人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)

第页人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________主题分类：主题一：拱桥问题主题二：折叠立体图形问题主题三：围墙问题主题四:投球问题主题五：销售利润问题主题一：拱桥问题三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时单个小孔的水面宽度为4米若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米主题二：折叠立体图形问题在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线上方的抛物线上时连接交于点D．如图1．当的值最大时求点P的坐标及的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时请直接写出此时点M的坐标．主题三：围墙问题如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．主题四:投球问题一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：水平距离x/竖直高度y/(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．专题五：销售利润问题某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．某商贸公司购进某种商品的成本为20元/，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/）与时间x（天）之间的函数关系式为：且x为整数，且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x（天）13610…日销量142138132124…填空：（1）m与x的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润（）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？红星公司销售一种成本为40元/件的产品若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．参考答案1.【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-），∴-=m（x﹣b）2∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4∴m=-∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．2.【答案】(1)；(2)点P的坐标为；的最大值为；(3)点M的坐标为：【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点得出根据轴得出根据，求出点P的坐标和最大值即可；（3）证明得出，设，得出，根据得出，求出或或根据当时点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为．【详解】（1）解：把，代入得：解得：∴抛物线的解析式为．（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：

设直线的解析式为，把，代入得：解得：∴直线的解析式为设点P的坐标为，则点∵点P在直线上方的抛物线上∴∵轴∴∴∵∴∴当时有最大值此时点P的坐标为．（3）解：根据折叠可知∵轴∴∴∴∴设∵∴∴整理得：∴或解得：或或∵当时点P、M、C、四点重合，不存在∴∴点M的坐标为．

【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．3.【答案】（1）见解析；（2），见解析．【分析】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则∵，∴解得∴．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．4.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点设抛物线的解析式为∵四边形为矩形，为的中垂线∴∵∴点，代入，得：∴∴抛物线的解析式为；（2）∵四边形，四边形均为正方形∴延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形∴∴∵，当时解得：∴∴∴；（3）∵，垂直平分∴∴设直线的解析式为则：解得：∴∵太阳光为平行光设过点平行于的光线的解析式为由题意，得：与抛物线相切联立，整理得：则：解得：；∴，当时∴∵∴．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．5.【答案】(1)，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为设抛物线解析式为把点代入，得解得∴抛物线的函数表达式为当时∴球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为把点代入得解得（舍去），∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6.【答案】(1)的最高点坐标为，和；(2)符合条件的n的整数值为4和5【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令即可求得c的值；（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线∴的最高点坐标为∵点在抛物线上∴解得：∴抛物线的解析式为，令，则；（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包∴点A的坐标范围为当经过时解得；当经过时解得；∴∴符合条件的n的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7.【答案】(1)；(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；（2）由题意可知，令，分别求得，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．【详解】（1）解：在一次函数令时∴将代入中，可得：解得：；（2）∵∴选择扣球，则令，即：解得：即：落地点距离点距离为∴落地点到C点的距离为选择吊球，则令，即：解得：（负值舍去）即：落地点距离点距离为∴落地点到C点的距离为∵∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．8.【答案】(1)见解析；(2)①；②；(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度的值为【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点根据表格数据，可得当时；②待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为根据题意当时，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示

（2）①观察表格数据，可知当和时函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为又抛物线开口向下，可得最高点时与球台之间的距离是当时∴乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是；故答案为：49；230．②设抛物线解析式为，将代入得解得：∴抛物线解析式为；（3）∵当时抛物线的解析式为设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度的值为，则平移距离为∴平移后的抛物线的解析式为依题意，当时即解得：．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度的值为．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．9.【答案】1264【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．10.【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．依题意，得．解得，，．经检验，是原方程的根．∴每盒产品的成本为：（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）；（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下∴当时a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．11.【答案】（1）；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）【分析】（1）设，将，代入，利用待定系数法即可求解；（2）分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式根据二次函数的性质可得对称轴，求解即可．【详解】解：（1）设，将，代入可得：解得，∴；（2）当时销售利润当时销售利润最大为1568元；当时销售利润当时销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：∵时随x的增大而增大，∴对称轴解得．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．12.【答案】（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价元，则每天销量可增加千克根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可．【详解】（1）若降价元，则每天销量可增加千克∴，整理得：当时，∴每天的利润为9600元；（2）∵，∴当时取得最大值，最大值为9800∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令，得：解得：∵要让利于民，∴，（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13.【答案】（1）A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；（2）超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为x元，B型号水杯为y元根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为个根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A型号水杯为20元，B型号水杯为30元．设10000元购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列