高二下学期第一次周考数学试题

高二（下）第一次周考数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数的图象如图所示，则与的大小关系是（

）A．B．C．D．2．已知函数，则（

）A． B． C．1 D．73．已知向量，则在上的投影为（

）A． B． C． D．4．已知，则的值为（

）A．－2aB．2aC．aD．5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)6．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（

）A．4 B． C．8 D．7．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列求导数运算正确的是（

）A． B．C． D．10．曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（

）A． B． C． D．11．若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（

）A． B． C．3 D．412．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则．14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为.15．已知等比数列的各项均为正数，且，则.16．已知椭圆，过点的直线交椭圆于两点，则以为直径的圆过定点．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）17．在等差数列中，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．18．已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间．19．已知抛物线与直线相切．(1)求抛物线C的方程；(2)已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若，求弦的中点到直线的距离．20．已知圆C的圆心在直线上，且过，两点.(1)求圆C的方程；(2)已知l：，若直线l与圆C相切，求实数m的值.21．如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.(1)求与平面所成角的余弦值；(2)求平面与平面夹角的大小；22．已知函数（）．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在点处的切线与直线垂直，解不等式．2024学年度高二（下）第一次周考数学试题参考答案：1．A【详解】与分别表示在和处切线的斜率，由图象得，且在处切线的斜率比处切线斜率小，所以；2．B【详解】由得，令，得，解得，3．C【详解】易知，所以在上的投影为.4．B【详解】.5．D.解析：∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴当x<0时，[f(x)g(x)]′>0，∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴当x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)<0；当x∈(－3,0)时，f(x)g(x)>0.又∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图象关于原点对称．∴当x∈(0,3)时，f(x)g(x)<0.6．C【详解】由，得,则圆心，则，则，则四边形的面积为.7．B【详解】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.8．C【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体棱长为1，，所以,,设,则,而,所以点到直线的投影数量的绝对值为,所以点到直线的距离为，当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为，9．BCD【详解】对于A，，故A错误；对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；对于，故C正确；对于，故D正确.10．AB【详解】设点，因为，则，由题意可知：，解得，当时，，此时点的坐标为；当时，，此时点的坐标为；11．CD【详解】由题意，，令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.12．BD【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，对于AB选项，，即，可得，A错B对；对于CD选项，，即，D对，C无法判断.13．2【详解】由，所以.14．/【详解】因为，所以，则，因为直线的斜率，所以.15．【详解】设等比数列的公比为，由，知，依题意，，解得，所以.16．【详解】设是以为直径的圆上任意的一点，，则，，因为，则，即，所以圆的方程为，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，联立，消去，得，则，故，所以，，所以圆的方程可表示为，即，令，解得，此时该圆恒过定点；当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，则圆的方程为，此时该圆过定点；综上，该圆过定点.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.17．(1)(2)【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，所以．18．(1)(2)单调增区间为，，单调递减区间为.【详解】（1），则，则切线的斜率，又，所以曲线在点处的切线方程为．（2），则，由，可得或；由，可得，所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为．19．(1)(2)．【详解】（1）联立，化简得，即，令，因为，解得，故抛物线C的方程为．（2）点即为抛物线C的焦点，设A的坐标为的坐标为，则，故，则弦的中点的横坐标是，故弦的中点到直线的距离是．20．(1)（或）(2)或【详解】（1）方法一：设圆心C的坐标为，则，又，则，即，解得，，所以圆C的半径，所以圆C的方程是（或）.方法二：AB的中点坐标为，，则AB的中垂线方程为.则，解得，所以圆心C的坐标为，所以圆C的半径，所以圆C的方程是（或）.（2）设圆心C到直线的距离为d，由题意可得，平方整理后可得，解得或.21．(1)(2)【详解】（1）因为平面平面，平面，且，平面平面，所以平面，又四边形是边长为2的菱形，设，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，易知平面的一个法向量是，设与平面所成的角为，所以，所以.（2）易知，所以，，设平面的法向量为，则令，则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，所以，所以，故平面与平面的夹角为.22．(1)答案见解析(2)【详解】（1）∵，∴（）．令，其．①当，即时，恒成立，∴对恒成立，故在上递增；②当，即时，方程的两个根分别是，．若，则，，故时，；