第十一章第三节二项式定理理

第十一章第三节二项式定理理第1页，课件共39页，创作于2023年2月第2页，课件共39页，创作于2023年2月一、二项式定理1．展开式(a＋b)n＝

所表示的定理叫做二项式定理．2．通项：Tk＋1＝

为第

项．k＋1第3页，课件共39页，创作于2023年2月(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．第4页，课件共39页，创作于2023年2月二、二项式系数1．定义：式子

叫做二项式系数．2．性质(3)对称性：2n第5页，课件共39页，创作于2023年2月(4)二项式系数最值问题．①当n为偶数时，中间一项

最大；②当n为奇数时，中间两项

，

相等且最大．三、项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项

式系数不同.第6页，课件共39页，创作于2023年2月1．的展开式中x2的系数为(

)A．10

B．5C.D．1解析：∵含x2的项为∴x2的系数为答案：C第7页，课件共39页，创作于2023年2月2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式

的常数项为(

)A．10B．20C．30D．120解析：二项式系数之和2n＝64，则n＝6，Tk＋1＝·x6－k·＝，当6－2k＝0时，即k＝3时为常数项，T3＋1＝＝20.答案：B第8页，课件共39页，创作于2023年2月3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(

)A．第＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项解析：(1＋x)2n的展开式中，各项系数等于对应的二项式系数，故系数最大的项是第n＋1项．答案：C第9页，课件共39页，创作于2023年2月4．若(ax2－)9的展开式中常数项为84，则a＝________，

其展开式中二项式系数之和为________．(用数字作答)解析：二项式(ax2－)9的通项公式为·a9－k·x18－2k·(－1)k·x－k＝(－1)k·a9－k·x18－3k，令18－3k＝0可得k＝6，即得常数项为(－1)6·a9－6＝84a3＝84，解之得a＝1.其展开式二项式系数和为29＝512.答案：1

512第10页，课件共39页，创作于2023年2月5．已知(ax－)n的展开式的第五项是常数项，则n＝______.解析：由∴n－8＝0⇒n＝8.答案：8第11页，课件共39页，创作于2023年2月第12页，课件共39页，创作于2023年2月二项展开式的通项公式Tk＋1＝an－kbk(k＝0,1,2，…，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用．使用时要注意：第13页，课件共39页，创作于2023年2月(1)通项公式表示的是第“k＋1”项，而不是第“k”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数，

在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错．第14页，课件共39页，创作于2023年2月已知在()n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．第15页，课件共39页，创作于2023年2月利用通项公式可求,注意运算.第16页，课件共39页，创作于2023年2月【解】

(1)通项公式为因为第6项为常数项，所以k＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令得k＝(n－6)＝2，∴所求的系数为，第17页，课件共39页，创作于2023年2月(3)根据通项公式，由题意得令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－∵k∈Z，∴r应为偶数，∴r可取2、0、－2，即k可取2、5、8.所以第3项，第6项与第9项均为有理数，它们分别为第18页，课件共39页，创作于2023年2月1．(1)(2010·东北四市联考)在(x＋1)7(1－)7的展开式中，x3

项的系数为(

)A．－35

B．35C．－21D．21(2)设a＝(sinx＋cosx)dx，则二项式(a)6展开

式中含x2的项的系数是________．

第19页，课件共39页，创作于2023年2月解析：(1)(x＋1)7∴含x3项的系数为(2)因为a＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝2，所以二项式()6展开式的通项是(－1)k26－k令3－k＝2，得k＝1，所以含x2的项的系数是－192.答案：(1)D

(2)－192=21x3.第20页，课件共39页，创作于2023年2月1．对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求

其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即

可；对(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之

和，只需令x＝y＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式

中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝第21页，课件共39页，创作于2023年2月若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.第22页，课件共39页，创作于2023年2月所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，即“赋值法”整体解决.第23页，课件共39页，创作于2023年2月【解】

(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由得：a7＋a5＋a3＋a1＝[128－(－4)7]＝8256.(3)由得a6＋a4＋a2＋a0＝[128＋(－4)7]＝－8128.第24页，课件共39页，创作于2023年2月2．在本例条件求|a1|＋|a2|＋…＋|a7|解：∵(3x－1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，∴|a7|＋|a6|＋…＋|a1|＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4＋a6)＋a0＝8256－(－8128)－1＝16383.第25页，课件共39页，创作于2023年2月1．求二项式系数最大项：(1)如果n是偶数，则中间一项(第(＋1)项)的二项式系数

最大；(2)如果n是奇数，则中间两项(第项与第(＋1)

项)的二项

式系数相等并最大．第26页，课件共39页，创作于2023年2月2．求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开

式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各

项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应

用从而解出k来，即得．第27页，课件共39页，创作于2023年2月已知()n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含

的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

第28页，课件共39页，创作于2023年2月（1）可利用“赋值法”求各项系数的和；（2）可利用展开式中的通项公式确定k的值；（3）可利用通项公式求出k的范围，再确定项.第29页，课件共39页，创作于2023年2月【解】由题意知，第五项系数为·(－2)4，第三项的系数为则有化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.第30页，课件共39页，创作于2023年2月(2)通项公式令，则k＝1，故展开式中含的项为T2＝－16

.第31页，课件共39页，创作于2023年2月(3)设展开式中的第k项，第k＋1项，第k＋2项的系数绝对值分别为若第k＋1项的系数绝对值最大，则，解得5≤k≤6.又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1792x－11.由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1120x－6.第32页，课件共39页，创作于2023年2月3．(1)(

)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，

则展开式的常数项是(

)A．360

B．180C．90D．45(2)已知(1－x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1－x)n的展开式中系数最小的项是________．第33页，课件共39页，创作于2023年2月解析：(1)依题意：只有第6项的二项式系数最大，可得到n＝10，所以展开式的通项为·2k·x－2k＝,令k＝2可得常数项T3＝＝180.(2)令x＝－1，得2n＝32，所以n＝5，故系数最小的项是