湖南省衡阳市县滨江中学高二数学理联考试卷含解析

湖南省衡阳市县滨江中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=22，平面上有A（1，0），B（﹣1，0）两点，点Q在圆C上，则△ABQ的面积的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出Q到AB的最大距离，即可求出△ABQ的面积的最大值．【解答】解：由题意，Q到AB的最大距离为4+2=6，∵|AB|=2，∴△ABQ的面积的最大值是=6，故选：A．2.若关于x的方程在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A.(－4,0]∪[1,28) B.[－4,28] C.[－4,0)∪(1,28] D.(－4,28)参考答案：C原方程可化为,令,故函数在上递减,在上递增,画出函数的图像如下图所示,.由图可知,的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数零点问题,求出参数的取值范围.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．3.在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过给x赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4.若双曲线的顶点为椭圆2x2+y2=2长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A．x2﹣y2=1 B．y2﹣x2=1 C．y2﹣x2=2 D．x2﹣y2=2参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】化椭圆方程为标准方程，求出长半轴长及离心率，得到双曲线的实半轴长及离心率，进一步求得双曲线的半焦距，结合隐含条件求得虚半轴长，则双曲线方程可求．【解答】解：由椭圆2x2+y2=2，得，∴a2=2，b2=1，则，a=．则e=，∴双曲线的实半轴长m=，离心率e′=，则双曲线的半焦距c′=，则虚半轴长n=．∴双曲线的方程为，即y2﹣x2=2．故选：C．5.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=(

)A．3 B．6 C．9 D．12参考答案：B【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由，解得y=±3，所以a（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6.设、为两个不同的平面，、、为三条互不相同的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若、是异面直线，，且，，则．其中真命题的序号是（

）A．①③④

B．①②③

C．①③

D．②④参考答案：A7.在中，，则Ｂ的值为（

）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A8.双曲线的渐近线方程为（）A、

B、

C、 D、参考答案：D9.已知函数在处的导数为1，则(

)

A．3

B．

C．

D．参考答案：B10.函数的部分图像可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A（0，﹣1），B（3，0），C（1，2），平面区域P是由所有满足=λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的点M组成的区域，若区域P的面积为6，则m+n的最小值为．参考答案：4+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】设M（x，y），作出M点所在的平面区域，根据面积得出关于m，n的等式，利用基本不等式便可得出m+n的最小值．【解答】解：设M（x，y），，；∴，；令，以AE，AF为邻边作平行四边形AENF，令，以AP，AQ为邻边作平行四边形APGQ；∵；∴符合条件的M组成的区域是平行四边形NIGH，如图所示；∴；∴；∵；∴；∴3≤（m+n﹣4）2；∴；∴m+n的最小值为．故答案为：4+．12.已知空间四个点A（1，1，1），B（﹣4，0，2），C（﹣3，﹣1，0），D（﹣1，0，4），则直线AD与平面ABC所成的角为．参考答案：30°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角；空间向量及应用．【分析】由已知求出和平面ABC的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成的角的大小．【解答】解：∵空间四个点A（1，1，1），B（﹣4，0，2），C（﹣3，﹣1，0），D（﹣1，0，4），∴=（﹣2，﹣1，3），=（﹣5，﹣1，1），=（﹣4，﹣2，﹣1），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣3，2），设直线AD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ====，∴θ=30°．∴直线AD与平面ABC所成的角为30°．故答案为：30°．【点评】本题考查线面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．13.两个球的表面积之比是1∶16，这两个球的体积之比为_________.参考答案：1∶64略14.已知f（n＋1）＝f（n）－（n∈N*）且f（2）＝2，则f（101）＝______．参考答案：

略15.正四面体ABCD的外接球球心为O，E为BC中点，则二面角A—BO—E的大小为_______.参考答案：16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，则a的值为___________．参考答案：8试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.17.等腰△ABC中，AB=AC，已知点A(3，–2)、B(0，1)，则点C的轨迹方程____参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥中，底面为矩形，，是的中点.（1）证明：;（2）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.参考答案：19.已知过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．参考答案：解：（1）直线AB的方程为所以，由抛物线定义得：，则p=4，故抛物线方程为：

由p=4，化简得，从而,即A(1,),B(4,)

设=，又因为，即，解得略20.已知数列的前项和，函数对有，数列满足.

（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．参考答案：解：（1）

……………1分

时满足上式，故

……………3分∵=1∴

……………4分∵

①∴

②∴①+②，得

……………6分

略21.（本小题满分14分）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点和直线：，线段是椭圆的一条弦，且直线垂直平分弦，求实数的值．参考答案：略22.（本小题满分12分）已知：实数满足；：实数满足．（Ⅰ）在区间上任取一个实数，求事件“为真命题”发生的概率；（Ⅱ）若数对中，，，求事件“”发生的概率.参考答案：（Ⅰ）为真命题；为真命题；……2分又为真命题ks5u∴为真命题或为真命题，即…………4分ks5u∴区间的长度为9，区间的长度为6，由几何概型知故在区间上任取一个实数，事件“为