第7章 刚体教材

第七章刚体力学

§7.2刚体的动量和质心运动定理§7.1刚体的定轴转动内容目录

§7.3刚体定轴转动的角动量.转动惯量§7.4刚体绕定轴转动的动能定理§7.5

刚体平面运动的动力学§7.6

刚体的平衡在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组．)刚体的运动形式：平动、转动．⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的．说明：一、

刚体：§7.1

刚体运动的描述

刚体平动质点运动

平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．

特点：各点运动状态一样，如：等都相同．avv、v转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动

刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成转动平面：任一垂直于定轴的平面转动中心：转动平面与定轴的交点二、刚体定轴转动的描述1.转动平面

可用圆周运动的角量描述刚体的整体运动

定轴转动的特点：各质点都在各自的转动平面内做圆周运动；各质点运动的线量一般不同,但角量完全相同（角位移、角速度和角加速度）

pro转动平面转轴

X参考方向大小：方向：沿轴(与刚体的转动方向成右手螺旋)

=d

dt2.角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量

=d

dt刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.0>w0<wwvwvzz加速转动方向一致减速转动方向相反

角加速度矢量

当刚体作匀变速转动时

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动表１

刚体绕定轴作变速转动质点变速直线运动

切向加速度：法向加速度：

角量和线量关系的矢量式

速度：

加速度：[例1]、一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s

匀减速地降到10rad/s

。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解根据题意，角加速度为恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒内转过的圈数(3)再利用

§7.2刚体的质心和刚体的动量

㈠、刚体的质心⒈质心计算公式

⒉求质心的几种方法⑴对称法：根据刚体质心的定义式可知，刚体的质心必定在刚体的对称中心、对称轴、对称平面上

质量分立分布：

质量连续分布：⑵分割法：根据刚体的形状，把刚体分成几部分，转化成求几个质点的质心⑶积分法：选取合适的质元、坐标，通过做积分求出质心[例1]：如图所示，在半径为R的匀质圆板上钻一个半径为R/2的圆孔，求钻孔圆板的质心

解：补上被钻掉的小圆板，整个大圆板可看作由小圆板mA和月牙板mB组成。由对称性分析可知：大圆板的质心在o点，小圆板的质心在A点，要求的月牙板的质心在x轴上的某一点，设为B据质心计算公式：ABomBmAx[例2]：求半径为a的匀质半球的质心

解：建立图示坐标系o-xyz，由对称性分析，质心必在z轴上，即xc=0,yc=0，在坐标z处，取高为dz

的薄圆盘状质元xyzorazdz据计算质心的积分公式：㈡、刚体的动量与质心运动定理

⒉刚体的动量守恒定律：

若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量保持不变。即若，则

质点系的有关概念和规律都适用于刚体⒈刚体的动量：⒊刚体的质心运动定理：[例3]求偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质飞轮质量m=5.0kg，半径r=0.15m，转速n=400rev/min，质心C距转轴O距离d=0.001m，飞轮所受重力忽略不计COd解:以飞轮为研究对象，设轴对其压力为据质心运动定理：据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力：

转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有害振动或使轴承变形，因此要尽量使质心位于转轴上.P*O

刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的位矢.

对转轴Z

的力矩

一、力矩§7.3

刚体定轴转动的转动定律转动惯量O讨论

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和

其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二、转动定律2）刚体质量元受外力，内力

1）单个质点与转轴刚性连接外力矩内力矩O定义转动惯量O即于是得到刚体定轴转动定律写成矢量形式刚体定轴转动的转动定律

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.a.力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。b.内力矩不改变刚体定轴转动的状态c.若M一定，则I.转动惯量是转动惯性的量度.d.与地位相当2.说明M

对应F，I

对应

m

，

对应

a三、转动惯量

质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法

质量连续分布刚体的转动惯量：质量元定义：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。

物理意义：转动惯性的量度.

I

大

转动惯性大

质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布质量连续分布的刚体的转动惯量注意：只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。O′AB[例1]求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动

惯量。解：取如图坐标，dm=

dxL/2L/2OXdmdm对轴的转动惯量可见，同一刚体的转轴的位置不同，刚体转动惯量的值不同。ABLX

dxO′dI=x2dm=x2dxORO[例2]

一质量为,半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量

.

解:

设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为

的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量[例3]内半径为R1外半径R2为质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量[例4]质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量在球面取一圆环带，半径[例5]质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量把球体看作无数个同心薄球壳的组合一些均匀刚体的转动惯量表I的大小和下列因素有关：明确：刚体的总质量；刚体的质量分布；转轴位置。四、平行轴定理推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有——平行轴定理I＝IC+md

2。说明：1)通过质心的轴线的转动惯量最小；2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。ABLXABL/2L/2CXc

codJJco五、垂直轴定理

对于薄板刚体，若建立坐标系Oxyz，其中z轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体对z轴的转动惯量等于对x轴的转动惯量和对y轴的转动惯量之和

yx

z

圆盘

R

C

m[例1]:

一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：求：思路：质点平动与刚体定轴转动关联问题，隔离法，分别列方程，先求角加速度,再三、转动定律的应用解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。以向下为正方向以向上为正方向思考：×因为重滑轮加速转动+以顺时针方向为正方向四个未知数：三个方程？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：解得：m2m1[例2]：质量为m1

的物体置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸长的细绳拉着,细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为

m2

的物体,如图所示。已知滑轮是一个质量为M,半径为r

的圆盘,轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与

m1

之间的绳子的张力、滑轮与m2

之间的绳子的张力以及物体运动的加速度

。

解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。列方程

T1=m1a

（1）

m2g

T2=m2a（2）对于滑轮

（3）

解以上四个联立方程式,可得α）

此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落了高度h时,可以列出下面的能量关系（5）式中v是当m2下落了高度

h

时两个物体的运动速率,

是此时滑轮的角速度。因为,,所以得由此解得（6）将

v2=2ah

代入(6)式,可以求得两个物体的加速度

根据,立即可以求得张力T1根据

或可以立即算出张力T2

以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法,都应该理解和掌握。

[

例3]:

一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解

细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得

设刚体绕z轴作定轴转动,体元

mi对轴的角动量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整个刚体对转轴的角动量

Lz等于转动惯量与角速度的乘积。

一、刚体对转轴的角动量riviOiz·

mi§7-3定轴转动刚体的角动量守恒定律二、刚体对转轴的角动量定理由上式得到

刚体对转轴的角动量定理:

作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。将转动定理

Mz=I写成下面的形式:实验表明,此式更具普遍性。角动量定理也可以写为Mz

dt称为冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。

可见，作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体对同一转轴的角动量的增量。

对上式积分得到角动量定理的积分形式

刚体对转轴的角动量守恒定律

当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。

刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。或

恒量

在定轴转动中,如果

Mz

=0,则

三、刚体对转轴的角动量守恒定律刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。花样滑冰运动员的旋转表演茹可夫斯基凳[例1]:

一匀质细棒，质量为m，长为L，可在水平桌面上绕一端点O在桌面上转动。棒与水平桌面间的摩擦系数为μ,t=0

时棒静止在水平桌面上。现给棒一个角速度ω0，求经过多长时间棒停止转动。解：设棒的质量线密度为λ，在棒上任取一质元dm,

质元dm所受摩擦力

因此，棒所受到的摩擦力矩力矩OLdf

对O的力矩dfOM取棒转动方向为正，则M为负[例2]一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为

。令圆盘以

0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？解:首先求摩擦力矩:取半径为r(r<R)宽度为dr的环带质量元产生的阻力矩元(方向均向下)(注意：一般不是恒量)注意到阻力矩是负值，由刚体定轴转动定律答：经过时间停止转动。这是一个刚体定轴转动的变力矩问题，注意求解的方法，请同学与质点运动中变力问题类比，做方法总结。

[例3]:

质量很小长度为l

的均匀细杆,可绕过其中心

O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率v0垂直落在距点O为

l/4

处,并背离点O向细杆的端点A爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?

解:

小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒由角动量定理即考虑到[例4]

一半径为R、质量为M的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动,质量为

m的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周(不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？R思考：1.台为什么转动？向什么方向转动？2.人相对转台跑一周，相对于地面是否也跑了一周？3.人和台相对于地面转过的角度之间有什么关系？系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：设人沿转台边缘跑一周的时间为t：选地面为参考系，设对转轴人：I,

;

台：I´,

´解：R人相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：R

§7.4刚体绕定轴转动的动能定理一、刚体的转动动能说明:可见，定轴转动刚体的转动动能和质点系的平动动能在本质上是一样的，两者的区别仅在描述方法上不同，一个为角量描述，一个为线量描述比较：二、力矩的功0‘0式中

设刚体在力F的作用下，绕转轴转过角位移为

dθ则力F作元功如果力矩的大小和方向都不变则当刚体在此力矩作用下转过角θ时，恒力矩所作功为如果力矩随时间变化,则变力矩对刚体作功为1)

M是作用在刚体上诸外力的合力矩

说明:2)对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。3)力矩的功本质是力的功4)力矩的功率为：当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。由上可见，刚体转动时力矩的功和功率的表达式，与质点运动时力的功和功率的表达式在形式上是类似的，力矩和力相对应，角位移和位移相对应，角速度和速度相对应。三、刚体绕定轴转动的动能定理由

设在外力矩的作用下，刚体的角速度由ω1变到ω2，则在这个过程中合外力矩所作的功为刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。与质点的动能定理的表达式相似2）质点系的功能原理，机械能守恒定律对于刚体系统或质点＋刚体系统仍然成立1）力矩的功本质是力的功，刚体的转动动能本质是质点系平动动能，因此，刚体定轴转动的动能定理本质是质点系的动能定理说明例1、一根长为l、质量为m的均匀细直杆，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水平位置，求它由此下摆

角时的角速度和角加速度。在杆的下摆过程中，对转轴O而言，只有重力矩作功，当其下摆至与水平位置成θ角的过程中，重力矩所作的总功为解法一：应用刚体定轴转动的动能定理mgO

重力的功！在此过程，杆的动能增量为由刚体定轴转动的动能定理解法二：应用机械能守恒

取杆和地球为一系统。整个过程只有重力作功,而重力为保守内力，因此系统的机械能守恒。选择水平位置为杆的势能零点。在水平位置时，系统的机械能为在与水平位置成θ角时，系统的机械能为

由机械能守恒，有解得

解法三：应用转动定律(课后补充完成)可见,本题应用机械能守恒解题更为简单!

例2一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链

O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律解法一：应用转动定律分离变量并积分解得解法二：应用机械能守恒

取杆和地球为一系统。整个过程系统的机械能守恒,取地面为杆的势能零点例3

一长为l

、质量为m

的匀质细杆，可绕光滑轴O在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0

的子弹水平射入与轴相距为a

处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑其中(1)子弹射入细杆,使细杆获得初速度。这一过程进行得很快角动量守恒。子弹射入细杆前、后的一瞬间系统角动量分别为由角动量守恒，得：(1)(2)子弹随杆一起绕轴O转动。这一过程机械能守恒。势能零点选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为由机械能守恒，E=E0,

代入q=300，得：将上式与联立，并代入I值，得直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动§7.5刚体平面运动的动力学§7.5.1刚体平面运动的基本动力学方程

平面运动=平动+定轴转动1.求质心的运动

根据质心运动定律

m—刚体的质量.—所有外力的矢量和,

刚体作平面运动，受力必是平面力

直角坐标系中的分量式

(7.5.1)2.刚体绕质心的转动在质心系中刚体作定轴转动.

选质心坐标系

Cx’y’z’,设z’为过质心而垂直于固定平面的轴.在质心系中

M外i’—外力对质心的力矩,又

M惯=0M惯—惯性力对质心力矩.

即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定律.

式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动力学方程.(7.5.2)§7.5.2作用于刚体上的力

1.作用于刚体上力的两种效果·滑移矢量(1)施于刚体的力的特点

作用力通过质心，对质心轴上的力矩为零，使刚体产生平动.力作质心轴的力矩使刚体产生角加速度.施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.AB(2)施于刚体的力是滑移矢量

右图中,施于A点的力F´可用施于B点的力F´´代替,即力可沿作用线滑移.ABC作用于刚体的力的三要素：

大小、方向和作用线.

2.力偶和力偶矩

力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力.大小

与参考点的选择无关.Odm1m2

一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩.