第三章：函数的概念与性质章末重点题型复习（解析版）

第三章：函数的概念与性质章末重点题型复习题型一函数概念的辨析【例1】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（）A．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同D．表示当时，函数的值，这是一个常量【答案】AD【解析】对A，函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征，A正确；对B，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数，定义域为，值域为，B错误；对C，当x不同时，函数y的值可能相同，如函数，当和时，y都为1，C错误；对D，表示当时，函数的值是一个常量，D正确.故选：AD【变式1-1】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数【答案】ABD【解析】对于A、B选项：由依赖关系及函数关系的定义知A、B正确；对于C、D选项：如，则，不是函数关系，所以C错误，D正确．故选：ABD.【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）如图图形，其中能表示函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与对应，由图可知，ACD三个选项不符合函数的定义，B选项符合函数的定义.故选：B.【变式1-3】（2023秋·安徽淮南·高一校考期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，为定义域，值域为N的子集A：图象中定义域范围有误，不符合；B：满足从集合M到集合N的函数关系，符合；C：图象中值域不为集合N的子集，不符合；D：由函数定义域内任意自变量有且仅有唯一函数值与之对应，图象存在一个x对应两个y值情况，不符合.故选：B【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；对于C选项，当时，不存在，不是函数；对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.故选：A题型二判断是否为同一个函数【例2】（2023·全国·高一专题练习）下列各组函数是同一函数的是（）①与.②与.③与.④与.A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】C【解析】①中，函数的定义域为，函数的定义域为，但与的对应关系不一致，所以①不是同一函数.②中，函数与的定义域都是，但与的对应关系不一致，所以②不是同一函数.③中，函数与的定义域都是，且与的对应关系一致，所以③是同一函数.④中，函数与的定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选：C.【变式2-1】（2023秋·广西河池·高一校联考阶段练习）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．和B．C．D．和【答案】D【解析】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于B，因为定义域为，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于C，因为定义域为，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于D中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；故选:D.【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的定义域为；对于A中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；对于B中，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数；对于C中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；对于D中，函数与的定义域都是，且对应关系都相同，所以是同一函数.故选：D.【变式2-3】（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A．与B．与C．与D．与【答案】AC【解析】对于选项A：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数；对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数；对于选项C：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D：函数的定义域为或，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故选：AC【变式2-4】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）（多选）下列各组函数表示相同函数的有（）A．B．C．D．，【答案】ACD【解析】对于A，可知两个函数的定义域均为R，且，故A正确；对于B，的定义域为，的定义域为，故B错误；对于C，的定义域为，的定义域为，且,故C正确；对于D，可知两个函数的定义域均为R，且，故D正确．故选：ACD．题型三求函数的定义域【例3】（2023秋·浙江台州·高一路桥中学校考阶段练习）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域满足：，解得且.故选：D【变式3-1】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，解得，则定义域为，故选：C.【变式3-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，解得，故函数的定义域为.【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为，故选：D【变式3-4】（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的定义域为，可得函数的定义域为，函数，可得解得，所以函数定义域为．故选：D．题型四求函数的解析式【例4】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】，且，所以，.故选：B.【变式4-1】（2023秋·浙江台州·高一校考阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，所以，故，故选：C.【变式4-2】（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知二次函数，满足，.则.【答案】【解析】因为，所以，而，又因为，所以，解得，因此的解析式为.【变式4-3】（2023秋·湖北荆门·高一校考阶段练习）已知满足，则解析式为．【答案】【解析】由

①用代可得，

②由①②可得：【变式4-4】（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）（1）已知是一次函数，，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由题意，设函数为，，即，由恒等式性质，得，所求函数解析式为（2），①，②②①得：，．（3）令，则，因为，所以，所以．题型五判断函数的单调性【例5】（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．和【答案】D【解析】的定义域为，由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，故选：D【变式5-1】（2023秋·江西上饶·高一校考阶段练习）下列函数在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，在上单调递减，故A错误；对于B，易知开口向上，对称轴为，所以在区间上单调递增，故B正确；对于C，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故D错误.故选：B.【变式5-2】（2023秋·天津宝坻·高一校考阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为.【答案】，【解析】当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为；当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为.综上，的单调递增区间为，.【变式5-3】（2022秋·高一校考课时练习）函数的单调区间是．【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】，画出函数图象如下：可得单调递增区间为，单调递减区间为.【变式5-4】（2023秋·浙江台州·高一统考期末）（多选）已知，都是定义在上的增函数，则（）A．函数一定是增函数B．函数有可能是减函数C．函数一定是增函数D．函数有可能是减函数【答案】ABD【解析】对于A，设，设，则又由都是定义在上的增函数，则且，所以，故函数一定是增函数，A正确；对于B，设，此时为减函数，B正确；对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；对于D，当时，函数为减函数，D正确.故选：ABD.【变式5-5】（2023·全国·高一课堂例题）求函数的单调递减区间．【答案】函数的单调递减区间为，【解析】方法一（定义法）由题意知函数的定义域是，设，是区间上的任意两个实数，且，则，，∵，，∴，，，，∴，即，∴函数在上单调递减．同理可得，函数在上单调递减．综上可得，函数的单调递减区间为和．方法二（分离常数法）由题意知函数的定义域是，函数可变形为，此时，求函数的单调区间转化为求函数的单调区间．由，知，则函数在和上均单调递减．故函数的单调递减区间为，．题型六根据函数的单调性求参数【例6】（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，函数是实数集上的减函数，所以在时，随的增大而减小，符合题意，当时，二次函数的对称轴为，因为在时，随的增大而减小，所以有，综上所述：的取值范围是，故选：D【变式6-1】（2023秋·辽宁鞍山·高一校考阶段练习）函数在区间上具有单调性，则的取值范围为．【答案】或【解析】因为的对称轴为，且开口向上，又函数在区间上具有单调性，所以或【变式6-2】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）“”是“函数在上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出；反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出，则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，故选：B.【变式6-3】（2023秋·山西太原·高一校考阶段练习）（多选）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因为函数是上的减函数，则函数在上为减函数，则，可得，函数在上为减函数，则，且有，解得.综上所述，.故选：ACD.【变式6-4】（2023秋·辽宁鞍山·高一校考阶段练习）（多选）设函数，当为增函数时，实数的值可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】AB【解析】依题意，当时，为增函数，则，当时，为增函数，则，又为增函数，则，解得，综上：，所以AB正确，CD错误.故选：AB.题型七求函数的最值/值域【例7】（2023秋·福建厦门·高一校考阶段练习）函数的值域是（）A．B．C．0D．【答案】D【解析】函数的定义域满足，解得或，所以函数的定义域为，当时，当时，所以函数的值域是.故选：D【变式7-1】（2023秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）函数的值域（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，设，则原问题转化为求函数的值域，因为函数在为减函数，由，得，即值域为，故选：C.【变式7-2】（2023秋·广西柳州·高一校考阶段练习）函数的值域为.【答案】【解析】由，则的值域为.【变式7-3】（2023秋·山东临沂·高一校考期中）设，则函数的最大值为.【答案】【解析】令，解得，令，解得，令，解得，所以，当时，，当时，，当时，，所以的最大值是.综上所述，的最大值是.【变式7-4】（2023秋·浙江金华·高一校考阶段练习）求下列函数的值城（1）y＝（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，则，即原函数值域为，（2）设，则且，得．因为，所以，即该函数的值域为．题型八判断函数的奇偶性【例8】（2023秋·甘肃天水·高一校考期末）下列函数是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，，故为奇函数，对于B，，故为奇函数，对于C,，故为奇函数，对于D，，故为偶函数，故选：D【变式8-1】（2022秋·黑龙江佳木斯·高一校考期中）下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A，是偶函数，是偶函数，则是偶函数；选项B，，且定义域为，则函数为奇函数；选项C，函数定义域不是关于原点对称的区间，则函数是非奇非偶函数；选项D，是奇函数，是偶函数，则函数是非奇非偶函数.故选：B.【变式8-2】（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数为奇函数，则，则，即函数为偶函数；若函数)为偶函数，则，则，即函数为奇函数，故为奇函数是为偶函数的充分必要条件，故选：A．【变式8-3】（2023秋·高一课时练习）（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据奇函数的定义逐个分析判断即可【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，令，对于A，的定义域为，因为，所以是奇函数，所以A正确，对于B，的定义域为，因为，所以为偶函数，所以B错误，对于C，的定义域为，因为，所以，，所以为非奇非偶函数，所以C错误，对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数，故选：AD【变式7-4】（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．是偶函数B．是偶函数C．是偶函数D．是偶函数【答案】ABD【解析】因为满足，所以是偶函数；因为满足，所以是偶函数，因为满足，所以是奇函数；因为满足，所以是偶函数；故选：ABD．题型九利用奇偶性求值或求参【例9】（2022秋·福建泉州·高一校考期中）若是偶函数，则（）A．2B．1C．1D．3【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，即，所以，则，解得.故选：A【变式9-1】（2023秋·全国·高一专题练习）若是奇函数，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】是奇函数，则，，即，解之得，则，经检验是奇函数.故选：B【变式9-2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则．【答案】-3【解析】因为函数是定义域为R的奇函数，所以，，所以．【变式9-3】（2023秋·上海普陀·高一校考期末）函数，其中､､是常数，且，则．【答案】【解析】依题意，，，所以，所以.【变式9-4】（2023秋·吉林长春·高一校考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得，则．因为是奇函数，所以，即，因为，解得，所以，所以.故选：D．【变式9-5】（2023秋·辽宁鞍山·高一校考阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，令，则其定义域为，又，所以为奇函数，则，所以，则.故选：B.题型十利用函数奇偶性求解析式【例10】（2023·全国·高一专题练习）已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（）A．B．C．D．以上都不对【答案】A【解析】设，则，又.故选：A【变式10-1】（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则.可得，又函数f(x)是奇函数．∴，∴.故选：B.【变式10-2】（2023秋·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．【答案】【解析】因为当时，，所以因为是R上的偶函数，所以，，所以.【变式10-3】（2022秋·全国·高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，当，.（1）求的值；（2）求在内的解析式.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）根据题意，当，，则，是奇函数，则．（2）令，则，由已知，∵是奇函数，∴当时，，∴【变式10-4】（2023·全国·高一专题练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，则，∴，又∵函数是定义域为R的奇函数，∴，∴当时，.又时，，所以；（2）∵是偶函数，是奇函数，，∴．则即，解之得.题型十一利用单调性和奇偶性解不等式【例11】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数是单调递增函数，是偶函数，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是偶函数，且，，又因为在上是单调递增函数，当时，；当时，，当时，，则，此时，不成立，当时，，则，此时，成立，当时，，则，此时不成立，且或时，，成立，综上，的解集为，故选：B.【变式11-1】（2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数，若的图象关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，因为，所以，由，得，即，因为的图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以为奇函数，即，因为，所以为奇函数，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，得，即不等式的解集为.故选：D【变式11-2】（2023·全国·高一专题练习）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】奇函数在上为增函数，所以，即，又，则，大致图象如右，所以当时，.故选：B.【变式11-3】（2023秋·江西上饶·高一校考阶段练习）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为定义在的奇函数在单调递减，且，所以在单调递减，且，所以当，，当，，所以若，则或或或或解得或，所以x的取值范围是.故选：C【变式11-4】（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数是定义在实数集上的偶函数，在区间上是严格减函数，故函数在上单调递增，且，当时，由，即，得到或（舍弃），所以，当时，由，即，得到，所以，综上所述，或，故选：B.题型十二利用单调性和奇偶性比较大小【例12】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以，，因为当时，是增函数，又，所以，即，故选：A.【变式12-1】（2023秋·全国·高一专题练习）已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函数为偶函数，故，且在上单调递减，所以，即，故选:D．【变式12-2】（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，函数满足，，则有，变形可得，则有，即函数是周期为4的周期函数，对称轴为，在内单调递增，所以在内单调递减，，，因为，所以，即.故选：.【变式12-3】（2023春·安徽芜湖·高一校考期中）已知函数是偶函数，且在单调递增，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是偶函数，则关于对称，又因为在单调递增，则在上单调递减，所以，根据函数关于对称，可知，，则，只有D正确.故选：D【变式12-4】（2022秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知函数对于任意都有，，且在区间上是单调递增的，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以的周期为2，因为，所以为偶函数，所以，，因为在区间上是单调递增的，所以，所以，故选：D题型十三利用函数的周期性求值【例13】（2022春·四川南充·高一校考开学考试）已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则．【答案】1【解析】因为函数是偶函数，所以，所以，因为，所以，所以所以，所以函数的周期为4，所以.【变式13-1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）设是定义在R上的奇函数，且，则.【答案】0【解析】因为是定义在R上的奇函数，且，所以，即，所以函数周期为，由是定义在R上的奇函数知，，在中，令可得，又，所以.【变式13-2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（）①②③④A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因为是奇函数，所以，故，，又因为是偶函数，则，，所以，，所以，即函数的周期为8，由可得，由可得，对于①，，正确；对于②，，正确；对于③，，正确；对于④，，正确；故选：D.【变式13-3】（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）（多选）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】为奇函数，，即，令，则，解得：；为偶函数，，即，，即，，是以为周期的周期函数；对于A，由知：，A正确；对于B，，的值无法确定，的值无法确定，B错误；对于C，由A知：，C正确；对于D，，的值无法确定，的值无法确定，D错误.故选：AC.题型十四幂函数的图象及应用【例14】（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关，故幂函数（是常数）的图象一定经过点，故选：B【变式14-1】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则（）A．B．C．4D．8【答案】C【解析】因为函数是幂函数，所以设，代入，得，解得，所以，所以.故选：C.【变式14-2】（2022秋·山西阳泉·高一校考期末）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点则，又则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，点C在幂函数图像上，则曲线对应的指数分别为故选：D【变式14-3】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）（多选）关于幂函数是常数），结论正确的是（）A．幂函数的图象都经过原点B．幂函数图象都经过点C．幂函数图象有可能关于轴对称D．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A：幂函数不经过原点，A错误对于B：对于幂函数是常数），当时，，经过点，B正确；对于C：幂函数的图像关于轴对称，C正确；对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确.故选：BCD.【变式14-4】（2022秋·福建福州·高一校考期中）（多选）下列说法正确的是（）A．若幂函数的图象经过点，则解析式为B．若函数，则在区间上单调递减C．幂函数始终经过点和D．若幂函数图像关于轴对称，则【答案】CD【解析】A选项，设，将代入，，即，解得，故解析式为，A错误；B选项，因为，所以在上单调递减，又定义域为，，故为偶函数，故在上单调递增，B错误；C选项，因为，所以，，故幂函数始终经过点和，C正确；D选项，由题意得，解得或，当时，为偶函数，满足图像关于轴对称，当时，为奇函数，不满足图像关于轴对称，舍去，其中恒成立，故，又在上单调递增，故，D正确.故选：CD题型十五幂函数的性质及应用【例15】（2022秋·重庆万州·高一校考阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】幂函数在上单调递增，值域为，由，则，又，所以.故选：D【变式15-1】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，则，解得，故.（2）由（1）可知，对任意的恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，因此，实数的取值范围是.【变式15-2】（2023秋·