2022年湖北省荆州市沙市区锣场中学高二数学理联考试卷含解析

2022年湖北省荆州市沙市区锣场中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明：“”．从“到”左端需增乘的代数式为（

）A.

B．

C．

D．参考答案：B2.如果则不等式：①

②；③；④，其中成立的是（

）A①②③④

B①②③

C①②

D③④参考答案：A3.设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，，则椭圆的离心率为 A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.经过点(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移为参数的参数方程是A．

B．

C．

D．参考答案：D5.下图是计算函数y＝的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是()A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2xB．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x参考答案：B6.（导数）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开区间内有极大值点（

）A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：B略7.运行如图所示的程序框图，若输出的n的值为71，则判断框中可以填（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得n＝10，i=1，不满足n是3的倍数，n=21,i=2,不满足判断框内的条件，执行循环体，满足n是3的倍数，n＝17，i=3，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足n是3的倍数，n=35,i=4,不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足n是3的倍数，n＝71，i=5，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出n的值为71，观察各个选项可得判断框内的条件是i>4？故选：A．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对参考答案：D【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，可求k的范围，根据过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，又点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得：k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．故选D【点评】此题考查了点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法．点在圆外是解题的关键．不注意圆的半径大于0，是易错点9.若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的（

）A.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C10.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n等于（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，，继续循环；结束输出.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，观察下列各式：，，，，…，，……，根据以上规律，若，则整数n的最大值为

．参考答案：9由题意，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n.∴fn（x）=f（fn﹣1（x））=，∴fn（）=．∴，∴，∴整数的最大值为9.故填9.

12.经过点M(－2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为__________．参考答案：1经过点、的直线斜率为1，∴，解得：．故答案为：1．13.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=．参考答案：0.16【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ=2，∵P（ξ≤4）=0.84，∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，故答案为：0.16．14.曲线在点（0,1）处的切线方程为

。参考答案：，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即15.曲线在点处的切线倾斜角为_________参考答案：略16.某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。命中个数的茎叶图(如图3)．则罚球命中率较高的是

。

参考答案：甲略17.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝

参考答案：123三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，，E是BC中点，M是PD的中点．（1）求证：平面AEM⊥平面PAD；（2）若F是PC上的中点，且，求三棱锥的体积．参考答案：（1）见解析；（2）.【分析】（1）证明：连接，因为底面为菱形，得到，证得所以，再利用线面垂直的判定定理得平面，再利用面面垂直的判定，即可证得平面平面.（2）利用等积法，即可求解三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连接，因为底面为菱形，，所以是正三角形，因为是中点，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面又平面，所以平面平面.（2）因为，则，所以.【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．19.（本小题满分12分）设数列满足前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和参考答案：（1）当时，，所以…………………1分当时，，所以………3分所以数列的通项公式为………5分（2）由（1）可知，所以……6分则数列的前项和………………8分两式相减，得………11分所以数列的前项和……………12分20.已知圆C的圆心在直线y=x+1上，半径为，且圆C经过点P（5，4）（1）求圆C的标准方程；（2）求过点A（1，0）且与圆C相切的切线方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设圆C的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=2，由于点C在直线y=x+1上，则b=a+1；圆C经过点P（5，4），可得（5﹣a）2+（4﹣b）2=2，联立解出即可得出；（2）利用直线与圆相切的充要条件即可得出．【解答】解：（1）设圆C的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=2，∵点C在直线y=x+1上，则b=a+1，∵圆C经过点P（5，4），∴（5﹣a）2+（4﹣b）2=2，解得：a=4，b=5．∴圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2=2．（2）设直线l斜率为k，则直线l方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（4，5）到已知直线l的距离等于半径，即，解得k=1或k=．所求切线方程是y=x﹣1，或x﹣．21.（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，e==，即可求得椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理求得y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，由向量的共线定理求得y2=﹣2y1，即可求得y1和y2，则即可求得m的值，即可求得直线方程；解法2：当直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意，设直线L的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2，即可求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分）∴椭圆C的标准方程为，…椭圆的离心率e==；…（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，则，…整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…（7分）则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分）若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分）解得：，则y1?y2=﹣，…（10分）故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分）故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1，即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0

…（12分）解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．…可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分），消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分）则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=﹣，①x1?x2=，②．…（8分）=（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）．若PA∥QF1，则∥，则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0．化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分）联立①③可得x1=，x2=，…（10分）代入②可以解得：k=±．…（11分）故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算