系统的真实特性。太原科技大学控制工程基础3/24/202420非线性数学模型线性化的条件1.静态非线性特性。3.系统在某个静态工作点附近的小范围内工作，即：微偏2.非线性特性不严重，在工作点处连续，没有折断点、跳跃点等。y0x0yxxy图2-5非线性函数的线性化这样，在处将非线性函数展开成泰勒级数太原科技大学控制工程基础3/24/202421当

足够小时，忽略的二阶以上高阶无穷小量得或其中非线性元件的线性化数学模型这种线性化的方法也叫微偏法，其实质是在系统工作点附近的小偏差范围内，以切线代替实际曲线对系统进行研究。使用时应注意其适用范围。xyy0x0yx图2-5非线性函数的线性化太原科技大学控制工程基础3/24/202422例2-6

三相桥式可控硅整流电路的输入量为控制角α，输出量为整流电压Ud。输入-输出之间的关系为。UI为输入交流电电压的有效值。求其线性化的书写模型。解：显然Ud是α的非线性连续函数，且各阶导数存在。设额定工作点为α0，Ud0，当控制角α在α0附近的小范围内变化时，将非线性函数在α0处展开成泰勒级数并取其线性部分令即非线性函数在工作点（α0，Ud0

）处切线的斜率，则有用变量表示增量，可得太原科技大学控制工程基础3/24/202423线性化是相对于某一额定工作点（平衡点）进行的。工作点不同，则对应的切线斜率不同，线性化微分方程的系数也就不同，因此，在线性化之前，必须确定元件的静态工作点。变量的变化必须是小范围的。变量只有在足够小的范围内变化，才能保证线性化具有足够的精度。线性化方程通常是以增量方程描述的。如果元件或系统存在本质非线性，即函数具有间断点、折断点，微偏理论不再适用，而只能利用非线性系统理论解决。求取非线性环节的线性化数学模型时应注意下列几点太原科技大学控制工程基础3/24/202424六、线性系统的微分方程控制系统是由多个元件组成的。在编写控制系统的微分方程时，通常是先列写组成系统的各单向元件的方程，然后按照它们在系统中的连接情况将方程合并，消去中间变量；最后整理出只包含系统输出变量（即被控量）和输入变量（包括给定输入和扰动输入）的微分方程，并写成标准形式。在列写过程中，为使信号的传送关系更加明确，往往还要画出相应的方块图。太原科技大学控制工程基础3/24/202425例2-8

编写图2-11所示转速控制系统的微分方程功率放大器＋＋＋－－电动机负载减速器运算放大器Ⅰ运算放大器Ⅱ电位器测速发电机＋－ωuf反馈连接ugu1u2Mc图2-11转速自动控制系统原理图····太原科技大学控制工程基础3/24/202426解：系统中电动机为被控对象，电动机的转速ω为被控量，电位器的输出Ug为给定输入，负载转矩Mc为扰动输入。控制系统由输入电位器、运算放大器Ⅰ、运算放大器Ⅱ、功率放大器、被控对象和测速反馈装置等组成。运算放大器Ⅰ起信号求差并放大的作用；运算放大器Ⅱ（连同RC网络）起倒相和校正的作用，它使系统稳定工作且有较好的动态性能。该系统的方块图如图2-12所示。运算放大器Ⅰ运算放大器Ⅱ功率放大器电动机测速发电机ugufueu1u2uaωMc＋－图2-12转速自动控制系统方块图·太原科技大学控制工程基础3/24/2024271.运算放大器Ⅰ

2.运算放大器Ⅱ3.功率放大器4.电动机5.测速发电机连同分压器一般有太原科技大学控制工程基础3/24/202428图2-11所示转速自动控制系统微分方程为式。令有前向通道传递(放大)系数