数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-转化与化归

第七讲转化与化归可化为一元二次方程的方程及方程组数学(家)特有的思维方式是什么?假设从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，假设从“转化”这个侧面又该如何答复?匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”

转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的根本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．

【例题求解】

【例1】关于的方程有实数根，假设所有的实数根的积为－2，那么所有实数根的平方和为。思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。【例2】方程的解的情形是〔〕A、无解B、恰有一个解C、恰有两个解D、有无穷多个解思路点拨：由配方法得，即，通过讨论去掉绝对值符号。【例3】解以下方程：〔1〕〔河南省竞赛题〕〔2〕；〔山东省竞赛题〕〔3〕；〔“祖冲之杯”邀请赛试题〕〔4〕〔西安市竞赛题〕思路点拨：按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于〔1〕，利用倒数关系换元；对于〔2〕，从受到启示；对于〔3〕，设，那么可导出、的结果；对于〔4〕，视，为整体，可得到、的值。【例4】解以下方程〔组〕：〔1〕、〔克罗地亚奥林匹克试题〕〔2〕〔2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题〕非等价转化【例5】假设关于的方程只有一个解〔相等的解也算作一个〕，试求的值与方程的解。分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的根底上求出的值。学力训练1、方程的解是。〔威海市中考题〕2、方程的整数解是。〔天津市中考题〕3、用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为〔〕A、B、C、D、5、关于的方程的解是负数，那么的取值范围是〔〕。A、B、且C、D、且〔山西省中考题〕6、以下方程有实数解的是〔〕A、B、C、D、〔潍坊市中考题〕7、解方程组〔2011年上海市中考题〕8、解以下方程：〔1〕〔上海市中考题〕〔2〕〔苏州市中考题〕〔3〕〔天津市中考题〕〔4〕9、〔1〕求方程所有实数根的积。〔日本数学奥林匹克试题〕〔2〕解方程组〔太原市竞赛题〕能力拓展：10、解方程得。〔“祖冲之杯”邀请赛试题〕11、方程的解是。〔第16届江苏省竞赛题〕12、假设实数、满足，那么＝。〔第20届江苏省竞赛题〕13、假设实数、、满足方程组，那么〔〕A、B、C、D、14、如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么实数的值为〔〕A、3B、4C、5D、6〔四川省竞赛题〕15、关于的方程仅有两个不同的实根，那么实数的取值范围是〔〕。A、B、C、D、〔全国初中数学联赛〕16、解以下方程〔组〕：〔1〕〔2011年青少年数学国际城市邀请赛〕〔2〕〔3〕〔德国数学奥林匹克试题〕〔4〕〔太原市竞赛题〕〔5〕〔加拿大数学奥林匹克试题〕17、对于实数，只有一个实数值满足等式，试求所有这样的实数的和。〔第19届江苏省竞赛题〕综合创新：18、关于、的方程组有整数解，求满足条件的质数。