2022-2023学年山东省济宁市汶上县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济宁市汶上县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.化简（、「耳）2的结果是（）

A.3B.6C.9D.

2.下列二次根式中，能与，攵合并的是（）

A.√^l8B.<12C.√-T7D.√^l2

3.在平面直角坐标系中，点4（-2,1）到原点的距离为（)

A.2B.1.C.√-5D.3

4.在△4BC中，44、NB、NC的对边分别为a、b、c,若a?=b2+c2,则()

A.∆A=90°B.乙B=90°C.

5.如图，己知四边形ABCD是平行四边形,

的是（）

A.当ZB=BC时，它是菱形

B.当AClB。时，它是菱形

C.当NABC=90。时，它是矩形

D.当AC=BD时，它是正方形

6.若J(3-b)2=3-b,则()

A.b>3B.ð<3C.b≥3D.b≤3

7.如图，菱形4BC0中，NB=60。,AB=4,则以HC为边长

的正方形ACEF的周长为（）

A.14

B.15

C.16

D.17

8.如图，一只蚂蚁从长、宽都是4,高是6的长方体纸箱的4点沿纸箱爬到B点，那么它所行

的最短路线的长是（）

A.9B.10C.4√7D.2√T7

9.如图，。是△4BC内一点，BD1CD,BD=4,CD=3,四边形EFGH

的周长为11,E、F、G、”分别是4B、AC.CD、BD的中点，AD的长

为（）

A.6

B.5

C.4

D.7

B

10.如图，在Rt△4BC中，∆BAC=90°,且AB=5,AC=12,点。是斜边BC上的一个动

点,过点。分别作。MIAB于点M,DNIAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为（）

C60

A.5B.12C13D.13

—、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.已知二次根式1口有意义，请写出一个符合条件的整数ɑ的值为

2

12.己知一个菱形的两条对角线长分别为6cτn和8cm,则这个菱形的面积为Cmj

13.如图所示，平行四边形ABC。中，顶点4、B、。在坐标轴

上,AD=5.AB9,点4的坐标为（一3,0）,则点C的坐标为

14.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公

式,称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是α,b,c,记p=gt,那么

三角形的面积为S=JP(P-α)(p-b)(p一C).如果在△ABC中,∆A,Z.B,4C所对的边分别

记为α,b,c,若α=5,b=6,c=7,则△力BC的面积为.

15.如图，正方形ABCD的边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边作第3个

正方形尸CGH,…，按照这样的规律作下去，则第7个正方形的边长为

三、解答题(本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题6.0分)

计算：

(1)3√-2+√3-2。-3√^;

(2)∫∣×>∏L2+√-24÷AΛ3+(√^^-1)2∙

17.(本小题6.0分)

先化简，再求值：(1+ɑ)(l—ɑ)+ɑ(ɑ—1)>其中α=，""§+1.

18.(本小题7.0分)

如图，在口ABCD中，点E,F分别在BC,AD±.,HDF=BE.

求证：四边形AECF是平行四边形.

19.(本小题8.0分)

如图，把矩形纸片ABCD进行折叠.

图1

(1)如图1,若折叠后C点和A点重合，折痕交边BC,AD分别于点E,F,连接AC,EF交于点0.

求证：四边形ZEC尸为菱形;

(2)如图2,若折叠后C点落在边AD上的N点处，折痕BM交边CD于点M.已知该矩形纸片的长BC

为IOe血，宽AB为6cm.求CM的长.

20.(本小题8.0分)

如图，BN,CM分别是AABC的两条高，点。，E分别是BC,MN的中点.

(1)求证：DE1MN；

(2)若BC=26,MN=I0,求DE的长.

21.(本小题9.0分)

【阅读理解】

在二次根式中，常有相辅相成的“对子”，他们的乘积为有理数.

如：(2+C)(2-C)=I,(ʌf亏+，父)(，亏一。)=3，它们的乘积中不含根号，我们

就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个因式是另一个因式的有理化因式.于是，二次

根式的除法可以这样解答：

---

11×√3V~32+V~3_(2+√3)(2+√3)_π,λΓ~^

√=5=√3×<3=~T'2^73=(2-vf(2+O=/十—6

像这样通过分子、分母同乘一个不为零的式子把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化.

【解决问题】

(1)将盍分母有理化的结果为；

________________11j

(2)已知：x=y∕~7+ΛΛ^6,y=>∕~7—√-6,求:的值；

χy

(3)根据以上经验可得：

αι=7⅛=Cτ

。2=√=⅛∏=C-C,

。3=3=2一口

。4=$=门一2,

按照上述规律，请直接写出的++。3+…+。2022的值.

22.(本小题11.0分)

如图1,点E,F,M,N分别是正方形纸片ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=ON.

(1)求证：四边形EFMN是正方形；

(2)把图1中的四个直角三角形剪下来，拼成图2所示的“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角

形与中间的小正方形拼成的一个大正方形).我们知道，勾股定理的证明，人们已经找至IJ了400

多种方法，请结合图2,利用所学知识证明勾股定理，写出推导过程；

(3)若正方形纸片4BC0的边长为4,EN=CU,求图2中中间小正方形的面积.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：（，？）2=3.

故选：A.

直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案.

此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

2.【答案】A

【解析】解：4G=3C能与。合并，本选项符合题意；

B、不能与√^N合并，本选项不合题意；

C、√^7=3C,不能与/1合并，本选项不合题意：

。、√^I2=2^3,不能与，无合并，本选项符合题意；

故选：A.

根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可.

本题考查的是同类二次根式，掌握二次根式的性质、同类二次根式的概念是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：••・点A（-2,l）,

.∙.点4（一2,1）到原点的距离为J（一2）2+12=√-5,

故选：C.

根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.即如果直角三角形的两条直角边长分别是α,b,斜边长为c,那么α2+X=c2.

4.【答案】4

【解析】解：•••乙4、4B、NC的对边分别为a、b、c,a2=b2+c2,

.∙.∆A=90o,

∙.∙乙4+/B+a=180°,

∙∙.乙B+Z.C=90o=∆A,

故选:A.

根据勾股定理的逆定理得出乙4=90°,再得出选项即可.

本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定

理是解此题的关键，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边C的平方，那么这

个三角形是直角三角形，②三角形内角和等于180。.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，

此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错.

根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平

行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形.

【解答】

解：4、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形4BC0是平行四边形，当4B=BC时，它

是菱形，故A选项正确；

四边形力BCD是平行四边形，设Ae和BD交于。点，；.BO=OD,∙:AC1BD,：.AB2=BO2+AO2,

AD2=DO2+AO2,

.∙∙4B=4。，四边形ABCO是菱形，故B选项正确；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；

。、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=B。时，它是矩形，不是正方形，故。选项

错误；

综上所述，符合题意是。选项；

故选：D.

6.【答案】D

【解析】解：Tʌ/(3—b)2=3—b，

3-ð≥0>

解得b≤3.

故选O.

本题考查了二次根式的性质：√^^α≥0(α≥0),I滔=a(a≥0).

等式左边为非负数，说明右边3-b≥0,由此可得b的取值范围.

7.【答案】C

【解析】解：••・四边形ABCD是菱形，

AB-BC，

,,,Z.B=60°,

∙,∙∆ABC是等边三角形，

.∙∙AC=AB—4,

正方形ACEF的周长是4C+CE+EF+AF=4×4=16,

故选：C.

根据菱形得出4B=BC,得出等边三角形A8C,求出AC,长，根据正方形的性质得出4尸=EF=

EC=AC=4,求出即可.

本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出ZC的长.

8.【答案】B

22

【解析】解：如图(1)，AB=√4+(6+4)=λ∏L16;

如图(2),AB=√62+(4+4)2=√ΠΓOO=10.

将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求.

此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段

最短是解题的依据.

9.【答案】A

【解析】解：•••BDLCD,BD=4,CD=3,

BC-5,

”E、F、G、H分别是48、AC.CD、BD的中点，

ʌEF∕∕HG,EF=HG=3BC=；,

.•・四边形EFGH是平行四边形，

••・四边形EFGH的周长为11,

11-5

ΛFF=FG=1^2=3,

••・AD-2GF=6,

故选：A.

首先利用勾股定理求得BC的长，然后判定四边形EFGH是平行四边形，根据周长为11求得EH=

FG=3,然后利用三角形中位线定理求得答案即可.

考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，解题的关键是利用勾股定理求得BC的长并利用

中位线定理求得HG的长，难度中等.

io.【答案】c

【解析】解：连接4D,

V∆BAC=90°,且84=5,AC=12,

.∙.BC=√BA2+AC2=13.

∙.∙DMLAB,DNIAC,

ʌ∆DMA=Z-DNA=/.BAC=90°,

二四边形DMAN是矩形，

.∙.MN=AD,

二当4。，BC时，力。的值最小，

此时，△4BC的面积=TABXAC=^BCX4D,

∙∙∙MN的最小值为署

故选：C.

由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD,根据垂线段最短和三角形

面积即可解决问题.

本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

11.【答案】3（答案不唯一）

【解析】解：由题意可知：α-2≥0,

a≥2,

■■■ɑ的值可取3.

故答案为：3（答案不唯一）.

根据二次根式的有意义的条件解答即可.

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

12.【答案】24

【解析】解：••・一个菱形的两条对角线长分别为6cτn和8cm,

二这个菱形的面积=I×6×8=24（CnI2）.

故答案为：24.

根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可.

本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键.

13.【答案】（9,4）

【解析】解：♦.•四边形ABCD是平行四边形，

•••CD=AB=9,

•••点4的坐标为（-3,0）,

.∙∙OA=3,

.∙.OD=√AD2-OA2=√52—32=4,

•••点C的坐标为(9,4).

故答案为：(9,4).

由平行四边形的性质得出CD=AB=9,由勾股定理求出OD,即可得出点C的坐标.

本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾

股定理求出。。是解决问题的关键.

14.【答案】6V^-6

【解析】解：rα=5,b=6,c=7,

则S=λ/p(p—a)(p—h)(p—c)=√9×4×3×2=6V-6∙

故答案为：6yJ~6∙

根据α,b,C的值，求出P的值，代入公式计算即可求出S.

此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

15.【答案】8

【解析】解：•••第1个正方形的边长AB=1,

・•・根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC=yΓ2,

根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF=(42)2,

根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF=(√N)3,

根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN=(，9)4,

根据勾股定理得，第n个正方形的边长=(/2尸-1,

;第7个正方形的边长为：(√N)7T=8.

故答案为：8.

根据勾股定理得出正方形4BCD的对角线是边长的，至，从而得到正方形ACEF的边长，找到规律

即可得出答案.

本题考查了图形的变化规律，由一般情况探索出规律是解题的关键.

16.【答案】解：(1)3<7+-2√^2-3√^3

=(3<2-2ΛΓ2)+(y∕~3-3√^3)

=√^^2—2y∕~3ι

(2)ʃɪX√12+√^^4÷<3+-I)2

=J∣×12+√24÷3+(2-+1)

——。~4+ʌ/~8+2-2、~2+1

=2+2√"Σ+2-2y∏.+1

=5.

【解析】(1)根据加法的交换律和结合律将同类二次根式放在一起，然后合并同类项二次根式即可;

(2)先算完全平方，再算乘除法，然后合并同类项和同类二次根式即可.

本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键,注意完全平方公式的应用.

17.【答案】解：原式=I-a?+a?—α

=1—α,

当a=U+1时，

原式=I-(C+1)

=1—V—5—1

=­V-5.

【解析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则计算，去括号、合并同类项得到最简结果，

把a的值代入计算即可求出值.

此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则是解本题的关键.

18.【答案】证明：••・四边形ABCD平行四边形，

ʌAD—BC.

又∙.∙BE=DF,

.∙.AF=EC.

X∙.∙AF//EC,

••・四边形4ECF是平行四边形.

【解析】根据平行四边形的判定与性质，可得出四边形AECF是平行四边形.

此题主要要掌握平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.

19.【答案】(1)证明：矩形4BCD折叠使4C重合，折痕为EF,

・•・OA=OC,EF1ACfEA=EC,

VAD//BC,

：•Z-FAC=∆ECA,

:∙bAOF三4COE(ASA)9

：・OF—OE,

•・・Oa=oc,

四边形AECF为平行四边形，

∙.∙AC1EF,

四边形AEC尸为菱形.

(2)解：根据折叠可知，BN=BC=10cm,CM=MN,

在RtΔBaN中，AN=√BN2-AB2=√IO2-62-8(cτn),DN=Io-8=2(cτn),

在RtAMON中，MN2=DN2+DM2.

CM=MN,DM=CD-CM=6-CM.

.∙.CM2=22+(6-CA/)2,

解得CM=学，

答：CM的长是当cm.

【解析】(1)根据折叠的性质得。4=0C,EF1AC,EA=EC,再利用BC得到4%C=∆ECA,

则可根据“AS4”判断A∕10F三△COE,得到。F=0E,OA=0C,AC1EF,根据菱形的判定方

法得到四边形AECF为菱形；

(2)在RtABHN中，根据勾股定理可求4N,进一步得到。N,再在Rt△例DN中，根据勾股定理可

求CM的长.

本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，

掌握菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

20.【答案】（1）证明：如图，连接。M,DN,

•：BN、CM分别是AABC的两条高，

：.BNI.AC,CMIAB,

■■■∆BMC=乙CNB=90°,

D是BC的中点，

.∙.DM=^BC,DN=^BC,

.∙.DM=DN,

∙∙∙E为MN的中点，

ʌDEIMN；

（2）解：•••BC=26,

.∙.DM=；BC=13,

•・,点E是MN的中点，MN=10,

.∙.ME=5,

由勾股定理得：DE=√DM2-ME2=12.

【解析】（1）连接DM,DN.根据直角三角形的中线得到DM=DN,根据等腰三角形的性质证明即

可；

（2）根据勾股定理计算，得到答案.

本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握宜角三角形中，斜边上的

中线等于斜边的一半是解题的关键.

21.【答案】£1

【解析】解：（1）原式=总为=号；

故答案为：?；

(2)∙.∙χ=<7+√^^6,y=y∏-√^^6,

.∙.x+y=√^7+√^6+√7-√-6=2/7，xy=(/7+√-6)X(√^7-√-6)=7-6=1»

则原式=W=2/7；

(3)原式=√-2-l+√3-√^+2-√^3+√^5-2+∙∙∙+√2022-√2021+√2023-

√2022=√2023-1.

(1)原式分母分母同时乘门，计算即可得到结果；

(2)原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，把久与y的值代入计算即可求出值；

(3)各项分母有理化后，合并即可得到结果.

此题考查了二次根式的化简求值，规律型：数字的变化类，平方差公式，分式的加减法，分母有

理化，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键.

22.【答案】(1)证明：・••四边形ABCD是正方形，

ʌAB=BC=CD=DAf

乙A=乙B=乙C=乙D=90°,

•：AE=BF=CM=DN,

AN=DM=CF=BE,

•・•∆A=∆B=∆C=Z-D=90°,

・•・△AENzADMN=LCFM≡ΔBEF(SAS),

.・.EN=NM=MF=EF,乙ENA=乙DMN,

・•・四边形EF