第章.4同步训练及解析

PAGEPAGE3人教A高中数学选修2-3同步训练1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D(eq\f(1,2)ξ)的值为()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D．4解析：选C.∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).2．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析：选D.当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)在x＝0处取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：选C.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝1－0.8＝0.2.由题意知图象的对称轴为直线x＝2，∴P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.3.∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝0.3.4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c的值为________．解析：c＋1与c－1关于ξ＝2对称，eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.答案：2一、选择题1．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\f(x2－4x＋4,6)，则()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)解析：选C.由φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))eeq\f(－x－22,2\r(3)2)，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故选C.2．若随机变量X的密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，X在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1、p2，则p1、p2的关系为()A．p1>p2 B．p1<p2C．p1＝p2 D．不确定解析：选C.由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，所以p1＝p2.3．已知随机变量X～N(μ，σ2)，则Y＝aX＋b服从()A．Y～N(aμ，σ2) B．Y～N(0,1)C．Y～N(eq\f(μ,a)，eq\f(σ2,b)) D．Y～N(aμ＋b，a2σ2)解析：选D.由X～N(μ，σ2)知E(X)＝μ，D(X)＝σ2，∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝aμ＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)＝a2σ2，从而Y～N(aμ＋b，a2σ2)．4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84解析：选A.由X～N(2，σ2)，对称轴为x＝2，密度函数曲线如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975解析：选C.ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋p B.eq\f(1,2)－pC．1－2p D．1－p解析：选B.P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)P(－1<ξ<1)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ>1)]＝eq\f(1,2)－P(ξ>1)＝eq\f(1,2)－p.二、填空题7．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由于正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.28．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)，则E(ξ)＝________.解析：ξ～N(μ，σ2)，∴μ＝eq\f(3＋－1,2)，∴μ＝1，∴E(ξ)＝μ＝1.答案：19．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________．解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.答案：4.56%三、解答题10．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．解：(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图：∵P(0<X<2)＝P(2<X<4)，∴P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X<4)]＝eq\f(1,2)(1－0.4)＝0.3.11．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm，解：由于