高中数学 北师大版必修二 三角函数恒等变换 单元教学设计

安徽省2022年普通高中新课程新教材优质课评选暨优秀课例汇集活动

从三角函数定义到三角恒等变换，发展

逻辑推理和数学运算的素养

2022年10月

目录

1.单元内容分析：P6-P9

2.第一课时：同角三角函数的基本关系...P10-P18

3.第二课时：综合应用...P19-P23

4.第三课时：两角和与差的余弦公式及其应用...P24-P28

5.第四课时：两角和与差的正弦、正切公式及其应

用...P29-P34

6.第五课时：三角函数的叠加及其应用...P35-P39

7.第六课时：积化和差与和差化积公式...P40-P47

8.第七课时：二倍角公式...P48-P53

9.第八课时：半角公式...P54-P57

10.第九课时三角恒等变换单元小结∙∙.P58-P65

2

从三角函数定义到三角恒等变换，发展

逻辑推理和数学运算的素养

一、《普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）》要求及分析

（一）课程标准的要求

1.内容要求

三角函数是一类最典型的周期函数.本单元的学习，可以帮助学生在用锐角

三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的

概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的

周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函

数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。

内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、

三角恒等变换、三角函数应用。

对于三角恒等变换的要求：

（1）同角三角函数的基本关系式

理解同角三角函数的基本关系式：sin2%+cos2ɪ=l,s^nx=tanx.

COSX

（2）三角恒等变换

①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍

角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、

半角公式，这三组公式不要求记忆。

2.教学提示

三角函数的教学，应发挥单位圆的作用，引导学生结合实际情境，借助单位

圆的直观，探索三角函数的有关性质.在三角恒等变换的教学中，可以采用不同

的方式得到三角恒等变换基本公式，也可以引导学生利用向量的数量积推导出两

角差的余弦公式.三角函数应用的教学，要引导学生理解如何用函数描述客观世

3

界事物的变化规律，体会三角函数等函数与现实世界的密切联系。

3.学业要求

掌握三角函数的背景、概念和性质.能够建立三角函数模型解决简单的实际

问题.重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养.

4.教法建议

（1）整体把握三角函数式之间的变换关系，关注到用单位圆建立一般三角

函数的概念，用几何直观和代数运算、向量运算的方法研究三角函数性质的同时，

得到三角函数之间的一些恒等关系.通过从一些基本公式出发推导出其他公式，

让学生体会演绎推理的作用以及三角恒等变换的逻辑体系。

（2）对学生进行恒等变换的训练的过程中，要挖掘三角恒等变换的思维训

练价值及运算训练价值，重视“通性通法”，通过预测变换目标、选择与变换设

计途径，培养学生运算推理的基本思想，提升运算能力与推理能力。

（二）课程标准要求分析

从课标四个方面的要求，可以看出课程标准强调以下四个方面的内容：

1.单位圆下的三角函数定义是本单元知识的母体与生长点，所以从几何直观

入手，经历数学抽象和逻辑推理，是三角恒等变换公式产生与发展的必经之路。

2.加强知识之间的联系，强调用向量的数量积来推导两角差的余弦公式，不

断把所学知识纳入到数学整体知识结构中。

3.能从两角差的余弦公式导出三角恒定变换基本公式，体会演绎推理的作用

以及三角恒等关系的逻辑体系；要求以推导积化和差、和差化积、半角公式作为

三角恒等变换训练的基本内容，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂

的恒等变换.

4.通过对三角恒等变换的训练，注意“通性通法”，树立和培养学生“目标

意识”，注重对“目标差异”进行分析，通过预测变换目标、选择与变换设计途

径，培养学生运算推理的基本思想，提升运算能力与推理能力。

二、教材分析

（-）三角函数主线分析

《普通高中数学课程标准（2017版）（2020年修订）》加强了函数内容和三

角函数内容的整体性，把“三角函数”纳入“主题二函数”中，在教学提示中明

4

确提出：教师应把本主题的内容视为一个整体。三角函数又是学生在高中阶段系

统学习的最后一个基本初等函数，在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系

的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用

几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质；利用三角函数构建数学模型,

利用恒等变换进行运算，从而解决实际问题。

(二)单元内容分析

1.知识结构

恒等变换是运算的基本功，依托三角恒等变换感悟运算体系的逻辑关系.

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s^isQ♦・公式

2.课时安排

本单元教学时间共需9课时，具体分配如下:第1-2课时的内容是同角三角

函数的基本关系；第3-6课时的内容是两角和与差的三角函数公式；第7-8课时

的内容是二倍角的三角函数公式；最后一个课时进行单元小结。

(≡)单元内容分析

三角函数式间的变换关系，是在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系

的基础上，借助单位圆用几何直观和代数运算、向量运算的方法找到三角函数之

间的一些恒等关系.

1.同角三角函数的基本关系

本节分三个部分，第一部分利用单位圆和三角函数的定义推导出了同角三角

函数的基本关系式；第二部分由某一个三角函数值利用关系式，求出其他三角函

数值；第三部分灵活运用基本关系式进行化简变形.在解决问题中，教材重视“通

性通法”，突出了方程思想、化归转化、分类讨论等数学思想方法的指导作用.

2.两角和差的三角函数公式

(1)首先通过向量的数量积和三角函数的定义推导出两角差的余弦公式，

5

再借助换元法和诱导公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，然

后利用弦切之间的转化关系推导两角和与差的正切公式，体现了从特殊到一般、

一般到特殊的数学思维过程，同时揭示公式的特点及整体的公式推导途径.

（2）利用辅助角公式，可以将某些三角函数式化简成为Asin（5+°）的形式,

再利用公式解决一些简单的三角函数问题.

（3）在讨论三角函数的一些问题的过程中，有时需要把三角函数的积化为

和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，因此教材中把“积化和差与

和差化积公式”也单列一小节.

3.二倍角的三角函数公式

二倍角公式本质上是两角和的三角函数公式的特殊情况，半角公式与二倍角

公式是同一种公式的两种不同表现形式.因此，正确理解这些公式之间的逻辑关

系，完成公式推导是发展学生逻辑推理素养的载体，在公式的使用中还可以发展

学生的运算素养.

（四）教学重难点

教学重点：

（1）同角三角函数的基本关系.

（2）用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；从余弦公式出发，导出两角

和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的

内在联系.

（3）运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、

半角公式，这三组公式不要求记忆）.

教学难点：

（1）用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

（2）在公式推导和三角恒等变换训练的过程中如何预测变换目标，选择与

设计变换途径.

（五）核心素养进阶

本单元内容安排的一条明线是建立公式，学习变换，还有一条暗线是发展逻

辑推理和数学运算素养.提升素养的要求不仅体现在建立公式的过程，也体现在

学习变换的过程.在三角恒等变换内容的学习中，无论是证明，还是求解，都是

6

在运用各种三角函数基本运算法则、代数的运算法则，进行恒等变形.因此，无

论运算、运算法则的学习，还是理解恒等变形的原理，都需要逻辑推理和数学运

算能力的支撑.

三、学情分析

（一）认知基础

1.在初中，学生已经多次经历过代数的变换，并且学习了锐角三角函数的定

义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。那么，从特殊到一般，经过

演绎推理得到一些结论，也更符合学生的思维习惯。

2.学生在必修一的学习中建立了函数一般概念，积累了研究幕函数、指数函

数、对数函数的经验，之前利用单位圆研究三角函数的概念、诱导公式、三角函

数的图象与性质以及平面向量等为现在的学习建立了认知基础.

（二）思维基础

1.通过前面知识的学习，学生已经掌握了“单位圆与三角函数的定义”，可

以推导同角三角函数的基本关系式，并且理解其结构特征。

2.由于学生在第二章已经学习了平面向量，并且用向量推导了余弦定理与正

弦定理.因此可以利用向量的数量积作为工具推出两角差的余弦公式，在推导过

程中再次体验向量的工具作用。

（三）可能存在的障碍点

1.同角三角函数的基本关系式不难理解，但变形应用，特别的角的范围与对

应三角函数值符号的确定，学生容易忽略造成错误。

2.两角差的余弦公式作为“源头”公式，怎么想到用平面向量的数量积来进

行推导对学生是一个难点，同时教师还可引导学生思考其他推导方法，提高学生

的逻辑推理能力。

3.三角恒等变换是前面所学诱导公式的进一步深化，即参与运算的角由一个

角变成了两个角且均不是特殊角，这就加大了公式推演的难度。

4.推导二倍角公式的关键在于认识到“二倍角”是“和角”的特例.而二倍

角公式的运用时要思辨“倍”的相对性。

四、单元教学支持条件分析

单元教学设计是以教科书为基础，用系统论的方法对教科书中“具有某种内

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在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元，在教学整

体观的指导下将教学诸要素有序规划，以优化教学效果的教学设计.

注重信息技术的使用，加强知识的发生发展过程的学习，加深概念的理解与

认识。在本章中，信息技术的使用可以有如下体现：从两角差的余弦公式出发,

利用和、差、倍、半角的联系，用逻辑推理的方法得到其他公式，而这些公式之

间的内在联系和推导线索都可以用网络结构图来提炼呈现.

五、主题目标

（一）单元主题教学目标

1.经历同角三角函数的基本关系式的探究和简单运用的过程，掌握同角三角

函数基本的关系式,能运用公式进行简单的求值、化简和证明，体会化归与转化、

方程思想、分类讨论、数形结合等思想方法，发展逻辑推理、数学运算、直观想

象素养。

2.经历用向量推导两角差的余弦公式和简单运用的过程，体验向量的工具作

用，理解并掌握两角和与差的余弦公式，能运用公式进行简单的求值、化简和证

明，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。

3.经历由两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和简单

运用的过程，掌握两角和的正弦、正切公式，体会化归与转化、方程思想，发展

逻辑推理、数学运算素养。

4.经历三角函数的叠加的探究和“sinx+Z?COSX（α涉不同时为0）的化简公式

的简单运用过程，理解“sinx+6COSX（α,b不同时为0）的化简公式，体会从特殊到

一般、化归与转化的思想，提升逆向思维能力，发展逻辑推理、数学运算素养。

5.经历积化和差与和差化积公式的推导和简单运用的过程，体会特殊到一般

的思想，提高推理能力，发展逻辑推理、数学运算素养。

6.经历由和角公式导出二倍角公式和半角公式及简单运用的过程，掌握二倍

角公式，理解半角公式，了解它们的内在联系，体会一般到特殊、化归与转化、

方程思想、分类讨论等思想方法，发展逻辑推理和数学运算素养。

（二）目标解析

1.利用单位圆和三角函数的定义，推导出同角三角函数的基本关系式，并可

以灵活运用关系式进行求值，同时可以完成化简与证明问题。

8

2.利用向量的数量积和三角函数的定义推导出两角差的余弦公式，知道两角

差余弦公式的意义，能够针对运算问题合理运用两角差的余弦公式进行运算，解

决实际问题。

3.以两角差的余弦公式做基础，借助诱导公式推导出两角和差的其他公式,

掌握三角函数的叠加，在公式推导过程中引导学生观察三角函数式的特点，体会

类比、化归等思想方法。

4.理解积化和差与和差化积公式的推导方法，体会化归、换元、方程等数学

思想，提高学生的推理能力。

5.在推导倍角公式和半角公式的过程中，学生领悟从一般化归为特殊的数

学思想，体会公式所蕴含的和谐美，培养学生的类比推理能力、自主探究的学习

能力，提升逻辑推理素养。

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北师大必修二第四章《三角恒等变换》单元信息表

学科年级学期教材版本单元名称

基本

三角恒等变

信息数学高一第二学期北师大

换

单元

组织方J自然单元口重组单元

式

课时及序号课时一称对应教材内容授课教师

同角三角函数基本关系式及由一第4.1.1

1彭猛

个三角函数值求其他三角函数值第4.1.2(P138-139)

2综合应用第4.L3(P139T42)姚孝猛

3两角和与差的余弦公式及其应用第4.2.1(P143-144)王丽云

两角和与差的正弦、正切公式及

4第4.2.2(P145-147)王佳

课时其应用

5三角函数的叠加及其应用第4.2.3(P148-149)车聪慧

6积化和差与和差化积公式第4.2.4(pl50-153)王艳

7二倍角公式第4.3.1(pl54-155)蒋庆

8半角公式第4.3.2(pl55-158)姚孝猛

9单元小结P159-161彭猛

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六、课时设计

第一课时同角三角函数的基本关系

阜阳三中彭猛

一、课时内容解析

本节课是高中数学北师大版必修第二册第四章第一节，主要内容是同角三角

函数的基本关系，课标对本节的要求是：理解同角基本关系式：sin2x+cos2%=

1黑=tx揭示了同角不同名三角函数之间的内在联系，是求三角函数值、

化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础。本节在

三角函数的化简运算过程中有着非常重要的作用，为后续学习两角和与差的三角

函数起着铺垫作用。

二、课时学情分析

1.已有的认知和素养

从认知角度上看，学生已经掌握了三角函数的定义，并且经历了借助单位圆

推导三角函数的周期性、正负性以及诱导公式等各种性质的过程；从方法上看,

学生已经对从特殊到一般、数形结合猜想结论，并利用逻辑推理对其严格论证也

比较熟悉；从学生情感方面看，在自己熟悉的知识结构中再探索，符合学生的思

维习惯，所以大部分学生不抵触，愿意在教师的引导下去思考探究新的知识。

2.存在的问题

本节课的重点是利用定义，利用数形结合思想探究发现同角三角函数基本关

系式，并应用公式解决问题。而应用三角公式进行求值问题是学生第一次接触,

虽然难度不大，但对缺乏深度思考的学生来说，分析求值过程中角度范围问题对

函数值的影响，学生容易忽视且难度较大，同时分类讨论的思想学生应用的也不

够灵活。

3.解决办法

引导学生用三种语言表述三角函数基本关系式，从不同角度认识和理解基本

关系，再通过三个层层递进的例题的分析和解决，逐步突破学生易出现的问题，

尤其是通过对比分析，突出对目标差异，理解并重视角的范围对三角函数值的求

值的影响。

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三、教学目标

1.通过对同角三角函数的基本关系式的推导、探究和应用，牢固掌握同角三角函

数的基本关系式内容，并理解其结构特征和作用，提升逻辑推理的学科素养。

2.通过运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值，提高运算能力和三

角函数恒等变形的能力。

3.通过对同角三角函数的基本关系式的理解和应用，提高学生运用联系转化的观

点处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、方程的思想在三角函数求值中的

作用，提升数学运算和逻辑推理素养。

四、学习重难点

学习重点

1.同角三角函数的基本关系式.

2.已知一个角的三角函数值，求其他三角函数值

学习难点

1.已知某角的一个三角函数值,求其余的个角的三角函数值时符号的确定。

2.掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用解题，提高分析，解决三角函数

的思维能力。

五、课时教学支持条件

多媒体设备、PPT课件

六、教学流程

（一）开门见山点明主题

（二）复习回顾引出新知

（三）师生合作探究新知

（四）新知应用巩固深化

（五）课堂小结构建系统

（六）作业设计

（七）板书设计

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七、教学过程设计

（-）开门见山点明主题

引导语：变换是数学中常用的解决问题的手段，从形式上，它有恒等关系的变换

和不等关系的变换。而本章《三角恒等变换》，顾名思义，就是在三角函数中进

行的一种恒等关系的变换。面对变换，我们有三个问题：

（1）从起始上看，变换的目标是什么？

（2）从过程中看，变换的路径是什么？

（3）从结果上看，变换的作用是什么？

带着这三个问题开始本章的学习之旅。

【设计意图】确定单元主题一一变换，明确“预测变换目标一一选择变换公式一

一设计变换路径一一达到变换目的”的变换流程，引导学生在解决问题过程中，

注重“目标意识”的培养，从而逐步提升分析问题以及解决问题的能力。

（二）复习回顾引出新知

1.任意角的三角函数定义是什么？

如图，任意角a的终边与单位圆的交点尸（4，v）,则"=cosα,ι∕=sinɑ°

2.根据定义，Sina、COSa和tana定义的背景完全统一，那它们之间有没有什

么关系呢？

师生活动：在教师引导下，学生从新的视角观察单位圆，先经过独立思考，再在

小组内交流讨论，汇总答案：不等关系有：当a∈（0ɪ）,sinɑ<cosa,当a

∈（0,万），sinɑ<tanɑ,sinɑ+cosɑ>1（其它的范围或象限也有类似的结

论）；相等关系有：sin2ɑ+cos2ɑ=Ltana="工

COSɑ

【设计意图】从定义出发，教会学生思考问题学会追根溯源，而且本章知识的产

生都是来自于三角函数的单位圆定义，对此学生已经有了自己的认知结构，那

么，尊重学生原有的知识系统，也突出了学生的主题地位。同时，从几何直观

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入手，符合人的认知习惯，也有利于新知的产生和理解。

（三）师生合作探究新知

相对于不等关系，相等关系肯定是更为特殊，而它们正是本节所要研究的内容，

板书标题一一同角三角函数的基本关系。

'sin2a+cos2a=1

sina

tana=-------

cosa

师生活动：教师在板书两大关系时，提醒学生：

①si/ɑ是（S讥a/的缩写；

②usin2a,'读作"s讥α的平方”

【设计意图】从单位圆得到两大基本关系的图形表示，再到用符号语言表示和记

录基本关系，最后自然语言的表达突出了同角三角函数的基本关系的形式特点和

具体关系，三种语言的使用加深了学生对公式的认知，也使得重点内容更加突出。

问题一：你以前学习过这两个关系式吗？和以前有什么不同？

师生活动：学生回忆初中时在直角三角形中，已经学习过两大基本关系，而现在

角的范围扩大了，第一个等式对任意α∈R都成立，第二个等式成立的条件是:

ɑK^+kjkeZ.教师引导学生对猜想、归纳、感知到的结论，不仅要进行严

格的论证，还要对其成立的条件进行考查，体现思维的严谨性，完善逻辑推理的

学科素养。

问题二：两大基本关系分别指的是哪些量之间的等量关系？它有什么作用？

师生活动：教师引导学生深度思考，通过刚才自然语言的表述，让学生发现

sin2a+cos2a=1体现的是同一个角的正弦和余弦的等式关系，而tɑzια=出竺

cosa

体现的是同一个角弦和切的等式关系，既然是等式关系，那么就可以在它们之间

进行转换。

【设计意图】两个问题的设置是对本节重难点内容的理解和突破，同时用转换的

观点认识公式，也突出了本章内容的主题，体现大单元设计的思想。具体来说，

引导学生从方程角度去认识和理解两大基本关系，诱发学生的深度思考。两大基

本关系的理解，教师并没有采用题目作为载体，有利于学生思维的发散。

（四）新知应用巩固深化

14

4

例1已知Sina=g,且角α的终边在第二象限，求COSa和tan。的值。

想一想1：条件和问题中的三角函数有什么特点？它们是什么关系？

想一想2：条件中“角α的终边在第二象限”有什么作用？

12

例2已知COSa=-ɪɪ,求sin。和tana的值。

想一想1：条件和问题中的三角函数有什么特点？它们是什么关系？

想一想2：本题与例1有什么区别？条件的差异产生什么影响？

例3已知tana=/%（机。0）,求Sina和COSa的值。

想一想1：类比例2,本题又该如何分类？

师生活动：学生板演例1,其余学生独立思考完成后交流心得体会。

【设计意图】例题训练都是应用公式进行三角函数的求值，也是对公式的直接应

用，层层递进训练突显了本节的重点知识，也强化了学生和三角函数有关的数学

运算的核心素养。同时从方程看，两大基本关系都可以转化为是同一个角的三种

三角函数：Sina、COSa和tana的二次方程，产生两解是正常现象，如何取舍

成为关键，这样就引导学生重视两个公式的结构特征，深化了内容主题。

（五）课堂小结构建系统

1.我们今天学习同角三角函数的基本关系的路径如何？

2.通过今天的学习，你觉得两大基本关系有什么作用？并且在应用中要注意什么

问题？

3.回归本章主题一一变换，用变换的眼光认识同角三角函数的基本关系，回答课

前问题：

（1）从起始上看，变换的目标是什么？

（2）从过程中看，变换的路径是什么？

（3）从结果上看，这种变换会起到什么作用？

【设计意图】三个问题的回答,不仅总结了本节内容,构建了学生新的知识结构，

而且从恒等变换的角度去认识两大基本关系，就是角不变的前提下，在不同的三

角函数类型之间进行变换，契合了本单元的主题，也使得以后对“角”做变换的

出现，变得自然而合理，符合学生的思维需求。

15

(六)作业设计

课本第142页A组1(1)(3),2.

(七)板书设计

§1.1-1.2同角三角函数的基本关系

L同角三角函数的基本关系三角函数的定义及分析例1例3

例2

16

第二课时综合应用

阜阳一中姚孝猛

一、课时内容解析

三角恒等变换的应用主要是求值、化简和证明；本课时是在由单位圆中的三

角函数的定义推出同角三角函数的基本关系并初步应用的基础上的综合应用，也

为后续两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数公式体系的应用做好铺垫。

本课时蕴含着丰富的数学思想，建立方程组求三角函数值体现了方程思想；

预测变换目标、选择与变换设计途径体现了化归与转化的数学思想；符号和范围

的确定体现了分类讨论的思想及函数思想。

本课时主要发展学生逻辑推理与数学运算的核心素养。

二、课时学情分析

学生已经学习过同角三角函数的基本关系并已初步应用，这为本课时的探究

奠定了基础；但是由于学生刚刚接触三角恒等变换，对解决问题的基本方法和技

巧还不甚了解，因此在探寻解决问题的思路时可能会产生困难。

三、课时教学目标

经历运用同角三角函数式的基本关系式解决具体问题的过程，能运用同角三

角函数的基本关系式求值运算，能化简一些三角函数，并从中了解一些三角运算

的基本技巧，能进行三角函数恒等式的证明，体会化归与转化、方程思想、分类

讨论、函数思想等数学思想方法，发展逻辑推理与数学运算的核心素养。

四、课时教学重难点

教学重点：运用同角三角函数的基本关系式解决相应的求值、化简、证明等

问题。

教学难点：运用同角三角函数的基本关系式时思路的探寻；三角函数值符号

的确定。

五、课时教学支持条件

智慧黑板等多媒体设备、PPT课件

六、教学活动流程图

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七、课时教学内容与过程

（一）复习回顾

问题：你能写出同角三角函数的基本关系式吗？

同角三角函数基本关系式的应用主要是求值、化简和证明，上节课我们已经

研究了由一个三角函数值求其他三角函数值，也就是“知一求二”的求值问题,

今天我们先来研究更复杂的求值问题。

（~）合作探究

1%冗

例4已知Sina-COSa=——，π<a<一，求tana的值。

52

问题1：你能说说这个问题的解题思路吗？

预设提示1：所求问题是什么？已知条件是什么？

预设提示2：所求问题和已知条件有什么差异？如何消除这个差异？

[.1

预…设…思E路.：联f,立一―方.程r（SIna-COSa=——5,汪、、意开〜一方符…号1。

1

si.n26Z+cos2a-1

小结：通过消除已知和所求之间的差异寻求解决问题的思路；化归与转化、

方程思想。

问题2：在题设条件下，你还能提出什么问题？

预设提示：我们已经求出了tana,也就是Sina和COSa的商，

问题3：不求出Sina和CoSa的值，你能求出SinaCoSa的值吗？Sina+cosa

18

的值呢？

问题4：你还有其他的方法求tana的值吗？

小结：平方关系的变形应用，Sina±cosa与SinaCoSa之间的关系；化归与

转化、方程思想。

我们再来研究一个求值问题。

sina+cosσ

例5已知tana=3,求

sintz-cosfz

问题L你能说说这个问题的解题思路吗？

-s-ɪ-n-t-z-=3C

预设1：切化弦，联立方程，,cosα，由tan2=3>0,知α为第

si.n2α+cos2a=1I

一或第三象限角，分类讨论，得出结果。

小结：分类讨论，方程思想。

预设2：切化弦，tanα=3可得SinC=3cosc,带入消元化简，SMa+"

Sina-COSa

_3cosα+cos0

3cosα—CoSa

得出结果。

小结：消元法，化归与转化思想。

Sina

,--------1-1

预设3：弦化切，Sma+cosα=CoSaJanα+1,得出结果。

Sina-COSaSInatana-1

CoSa

若学生想不到这个方法，则提出问题：你能利用商数关系把弦化成切吗？

小结：齐次分式弦化切，化归与转化思想。

问题2：若改为求SinSCoSa呢?

sin~a-cosa

问题3：你能把例4已知条件中的弦化成切求出所求问题吗？

小结：转化为齐次分式，化归与转化的思想；方程思想；三角函数值的范

围确定，函数思想。

我们再来研究三角恒等式的证明问题。

19

COSal+sin0

例6求证:(CoSa≠0)o

I-SinaCOSa

初中时我们已经初步了解了一些简单的代数恒等式的证明。

问题1：你有什么想法来证明这个问题？

预设L作差比较，

若想不到，提出问题，等是实数大小关系中的一种情况，实数比较大小的依

据是什么？

追问：作差后变形的方向是什么？

小结：三角函数式的化简，统一函数统一角，消元法，化归与转化的思想。

预设2：分析法，∙.∙cosa≠0,.∙.sinc≠l即I-Sin2≠0,则

要证c°sα=I+sin”，只需证COS=(1+sing)(I-Sina),再从右至U左化

l-sinaCOSa

简即可。

(这里学生可能考虑不到范围，以及充分条件还是必要条件的问题，教师完

善)

小结：分式转化为整式，化归与转化的思想。

证明恒等式可以从左到右或从右到左化简为另一边的式子，

问题2：你能从等式的左边出发化成右边的式子吗？

追问1：等式的左右两边有什么差异？

小结：一般观察结构形式、函数名称、角度等差异。

追问2：如何消除差异？

左边

2

=--C-o-S-a--=-----c-o-s--a-----=----I---S-i-n-2-a----=-(-l-s--in--a-)-(-l-+--s-in--a-)=-l-+--si-n-<-z-

I-Sina(I-Sina)CoSa(I-Sina)COSa(I-Sina)COSaCOSa

=右边

追问3：你能从等式的右边出发化成左边的式子吗？

小结：配凑法、消元法，化归与转化的思想。

我们再来研究一个三角恒等式的证明问题。

⅛c-IX、十l-2sinθcosθcos2^-sin2θ

例a7求证：-Z--------Z-=---------------------o

cos'^-sin^θ1+2SineCoSe

20

问题1：你有什么想法来证明这个问题？

预设L作差法；分析法；找差异。

预设2：齐次分式弦化切，作差法；分析法；找差异。

问题2：你认为应该怎样简化证明？

证明恒等式也可以相向趋近，证明左右都等于同一个式子。

小结：先化简再证明；因式分解是降次的工具；平方关系的变形运用；齐次

分式弦化切；化归与转化的思想。

(三)巩固提高

练习：化简与求值

(1)(l+tan2a)cos2a(2)一"""，∣

l-2sin2^

小结：三角函数式的化简，统一函数统一角，消元法，化归与转化的思想。

(四)总结提升

数学知识：运用同角三角函数的基本关系式解决求值、化简、证明问题

数学方法：消元、配凑、比较法、分析法、齐次分式弦化切

数学思想：化归与转化、方程思想、分类讨论、函数思想

核心素养：逻辑推理、数学运算

(五)布置作业

必做：课本142习题4TA组3,B组1、2

选做：课本142习题4-1B组3

八、板书设计

§1.3综合应用

例4例6练习

例5例7

21

第三课时两角和与差的余弦公式及其应用

阜阳城郊中学王丽云

一、课时内容解析

上一节内容中，已经根据三角函数的定义，利用单位圆，推导出同角三角函

数的基本关系式.从本节开始，开始探究两角和与差的三角函数公式，而本节课

两角和与差的余弦公式是和与差公式推导的“源”.因此两角和与差的余弦公式

的推证是本节也是本章的教学重点.由于向量工具的引入，教材选择了两角差的

余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，降低了

思考的难度，也更易于学生接受，使学生在经历向量法推证公式的过程中，体会

向量的思想方法，体验向量的工具性作用.

二、课时学情分析

本课时面对是高一年级的学生，通过前面知识的学习，学生已经掌握了“单

位圆与三角函数的定义”，可以推导同角三角函数的基本关系式，并且理解其结

构特征.学生在第二章已经学习了平面向量，并且用向量推导了余弦定理与正弦

定理.因此在教学中从单位圆入手，给学生搭建脚手架，让学生知道借助于形的

背景探究公式.利用向量的数量积作为工具推出两角差的余弦公式，在推导过程

中再次体验向量的工具作用.

三、课时教学目标.

1、经历用平面向量的数量积和三角函数的定义推导两角差的余弦公式，感

受角的范围的推广过程，并再次体验向量的工具作用.

2、经历两角差的余弦公式的简单运用的过程，理解并掌握两角和与差的余

弦公式，能运用公式进行简单的求值、化简和证明，发展逻辑推理、直观想象和

数学运算素养.

四、课时教学重点、难点

教学重点：理解并掌握两角和与差的余弦公式推导以及应用.

教学难点：两角和与差的余弦公式推导过程中，角的范围的分类.

五、课时教学支持条件

智慧黑板等多媒体设备、PPT课件

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六、课时教学内容与过程

(-)复习回顾，导入新课

在上一节的学习中我们利用三角函数的定义得到了任意角三角函数的两个

恒等关系，即同角三角函数的基本关系.初步体验了利用三角恒等关系可解决一

些三角求值和化简的简单问题.那接下来，从这一节课开始，我们继续探究三角

中的恒等关系.本节课我们一起研究两个角ɑ、夕的正余弦跟他们的和角ɑ+/?与

差角0.〃的余弦之间的恒等关系.

(二)合作探究，推导公式

探究一：两角差的余弦公式

问题1:对于一个角的余弦值的求解，你有什么样的方法？

预设：三角函数的定义，解直角三角形，余弦定理，平面向量的数量积等.

追问：对于一个一般性问题，如果无从下手，我们可以先从什么出发？

预设：特殊情况叶

追问：在任意角中，我们最熟悉的角是什么范围的角？/ɜʌ

预设：锐角.(

不妨先取两个锐角α、夕，且α24.根据以前的学习的经验，

研究角的三角函数我们习惯将角放入到单位圆中，如图，以XT

轴的非负半轴为角的始边，分别作出角a、β,设角a、4的终边与单位圆分别

交于点P、Q,则P(COSa,sina),β(cos∕7,sinβ),

23

追问：那同学们能否在图中找到和角α+/或差角a一夕？

预设：ZPOQ就是a—尸.那我们就先来研究差角a一夕的余弦值.

问题2：对于求差角a—尸的余弦值，你有什么样的思路？

预设：数量积，因为这里有可以将差角尸看成向量而与质的夹角，而且

向量的坐标都是已知的.

预设学生：已知角a,4的终边与单位圆分别交于点P、Q,

则P(CoSɛz,sina),Q(COS尸,sin尸)，O尸=(CoSa,sina)，OQ=(CoS],sin尸).

由数量积定义知丽.丽=|丽Il而ICoSe=CoSe=CoSQ-尸)，

由数量积的坐标表示知OPOQ=CoSaCoS尸+sinasinβ

所以COS@一户)=COSaCoSo+sinasin/?.

教师：非常棒！利用向量的数量积的坐标表示求出夹角的余弦，进而将差角

的余弦转化到了角a、夕的正余弦上，充分用好了向量这一数学工具！

问题3:那这一相等关系能否推广到角a、夕为任意角？该怎样推广到任意

角？

追问：观察推导过程，你觉得推广到任意角a、β,哪里会发生变化？为什

么？

预设：向量的夹角。与々一夕之间的关系，因为向量的夹角的范围是[0,利，a、

夕推广到任意角后，a—耳也是任意角.

追问：a、夕推广到任意角后，你觉得怎样对。一厂进行分类？

预设：先讨论0≤a-∕≤Λr,止匕时6=a一尸，还有a—£<O,a-β>π.

追问：能否利用余弦函数的性质简化分类讨论？

预设1：因为余弦函数是偶函数，所以只研究a—尸之0即可.

追问：余弦函数还是一个周期函数，这一性质对该问题的研究有什么帮助？

预设2：可以只研究a—∕e[0,2;T)时的情况，对于α一夕>2万时，都可以利用

24

周期性或者诱导公式转化到[0,2外中.

那现在，请同学们自主探究推导a—夕∈[θ,7]、a-∕∈(τr,21)时的CoSa-尸).

学生展示：

(1)若O≤a-p≤万(如图1),则所与丽的夹角。=a-/,

由数量积定义知丽•丽N而Il而IeOSe=COSe=COS@-夕)，

由数量积的坐标表不知OPOQ=COSaCoS尸+sinasinβ

所以CoS(a—I)=COSaCos∕+sinasin∕.

(2)若兀<a-/3<2兀(如图2),则加与诙的夹角。=21

由数量积定义及诱导公式知

OPOQ=∖OPlloQlCoSe=CoSe=COS2万一(a-尸)]=CoS(a-1)，

所以，同样有CoSg-/?)=CoSaCOs#+sinasin/?.

设计意图：

学生很容易忽略角的范围问题，通过师生共同思维的碰撞，使学生真正地参

与到公式推导的生成过程，体会到学习教学的乐趣.

综上，通过平面向量的数量积和三角函数的诱导公式的运算，我们推理出对

任意角a、β,这一恒等关系依然成立.这样我们就得到了两角差的余弦公式：

COSQ-/?)=COSaCOS用+sinasin/7，记作C«_/,.

思考：你还有其他证明方法吗？提示可以利用圆的性质来解决.请大家课下自主

探究.

(三)历史展示，渗透文化

历史上，数学家们也不断的探索这一公式的证明方法.据记载，能追溯到最

早的得出这一恒等关系，来自公元2世纪的天文学家、数学家托勒密.3世纪末

古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》中给出了这一公式在锐角范围下的几何证明

方法.上世纪80年代，我国科学院张景中先生开始研究用面积法解决几何证明问

题，进而形成了几何学中的新体系，并创造了几何定理机器证明的“消点法”.

25

古埃及天文学家托勒密在公元3世纪亚历山大数学家中国科学院张景中先生从上世纪

三角函数弦表中的方法帕普斯《数学汇编》中给80年代就开始研究用面积法解决几

出的证法何证明问题，进而形成了几何学中

的新体系，并创造了几何定理机器

证明的“消点法”

cos〃cosPSinɑsinB

∖∙~~—cos(a-β)—J

课下同学们不妨通过网络查阅资料，深入了解前人们探究的过程.数学家们

孜孜不倦地改进这一恒等关系的证明方法，反映了他们对于真善美的不懈追求,

体现了他们的创新精神；只要我们深入思考，努力探究，也能想数学家之所想,

在不知不觉中提升自己的数学素养!

探究二：两角和的余弦公式

问题4：在以上的基础上，怎样推导出CoS@+/?)?

预设：由于角α,尸为任意角，将加法转化成为减法，得

COS(α+尸)=Cos[α-(-/?)]=CoSaCoS(—77)+SineSin(一月)

=COSaCoS尸一SinaSin/,

所以COSQ+/?)=COSaCos∕?-SinaSin

于是，得到了两角和的余弦公式：

COSQ+4)=COSeCos/?-SinaSinp,记作C“3.

抽象概括：两角和与差的余弦公式

CoSQ+/?)=COSaCOs/-sinαsin∕?(Ca+))

CoS0—/?)=COSaCOS/+sinαsin∕(Ca-Q

问题5：你能发现两角和与差的余弦公式有什么结构特征？

公式的结构是用单角的正弦、余弦表示和角与差角的余弦.左边是和角与差

角的余弦，右边是单角余弦积与正弦积的和与差，两者之间不再是简单的线性关

系，可以简记为余余正正符号反.

设计意图：

通过师生共同发现公式的特征，便于学生的理解和记忆.

26

(四)典例剖析，深化理解

例1：利用所学公式求COSI5。.

解：方法一：cosl5o=cos(45o-30o)=cos450cos300+sin450sin300=远土也

4

方法二：cosl50=cos(600-450)=cos600cos450+sin600sin450=^^

4

设计意图：

让学生体会使用两角和与差的余弦公式求值.

冗45、

例2：已知］<β<a<»,sin(e-/7)=w，cos/7=-百.求CoSa的值.

问1：所求问题是什么？已知条件是什么？

问2：所求问题和已知条件有什么差异？

问3：该怎样从已知角转化成未知角？

问4：最终要想求值还需要什么条件？预设：CoSCa-4),sin/?

问5：该怎样得到COs(α-4),sin/7的值？

问6：求CoS(α-万),sin分的过程中，正负符号怎么确定？

小结：(1)平方关系的应用，已知角和未知角的关系；

(2)公式中的角可以有各种变化，可以是角、数、式；

(2)化归与转化；

设计意图：

已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角

与所求表达式中角的关系.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据

需要灵活运用角的变换.

(五)课堂小结，形成结构

1、本节课学习了哪些知识？

2、我们是按照什么路径对两角和与差的余弦公式进行探究的？在这个过程

中用到了哪些思想方法？

设计意图：

让学生通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程的理解.

27

七、作业设计，巩固提升

巩固作业：

必做题:P145小练习1,2,3,4

选做题：尝试利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦

公式.

探究作业：

根据两角和与差的余弦公式，结合已有知识，自主预习两角和与差的正

弦、正切公式.

八、板书设计

4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用

一、引入二、和差公式：

CQSQ+/7)=cos6zcos∕?-sin<zsinβ

COSQ一夕)=COSaCoS夕+sinαsinβ

例1例2

28

第四课时两角和与差的正弦、正切公式及其应用

红旗中学王佳

一、课时内容解析

两角和与差的正弦、正切公式及其应用是北师大版数学必修第二册第四章三

角恒等变换第二节第二课时的内容。三角恒等变换是三角函数的重要组成部分，

它是在两角和与差的余弦公式的基础上的延伸，也是后续推导二倍角公式，叠加

公式，和差化积、积化和差公式的基础。

两角和与差的正弦、正切公式及其应用是在研究了两角和与差的余弦公式的

基础上，进一步研究两角和与差的正弦、正切与两角的正余弦的关系，也为后续

的二倍角公式，叠加公式，和差化积、积化和差公式的推出，奠定基础。

二、课时学情分析

在知识方面，学生已经学习了诱导公式和两角和与差的余弦公式，并能应用

这些公式解决简单问题。能力方面，学生已经经历了一些公式的推导，具备一定

的逻辑推理能力，也具备一定的数学运算的能力。基本经验积累方面，学生通过

前期的学习已经意识到高中的三角恒等变换需要研究正弦、余弦和正切，也认识

到三者是有紧密联系的，而上一节课刚刚学习了两角和与差的余弦公式，后续应

该学习两角和与差的正弦和正切，才能得到完整的知识体系。

三、课时教学目标

1.经历由两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式的过程,

认识公式的结构特征，培养学生的转化思想，发展学生逻辑推理的核心素养；

2.在运用两角和与差的正弦、正切公式解决简单问题的过程中，理解公式的

正用、逆用以及角的变换的常用方法,感受方程思想,提升数学运算的核心素养。

四、课时教学重点难点

重点：两角和与差的正弦、正切公式的探究及其简单应用。

难点：正切公式的推导。

五、课时教学方法

引导发现式教学

六、课时教学内容与过程

（一）导入新课

29

上节课我们利用向量证明了两角和与差的余