精品解析：江苏省无锡市2023-2024学年高一上学期期终教学质量调研测试数学试卷（解析版）

第第页无锡市2023年秋学期高一期终教学质量调研测试数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据补集与交集的运算，可得答案.【详解】，.故选：B.2.已知幂函数，且，则（）A. B. C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】由题意，建立方程求得参数，代入可得答案.【详解】由题意可得：，解得，则.故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解出后者不等式，再根据充分、必要条件的判定即可.【详解】，即或，解得或，而前者，显然两者无包含关系，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.4.函数的部分图象大致为（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象，知函数存在奇偶性，先判断函数奇偶性，然后根据结合函数值的正负，可得出答案.【详解】函数，定义域为，，所以函数为奇函数，则排除AD项；当时，，，所以有，所以，B项符合条件.故选：B.5.已知角的终边过点，则的值为（）A. B. C.-2 D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：，所以故选：A.6.已知函数，则的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复合函数的单调性求解，注意函数的定义域．【详解】解得：，所以的定义域为．令，其单调增区间为，又在单调递减，由复合函数单调性知：的单调减区间为．故选：C．7.化简，得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先切化弦，再结合三角恒等变换化简求值.【详解】故选：C8.若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分和两种类型，方程显然成立，时方程化简后利用数形结合的方法画图分析.【详解】方程有四个不同的实数根，是方程的一个根，当时方程变形为，这个方程有三个非零实数根，则函数和的图像有三个不同的交点，如图所示，显然不成立，当时，和图像有一个交点，则需要和的图像有两个不同的交点即可，由，得，由，得，所以时，和的图像有两个不同的交点.综上，关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点点睛：方程的根与函数图象交点间的关系，将方程的根的个数问题转化为恰当的函数图象的交点个数问题,数形结合解决问题是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知全集为，则下图阴影部分表示正确的为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】结合交集补集的定义，和韦恩图的性质，直接判断.【详解】阴影部分中的元素，满足且，所以阴影部分可表示为或.故选：AC10.若正实数x，y满足，则（）A.的最大值为 B.的最小值为9C.的最小值为1 D.的最大值为【答案】AD【解析】【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析求解.【详解】因为正实数x，y满足，对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8，故B错误；对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，即，可得，所以的最大值为，故D正确；故选：AD.11.已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，以下说法正确的是（）A.是图象的一条对称轴B.的单调递减区间为C.的图象关于原点对称D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】求的对称轴方程和单调递减区间，验证选项AB；求的解析式，由奇偶性判断对称性，验证选项C；由辅助角公式化简，求最大值验证选项D.【详解】由，解得，得图象的对称轴方程为，其中时，，A选项正确；由，解得，所以的单调递减区间为，B选项正确；，函数是偶函数，图象关于y轴对称，C选项错误；，所以的最大值为，D选项正确.故选：ABD12.已知函数则下列说法正确的是（）A.不等式的解集为B.当时，的取值范围为C.若关于的方程有三个不同实数根，则D.令，不存在常数，使得恰有5个零点【答案】ACD【解析】【分析】作出函数图象，对于A：在同一坐标系中观察和的图象可得；对于B：观察图象确定单调性，然后求解；对于C：通过观察函数与函数的图象有3个交点的情况求解；对于D：研究的零点情况，代入可得答案.【详解】作出函数的图象如下：对于A：在同一坐标系中画出和的图象如下：，联立，得，所以不等式的解集为，A正确；对于B：由图可知：函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以的取值范围为，B错误；对于C：若关于的方程有三个不同实数根，即函数与函数有三个不同的交点，不妨设，如图：其中，所以，C正确；对于D：，恰有5个零点令，则，当只有1个零点时，设为，则方程有5个根，不可能；当有2个零点时，设为，且，然后和共有5个根，则或若有一个零点是，则另一个零点为，不满足，若有一个零点是，则另一个零点为，不满足，故不存在常数，使得恰有5个零点，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：当函数图象比较方便画出的时候，我们可以将方程的根或者函数零点问题，转化为两个函数的交点问题来解决，会非常直观和方便.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，，故答案为：，14.写出一个同时具有下列性质①②的函数__________.①，②当时，【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断满足条件的函数解析式.【详解】由可知，指数函数符合条件；由时，，指数函数单调递增.所以满足条件的一个函数.故答案为：(答案不唯一)15.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20-79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过________小时，才能驾驶?（结果精确到0.1h）（附：，）【答案】【解析】【分析】根据题意先求出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出不等式，再结合对数函数的公式，即可求解．【详解】设该驾驶员经过小时才能驾驶，则，即，故，，故，即至少经过小时才能驾驶．故答案为：16.已知，.当时，的两根为，，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为________.【答案】①.4②.【解析】【分析】根据方程，用韦达定理表示，由算式确定最小值；当时，恒成立，是方程的根，得，代入利用基本不等式求最小值.【详解】当时，方程，即，则有，，，所以当时，的最小值为4，此时满足.当时，恒成立,由，当时，，；当时，，.是方程的根，即有，得，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：4；【点睛】关键点点睛：当时，恒成立，结合一次函数与二次函数的性质，则与在有相同的零点.三、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】17.18.【解析】【分析】（1）由并集的定义，直接求；（2），分和两种类型，讨论实数的取值范围.【小问1详解】集合，，则.【小问2详解】集合，，当时，即时，，此时，满足题意；当时，即时，，当，则或，即或，所以.综上，实数的取值范围.18.已知函数.（1）若不等式的解集是，求，的值；（2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用韦达定理即可求解；（2）分和讨论即可.【小问1详解】由题意得为方程的两实数根，且，则，解得.则，.【小问2详解】当时，，即不等式一切实数恒成立，当时，即，显然对一切实数并不是恒成立，则，则有，解得，综上所述：.19.已知函数.（1）当时，求的取值范围；（2）若且，求的值.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；（2）根据题意分析可得，，以为整体，结合两角和差公式运算求解.【小问1详解】，当时，则，可得，所以的取值范围为.【小问2详解】因为，且，则，可得，则，所以，即.20.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）函数为R上的减函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，代入计算即可；（2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可；（3）根据函数的奇偶性，单调性可得任意恒成立，换元令，根据二次函数性质结合恒成立问题分析求解.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，此时，可得，即符合题意.【小问2详解】由（1）知，可知函数为R上的减函数，证明如下；任取，设，则，因，则，，，故，即，所以是R上的减函数.【小问3详解】因为为奇函数，且，则，又因为是R上的减函数，则，可得任意恒成立，令，由可知，可得，且的图象开口向上，对称轴为，则在内单调递减，可得在内的最小值为，则，解得，所以实数的取值范围为.21.如图，已知直线，是，之间的一个定点，过点作直线垂直于，且分别交于点，，，.是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，.（1）设的面积为，的面积为，求的最小值；（2）若的外接圆面积不超过，求角的取值范围.【答案】21.22.【解析】【分析】（1）根据题意求出，换元，判断函数单调性求出最小值；（2）根据题意设外接圆半径为，则，可得，利用三角恒等变换求出，结合，可得解.【小问1详解】根据题意，，则，，，，，，，，，，令，，任取，且，则，，，，，，即，所以函数在上单调递减，，即的最小值为，当且仅当时等号成立.【小问2详解】设外接圆半径为，则，又外接圆面积，即，即，由题可得，，即，化简整理得，解得，又，，，，解得.22.已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.（1）已知，判断是否满足性质，并说明理由；（2）若满足性质，且定义域为.①已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解?请说明理由；②若在上单调递增，证明：在上单调递增.【答案】（1）不满足，理由见解析（2）①，没有正整数解，理由见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据性质列式