2023年江苏省盐城市中考数学练-4二次函数

2023年江苏省盐城市中考数学专题练一一4二次函数

选择题（共6小题）

1.（2022•东台市模拟）已知抛物线y^cυr+bx+c上的部分点的横坐标X与纵坐标y的对应

值如表：

X…-10123…

y…30-1m3…

以下结论：①抛物线y=cΟ2+bx+c的开口向下；②当x<3时，y随X增大而增大；③方

程以2+6x+c=0的根为0和2；④当y>0时,x的取值范围是0<x<2,正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2022•建湖县一模）如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子

滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖

直高度y（单位：，”）与水平距离x（单位：①）近似满足函数关系）,=0χ2+⅛v+c（4W0）∙如

图记录了原子滑车在该路段运行的X与y的三组数据A（xι,yi）、BG2,*）、C（心，

”），根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平

3.（2021•射阳县二模）已知抛物线y=α√+bx+3（“<0）过4（2,yι）,8（-1,”），C（3,

”），D（-√5,y｝）四点，则yι,yι,*的大小关系是（）

A.y↑>y2>y3B.y2>y∖>y3C.y↑>y3>y2D.y3>y2>y∖

4.（2021•建湖县二模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表

达式为）=/∕-χ+9:②若点8（-1,〃）在这个二次函数图象上，则n>m.③该二次

函数图象与X轴的另一个交点为（-4,0）；④当0<x<5.5时，m<y<i.所有正确结

论的序号是（）

5.（2021•射阳县三模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮

o

的旋转角度X（单位：度）（0°<x≤90）近似满足函数关系y=αf+⅛r+c（α≠o）.如

图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度X与燃气量y的三组数据，根据上述

函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

加3

0.150

0.136

0.125

A.18oB.36oC.41oD.58°

6.（2021∙盐都区二模）下表是一组二次函数y=∕+3x-5的自变量X与函数值y的对应值：

X11.21.31.4

y-I0.040.591.16

那么方程√+3x-5=0的一个近似根是（）

A.1B.1.1C.1.2D.1.3

二.填空题（共5小题）

7.（2022•东台市模拟）如图，抛物线y=-/+4x+l与）'轴交于点P,其顶点是4,点尸'的

坐标是（3,-2）,将该抛物线沿PP’方向平移，使点P平移到点尸’，则平移过程中该抛

物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是

8.（2022•盐城一模）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定

条件下，可食用率y与加工时间X（单位：，"加）满足函数表达式y=-0.3∕+l∙5χ-1,则

最佳加工时间为min.

9.（2022•亭湖区校级三模）二次函数y=7-1的图象与y轴的交点坐标是.

10.（2022•滨海县模拟）己知y是*的二次函数，如表给出了y与X的几对对应值:

X•••-2-101234•••

y•••11a323611・・・

由此判断，表中α=

II.（2021•东台市模拟）如图，抛物线y=#-4与X轴交于A、B两点，P是以点C（0,

3）为圆心，2为半径的圆上的动点，。是线段雨的中点，连接OQ.则线段OQ的最大

12.（2022•亭湖区校级三模）已知抛物线y=（⅛-1）x1-2kx+3k,其中Z为实数.

（1）若抛物线经过点（1,3）,求表的值；

（2）若抛物线经过点（1,a）,（3,b）,试说明劭＞-3；

（3）当2WxW4时：二次函数的函数值y20恒成立，求后的取值范围.

13.（2022•亭湖区校级三模）阅读感悟：

“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性,

解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”

“形”或“形"f“数”，有的问题需要经过几次转化.这对于初、高中数学的解题都很

有效，应用广泛.

解决问题：

已知，点M为二次函数y=-x2+2bx-b2+4b+↑图象的顶点，直线y=〃?x+5分别交X轴正

半轴和y轴于点A,B.

(1)判断顶点M是否在直线y=4x+l上，并说明理由；

(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且∕nx+5>-/+2bχ-廿+46+1,结合图象，

求X的取值范围；

13

(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在AAOB内，若点C(一,yι),D(一，y)都

442

14.(2022•滨海县模拟)如图1,直线/：y=kx+b(k<0,⅛>0)与x、y轴分别相交于A、

B两点，将AAOB绕点O逆时针旋转90°得到△0%>,过点4、B、。的抛物线W叫做

直线/的关联抛物线，而直线/叫做抛物线W的关联直线.

(1)已知直线/1：y=-3x+3,求直线/1的关联抛物线M的表达式；

(2)若抛物线修：y=-X2-X+2,求它的关联直线/2的表达式；

(3)如图2,若直线/3：y=kx+4(⅛<0),G为AB中点，”为CO中点，连接G”，M

为GH中点，连接0M∙若。M=孚，求直线/3的关联抛物线W3的表达式；

(4)在(3)的条件下，将直线CD绕着C点旋转得到新的直线/4：y=nzx+m若点P(Xι,

y∖)与点Q(X2,”)分别是抛物线W3与直线/4上的点，当0≤rW2时，∣yι->2∣≤4,请

直接写出“的取值范围.

与X轴

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点。作DEVAB于点E,连接BF,当点D在第一象限且S"EF=25AAEF时，求

ax2-(3«-1)%-2Ca为常数且α≠O)与y

轴交于点A.

(1)点4的坐标为对称轴为(用含”的代数式表示)；

(2)无论“取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，则点B的坐标为

(3)若aVO,且自变量X满足-IWXW3时，图象最高点的纵坐标为2,求抛物线的表

达式;

(4)将点A与点8之间的函数图象记作图象M(包含点A、B),若将M在直线y=-2

下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y=-2进行翻折，可以得到新的函数图象Mi,

若图象上仅存在两个点到直线y=-6的距离为2,求α的值.

17.(2022•盐城二模)若二次函数y=α∕+fcv+α+2的图象经过点A(1,0),其中a、b为常

数.

(1)用含有字母α的代数式表示抛物线顶点的横坐标;

(2)点B(-ʌ,ɪ)ʌC(2,1)为坐标平面内的两点，连接8、C两点.

①若抛物线的顶点在线段BC上，求。的值；

②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求”的取值范围.

y

B

OAx

18.(2022∙滨海县一模)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-义/+∕λr+c与X轴

交于点A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接BC,直线BM：y=2x+m

交y轴于点例.P为直线8C上方抛物线上一动点，过点P作X轴的垂线，分别交直线

BC、BM于点、E、F.

(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求APBC的面积：

(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BEN尸为矩形时，求点N的坐标；

②在①的条件下，第四象限内有一点Q,满足QN=QM,当aQNB的周长最小时，求点

Q的坐标.

19.(2022•射阳县一模)新冠疫情爆发后，某超市发现使用湿巾纸量变大，其中A种湿巾

纸售价为每包18元；8种湿巾纸售价为每包12元.该超市决定购进一批这两种湿巾纸，

经市场调查得知，购进2包A种湿巾纸与购进3包8种湿巾纸的费用相同，购进10包A

种湿巾纸和购进6包8种湿巾纸共需168元.

(1)求A、8两种湿巾纸的进价.

(2)该超市平均每天可售出40包A种湿巾纸，后来经过市场调查发现，A种湿巾纸单

价每降低1元，则平均每天的销量可增加8包.为了尽量让顾客得到更多的优惠，该超

市将A种湿巾纸调整售价后，当天销售A种湿巾纸获利224元，那么A种湿巾纸的单价

降了多少元？

(3)该超市准备购进A、8两种湿巾纸共600包，其中8种湿巾纸的数量不少于4种湿

巾纸数量的两倍.请为该超市设计获利最大的进货方案，并求出最大利润.

20.(2022•射阳县一模)在平面直角坐标系XOy中，已知抛物线y=-/+2〃优-川2+］与>

轴的交点为A,过点A作直线/垂直于y轴.

(1)当机=1时，求抛物线的顶点坐标；

(2)若点(机-3,yι),(m,”)，Cm+∖,”)都在抛物线y=-7+2∕nx-#+1上，则

yι>"，”的大小关系为；

(3)将抛物线在y轴左侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点M

(xι,yι),N(X2.)2)为图形G上任意两点.

①当〃?=0时，若xι<x2,判断yι与”的大小关系，并说明理由：

②若对于Xl=Zn+3,x2-m-3,都有yi<”，求机的取值范围.

21.(2022•建湖县二模)如图，在平面直角坐标系Xoy中，抛物线y=x2+⅛r+c与y轴交于

点C,与X轴交于A、8两点，直线y=x+4恰好经过8、C两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点。为第三象限抛物线上一点，连接8。，过点。作OELBzX垂足为E,若OE

=2BE,求点。的坐标；

(3)设F是抛物线上的一个动点，连结AC、AF,若NBAF=2NACB,求点F的坐标.

备用图

22.(2022•盐城一模)已知抛物线y=/-x-6与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),

与y轴交于点C.

②如图1,若点。是直线AC下方抛物线上的一个动点（点。不与点A、C重合），求4

D4C面积的最大值；

（2）如图2,若点M是线段AC上一动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一点,

设AN=力当r在何范围取值时，点M总存在两个不同的位置使/BMN=/84M；

（3）如图3,点G是X轴上方的抛物线上一点，若∕AGB+2NBAG=90°,请直接写出

点G的横坐标为.

23.（2022∙建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=f+法+c的图象过点C（0,-

4）和点力（2,-6）,与X轴交于点A、8（点4在点B的左边），且点D与点G关于坐

标原点对称.

（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；

（2）若点尸为此抛物线上一点，它关于X轴，y轴的对称点分别为例，M问是否存在

这样的P点使得M,N恰好都在直线OG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请

说明理由；

（3）若第四象限有一动点E,满足BE=OB,过E作EFrr轴于点尸，设尸坐标为（K

O）,0<∕<4,ZsBE尸的内心为/,连接C/,直接写出C/的最小值.

图1图2

24.（2021•盐都区三模）如图，直线），=-2x+4交X轴于点A,交y轴于点8,抛物线y=

ax1+bx+c（α≠0）经过点A、E,点E的坐标是（5,3）,抛物线交X轴于另一点C（6,

O).

(1)求抛物线的解析式.

(2)设抛物线的顶点为。，连接8。，AD,CD,动点P在BO上以每秒2个单位长度的

速度由点B向点D运动，同时动点。在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向

点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间

为f秒，PQ交线段Az)于点H.

①当NoPH=NCA。时，求/的值；

②过点H作垂足为点M,过点P作PAQBO交线段AB或AC于点N.在点

P、。的运动过程中，是否存在以点P,N,H,M为顶点的四边形是矩形？若存在，求

出f的值；若不存在，请说明理由.

25.(2021•盐都区校级模拟)已知：平面直角坐标系内一直线/1：y=-χ+3分别与X轴、y

轴交于8、C两点，抛物线y=-x2+⅛r+c经过A、B两点,抛物线在X轴上方部分上有一

动点ZX连结AC；

(1)求抛物线解析式；

(2)当。在第一象限，求。到/1的最大距离；

(3)是否存在。点某一位置，使NQBC=NAC0?若存在，求。点坐标；若不存在，

请说明理由.

图1备用图备用图

2023年江苏省盐城市中考数学专题练一一4二次函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

1.（2022•东台市模拟）已知抛物线y=ax2+hx+c上的部分点的横坐标X与纵坐标y的对应

值如表：

X…-10123…

y•••30-1tn3•••

以下结论：①抛物线y="∕+fov+C的开口向下；②当x<3时，y随X增大而增大；③方

程ajr+bx+c=0的根为0和2；④当y>0时,x的取值范围是0<x<2,正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：将（-1,3）,（0,0）,（1,-1）代入y=αr2+bx+C得：

3=a—b+c

0=c,

、-1=α+b+c

（Q=I

解得b=-2,

（C=O

.∙.y=x2-2x.

①Ya=1,

.∙.抛物线开口向上，

故①错误，不符合题意.

②；图象对称轴为直线X=1,且开口向上，

.∙.χ>l时，y随X增大而增大，

故②错误，不符合题意.

（3）Vy=x2-2x=x（X-2）,

当Λ=0或x=2时y=0,

故③正确，符合题意.

④Y抛物线开口向上，与X轴交点坐标为（0,0）,（2,0）,

.∙.χ<0或x>2时，>∙>0,

故④错误，不符合题意.

故选：A.

2.（2022•建湖县一模）如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子

滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖

直高度y（单位：〃］）与水平距离x（单位：机）近似满足函数关系y=α√+∕7χ+c（aW0）∙如

图记录了原子滑车在该路段运行的X与y的三组数据A（xι,yi）、B（X2,竺）、C（刈，

g),根据上述函数模型和数据，可推断出,此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平

距离无满足()

A.x<x↑B.Xl<X<X2

【解答】解：解法一：根据题意知，抛物线y=αx2+bx+c(αWO)经过点A(0,2)、8(2,

1)、C(4,4),

(c=2

则4Q+2b+c=1,

<16α+4b+c=4

(a=i

解得：L=-ɜ*

Ic=2

.∙∙此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离X满足XI<X<Λ2∙

解法二：从图象上看，抛物线开口向上，有最低点，X的值越离对称轴越近，函数y的值

就越小，若对称轴是直线X=及时，A、C两点应该要一样高(即y值相等)，但是很明显

A点比C点低，说明A点离对称轴更近，所以对称轴在A、B之间，即XlVX<X2.

故选：B.

3.(2021•射阳县二模)已知抛物线y=αγ2+⅛r+3(«<0)过A(2,yι),B(-l,*),C(3,

”)，D(-√5,y3)四点，则yι,”，y3的大小关系是()

A.y∖>y2>y3B.y2>y]>y3C.y↑>y3>y2D.y3>y2>y∖

【解答】解：抛物线y^ax1+bx+3(α<0)过4(2,小)，B(-1,”)，C(3,”)，D

(-√5,”)四点，

二抛物线开口向下，对称轴为X=二界=1.

-：D(-√5,”)离对称轴最远，A(2,yι)离对称轴最近，

.∙.yι>">y3,

故选：A.

4.（2021•建湖县二模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表

达式为y=#-x+9：②若点8（7,〃）在这个二次函数图象上，则n>m；③该二次

函数图象与X轴的另一个交点为（-4,0）；④当0<x<5.5时，m<y<S.所有正确结

论的序号是（）

【解答】解：①由图象顶点（2,9）可得y=”（x-2）2+9,

将（8,0）代入（X-2）2+9得0=364+9,

1

解得a=-ɪ,

；.y=（X-2）2+9-y=-#+x+8,

故①错误.

（2）V5.5-2>2-（-1）,

点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，

J.m<n,

故②正确.

③•••图象对称轴为直线x=2,且抛物线与X轴一个交点为（8,0）,

.∙.图象与X轴的另一交点横坐标为2X2-8=-4,

故③正确.

④由图象可得当X=O时y=8,x=5.5时>=，〃，x=2时y=9,

.∙.0<x<5.5时\m<y^9.

故④错误.

故选：C.

5.（2021•射阳县三模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：〃广）与旋钮

o

的旋转角度X（单位：度）（0°<x≤90）近似满足函数关系y=n∕+⅛r+c（tz≠0）.如

图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度X与燃气量y的三组数据，根据上述

函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

3

y∕mj

0.150

0.136

0.125

O

A.18oB.36°C.41oD.58°

【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图

可得如图，

，抛物线对称轴在36和54之间，约为41°,

.∙.旋钮的旋转角度X在36°和54°之间，约为41。时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.

故选：C.

6.（2021∙盐都区二模）下表是一组二次函数y=∕+3χ-5的自变量X与函数值y的对应值：

X11.21.31.4

y-10.040.591.16

那么方程/+3X-5=0的一个近似根是（）

A.1B.1.1C.1.2D.1.3

【解答】解：观察表格得：方程/+3χ-5=0的一个近似根为1.2,

故选：C.

二.填空题（共5小题）

7.（2022•东台市模拟）如图，抛物线y=-/+4x+l与y轴交于点尸，其顶点是A,点P的

坐标是（3,-2）,将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P',则平移过程中该抛

物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是18.

【解答】解：令x=0,则y=l,

所以，点P的坐标为（0,1）,

∙.∙y=-x1+4x+l--（X-2）2+5,

二顶点A（2,5）,

设直线AP'的解析式为y=履+儿

Ct≡-2

解得忆;;

所以，直线AP'的解析式为y=-7x+19,

当y=l时，-7x+19=l,

解得X=半

点M的坐标为号，1），PM=当

ɪɪɛ

S^AP'P=S∕∖PP∙M+SΔAPM=2X^y^X（5+2）—9>

根据平移的性质，物扫过的面积是以附、PP,为邻边的平行四边形,

所扫过的面积=2SAAPP=2X9=18.

8.（2022•盐城一模）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定

条件下，可食用率y与加工时间X（单位：〃”〃）满足函数表达式y=-0.3∕+1.5x-1,则

最佳加工时间为2.5min.

【解答】解：根据题意:y=-O∙3x2+L5x-1=-0.3（X-2.5）2+5.25,

；-0.3<0,

，当x=2.5时，y最大，

.•♦最佳加工时间为2.5min,

故答案为：2.5.

9.（2022•亭湖区校级三模）二次函数y=x2-1的图象与y轴的交点坐标是（0,-1）

【解答】解：•••二次函数y=∕-l,

，当X-O时，y--1,

即二次函数y=W-1的图象与y轴的交点坐标是（0,-1）,

故答案为：（0,-1）.

10.（2022•滨海县模拟）已知y是X的二次函数，如表给出了y与X的几对对应值:

X…-2-101234

y•••11a323611

由此判断，表中α=6.

【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0,3）和点（2,3）,

对称轴为X=与^=1,

.∙.x=-1时的函数值等于x=3时的函数值，

：当x=3时，y=6,

/.当X=-1时，a=6.

故答案为：6.

11.（2021•东台市模拟）如图，抛物线y=∣r2-4与X轴交于A、B两点，P是以点C（0,

3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段以的中点，连接。Q.则线段。。的最大

【解答】解：令产#-4=0,则x=±4,

故点B(4,O),

设圆的半径为r,则r=2,

连接PB,而点。、O分别为AP、AB的中点，故OQ是aABP的中位线，

当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，尸8最大，此时。。最大，

则OQ=.BP=.(BC+r)=∣(√42+32+2)=3.5,

故答案为3.5.

Ξ.解答题(共14小题)

12.(2022•亭湖区校级三模)已知抛物线y=(⅛-1)x2-2kx+3k,其中k为实数.

(1)若抛物线经过点(1,3),求上的值；

(2)若抛物线经过点(1,a),(3,b),试说明μ>-3；

(3)当2WxW4时：二次函数的函数值y20恒成立，求A的取值范围.

【解答】解：⑴将点(1,3)代入y=(k-1)7-2fcv+3A中，

得：3=k-1-2k+3k,

解得：k=2；

(2)：抛物线经过点(1,4),(3,b),

：.a=k-1-2k+3k=2k-1,b=9k-9-6k+3k=6k-9,

：.ab=(2⅛-1)(6⅛-9)=12必-24k+9=12(k-1)2-3,

V12(⅛-1)220,

Λ12(&-1)2-32-3,

：二次函数二次项系数不为0,即A-IW1,即&W1,

Λ12(⅛-1)2-3>-3,

即ab>-3；

(3)二次函数为y=(Λ-1)x2-2lcc+3k,对称轴X=天告y

当x—2时，y-3k-4,

当x=4时，y=ll⅛-16,

①若k-l<0,当2WxW4时，二次函数y=(k-1)/-2匕+3%的函数值)，20恒成立,

此时无解；

②若八1>0,当2≤xW4时，二次函数y=(&-1)f-2丘+3%的函数值y20恒成立,

分以下三种情况：

(一)对称轴X=天声法在直线x=2或其左侧时，即F、≤2,只需弘-420,

2(k-l)2(fc-l)

解得

(二)当2V77∣∖≤4时，只需顶点纵坐标为正，即竺三乎?^t≥0,

4(∕C-1)

3

解得3≤k<2,

2k

(三)当一:——7>4时，只需IIk-1620,

2(1)

此时无解，

综上所述，当2≤x≤4时，二次函数y=(Jt-1)%2-2fcv+3Λ的函数值y≥0恒成立，k

的取值范围为k≥∣.

13.(2022•亭湖区校级三模)阅读感悟：

“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，

解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”一

“形”或“形”一“数”，有的问题需要经过几次转化.这对于初、高中数学的解题都很

有效，应用广泛.

解决问题：

已知，点M为二次函数y=-x1+2bx-b2+4b+l图象的顶点，直线y=∕wx+5分别交X轴正

半轴和y轴于点4,B.

(1)判断顶点M是否在直线y=4x+l上，并说明理由；

(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且∕nx+5>-xz+2bx-⅛2+4⅛+l,结合图象，

求X的取值范围；

13

(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在aAOB内，若点C(一，yι),D(-,")都

44

在二次函数图象上，试比较与"的大小.

【解答】解：(1)点M在直线y=4x+l上，理由如下:

Yy=-√+2⅛x-⅛2+4⅛+l=-(χ-⅛)2+40+1,

，顶点M的坐标是(⅛,4/7+1),

把x=6代入y=4x+l,得y=4b+l,

：・点M在直线y=4x+l上；

(2)如图1,直线y=mx+5交>•轴于点B,

点坐标为(0,5),

又YB在抛物线上，

；.5=-(0-b)2+46+1=5,

解得b—2,

二二次函数的解析是为y=-(X-2)2+9,

当y=0时，-(χ-2)2+9=0,

解得Xl=5,Xi--1,

ΛA(5,0),

由图象，得当∕nr+5>-/+2⅛x-■+46+1时，X的取值范围是x<0或x>5；

(3)如图2,

：直线y=4x+l与直线AB交于点E,与y轴交于尸，

设直线AB的函数关系式为：y=px+q,

将A(5,0),B(0,5)代入得F二"=°,

.∙.直线AB的解析式为y=-x+5,

联立E凡AB得方程组已二4上七，

(y=—%÷5

4

解得5

21,

T

421

二点E(-,w"),而F点坐标为(0,1),

；点MCb,46+1)在AAOB内,

21

Λ1<4Z?+!Vg,

4

Λ0<⅛<^,

当点C,。关于抛物线的对称轴对称时，⅛-z=z→-

''h-2'

且二次函数图象开口向下，顶点例在直线y=4x+l上，

综上：①当0<〃<；时，yι>y2;②当匕=*时，yι=γ2;③当:<⅛<第j,yι<>?.

14.(2022•滨海县模拟)如图1,直线/：y=kx+h(ZV0,⅛>0)与x、y轴分别相交于A、

B两点，将aAOB绕点O逆时针旋转90°得到ACOD,过点A、B、。的抛物线W叫做

直线/的关联抛物线，而直线/叫做抛物线W的关联直线.

(1)已知直线/1：y=-3x+3,求直线/1的关联抛物线Wl的表达式；

(2)若抛物线肌：y=-X2-X+2,求它的关联直线/2的表达式：

(3)如图2,若直线/3:y=kx+Ar(⅛<0),G为AB中点，”为CD中点，连接G”，M

为GH中点，连接OM∙若。M=孚，求直线/3的关联抛物线W3的表达式；

(4)在(3)的条件下，将直线CO绕着C点旋转得到新的直线/4：y^mx+n,若点P(xι,

yι)与点QCc,")分别是抛物线W3与直线/4上的点，当OWX≤2时，IyL)2∣≤4,请

直接写出加的取值范围.

：.B(0,3)；

当y=0时，即-3x+3=0,解得X=1,

•・•A(1,0),

由旋转的性质可知，OD=OB=3,

：.D(-3,0).

设VVi的解析式为y=0χ2+⅛v+c,

p+ð÷c=O

则c=3,

9a—ɜð+c=O

α=—1

解得:b=—2,

c=3

.*.W↑：y=-X2-2x+3;

(2)W2：y=-/-χ+2,

令y=0,即-∕r+2=0,

解得Xl=-2,Λ2=l,

：.D(-2,O),A(1,0),

有旋转的性质可知，OB=OD=2.

：.B(O,2),

设/2的解析式为y=k2x+b2,

<=22=0'

解噬二2,

/2：y--2x+2；

(3)连接。G、OH,有旋转的性质可知OG=O”，NGoH=90°,

.♦.△GOH是等腰直角三角形，

又；MG=MH,

,MG=OM=孚，

在RtZXOGM中，OG=∖∕OM2+MG2=√5,

在RtZ∖AOB中，AG=BG,

ΛAB=2OG=2√5,

13：y=Ax+4,当X=O时，y=4,

：.点、B(0,4),即03=4.

由旋转的性质可知，OD=OB=4,

点D(-4,0).

在RlA4O8中，OA='AB?-OB?=2,

ΛA(2,0),

设W3的解析式为J=Λ3X2+⅛3X÷C3,

(4%+2%+C3=O

贝=°,

(16α3-4h3+C3=O

(4)由旋转的性质可知，OC=OA=2.

：.C(0,2),

V/4：y=τnx+”经过点C(0,2),

；.〃=2,即/4：y="λv+2.

根据题意可知，当0≤xW2时，IyLy2∣≤4,

分析他与/4的位置关系可知，只需当x=2时，|)，1-)0W4即可，

Λ∣(-∣×22-2+4)-(2w+2)∣≤4,BP∣2w+2∣≤4,

/.-4≤2∕π+2≤4,

解得：-3<zn≤l.

；.小的取值范围是：-3WmWl.

15.(2022•盐城一模)如图，抛物线y=-/+∕7χ+c经过点A(3,0)和B(0,3),与X轴

负半轴交于点C,点D是抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点。作。ELAB于点E,连接BF,当点。在第一象限且SABEF=2%AEF时，求

【解答】解：(1)将点A(3,0)和8(0,3)代入＞=-/+版+c,

・[c=3

'βl-9÷3h+c=0,

解得忆;，

∙'∙y=-/+2x+3;

(2)VΛ(3,0)和B(0,3),

.∖OA=OB=3f

.∙.N8AO=45°,

*：DF.LABf

：.EF=AEf

VAβ=3√2,SABEF=2SMEF,

：.AE=√2,

.∖AF=2f

：.F(1,O),

：.E(2,1),

・•・设直线DF的解析式为y=ktx+b∖

.(2k/÷hz=1

**k,÷h,=o

解得卜=ι,

W=-1

•»y=x-1τ

联立方程组F=X-2：?

解得X=上浮或X=土=/，

;点。在第一象限，

.1+H

•.χ=—2—，

1+√Γ7-1+√17

：.D(---------，------------).

22

16.(2022•亭湖区校级一模)已知抛物线V=/-(3a-l)χ-2(α为常数且与y

轴交于点A.

(1)点A的坐标为(0,-2):对称轴为X=等(用含“的代数式表示为

Ztl

(2)无论。取何值，抛物线都过定点8(与点A不重合)，则点B的坐标为(3,1)；

(3)若α<0,且自变量X满足-IWXW3时，图象最高点的纵坐标为2,求抛物线的表

达式：

(4)将点4与点B之间的函数图象记作图象俯(包含点4、B),若将M在直线y=-2

下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y=-2进行翻折，可以得到新的函数图象例I,

若图象M∖上仅存在两个点到直线)，=-6的距离为2,求α的值.

【解答】解：(1)令X=0,则y=-2,

ΛA(0,-2)；

抛物线y=α∕-(3α-1)x-2的对称轴为直线x=-二=绦ɪ,

乙CX4Cc∙

故答案为：(0,-2)；X=笑ɪ;

(2)Y抛物线y=ax2-(3a-∖)X-2=ax1-3ax+x-2=(x2-3x)a+x-2,

又无论。取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，

ΛX2-3x=0,

.∙.x=3,

・・・当x=3时，y=x-2=lf

：.B(3,1),

故答案为：(3,D；

(3)∖,a<0,

，抛物线y=--(3a-1)x-2开口方向向下∙

由(1)知：抛物线y=ax1-(3«-1)x-2的对称轴为直线x=

①若三二ɪ≤-l,则"≥春与α<0矛盾，不合题意；

②若-iv3要则4V—得，

此时，抛物线的顶点为图象最高点，

即当Λ=嗤ɪ时，函数y的值为2,

z

：.ax(⅛⅛2_(3Λ-1)X¾≡1-2=0,

v2α72a

解得：。=-1或。=—3(不合题意，舍去).

・'・Q=-1；

③若土^≥3,则一5≤aV0,

2a3

此时，点(3,2)是满足-IWXW3时，图象的最高点，

；9a-3(3a-1)-2=1W2,

∙∙.此种情况不存在，

综上，满足条件的抛物线的表达式为y=-∕+4x-2;

(4);B(3,1),

将点B沿直线y=-2进行翻折后得到的对称点的坐标为夕(3,-5),

.∙.点8'到直线y=-6的距离为1.

①当”>0时，

•••图象Mi上仅存在两个点到直线J=-6的距离为2,

.∙.此时，抛物线的顶点的纵坐标为-4,

.4a×(-2)-[-(3a-l)]2

・・------------------=—4,

4a

解得：β=Z≡o,

.7+2√1O^7-2√1O

•∙a=-9-或―9—:

②当“<0时，

；点3'到直线y=-6的距离为1,

二图象MI上仅存在一个点到直线)，=-6的距离为2,

综上,若图象Ml上仅存在两个点到直线y=-6的距离为2,。的值为一7+2尸√10或一7-2^√―10.

17.(2022•盐城二模)若二次函数y=α∕+⅛v+α+2的图象经过点A(1,0),其中。、b为常

数.

(1)用含有字母。的代数式表示抛物线顶点的横坐标；

(2)点3(-表1)、C(2,1)为坐标平面内的两点，连接&C两点.

①若抛物线的顶点在线段BC±,求4的值；

②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求α的取值范围.

lly

BC

O-Aɪ

【解答】解：⑴∙.∙y="∕+⅛r+α+2的图象经过点A(1,0),

即当X=I时，y=a+b+a+2=0,

：.b=-2-2α,

Λy=αx2-(2α+2)x+a+2,

∙∙.对称轴X=-聿西=*=1+小

抛物线顶点的横坐标为I+-

(2)①抛物线的顶点在线段BC上，且点8(-∣,1),C(2,1),

.∙.顶点纵坐标为1,且一4≤1+!≤2,

当X=I+：时，y—1,Bpa(1+ɪ)(24+2)(1+ɪ)+α+2=l,

整理得：—：=1,

解得：a--1,

检验，当a=-1时，。≠0,

.∙.α=-1；

1

②；对称轴X=1+2，

当4>0时，对称轴X=I+：在点A(1,0)的右侧，即*=1+∖>1,

：抛物线与线段BC有且只有一个公共点，点8(-参1)、C(2,1),

二当x=2时，y<∖,BP4«-2(2a+2)+a+2<l,

解得：a<3,

当x=—④时，y>1,即1α+*(2a+2)+a+221,

解得：a>-5,

Λ0<α<3,

当“<0,且αW-l时，对称轴X=I+J在点A(1,0)的左侧，即x=l+^Vl,抛物

线开口向下，且过点A(1,0),

当X=-4时，y>1>B∣J-tz+(2a+2)+a+2>1,

解得：a>—不

∙.z<o,

/.-5Vj(<0；

由①知，当α=-l时，抛物线顶点恰好在线段BC上，

.∙.当。=-1时，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，

综上所述，抛物线与线段BC有且只有一个公共点时，”的取值范围是0<a<3或-5V/

<0或α=-1.

18.(2022•滨海县一模)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-*χ2+bχ+c与X轴

交于点A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接BC,直线BM：y-=2x+m

交y轴于