广东省湛江市德威中学高二数学理摸底试卷含解析

广东省湛江市德威中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式为A．

B．C．

D．参考答案：B略2.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（

）A．①②③ B。③④ C．．②③ D．②③④参考答案：C3.已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=(

)A． B.

C.

D.参考答案：C略4.若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B＝()A．(－1，＋∞)

B．(－∞，3)C．(－1,3)

D．(1,3)参考答案：C5.设x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推广到x+≥n+1，则a=（）A．2n B．2n C．n2 D．nn参考答案：D【考点】F1：归纳推理．【分析】结合已知的三个不等式发现第二个加数的分子是分母x的指数的指数次方，由此得到一般规律．【解答】解：设x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推广到x+≥n+1，所以a=nn；故选D．【点评】本题考查了合情推理的归纳推理；关键是发现已知几个不等式中第二个加数的分子与分母中x的指数的变化规律，找出共同规律．6.抛物线焦点坐标是（

）

A．(，0)

B．(，0)

C．(0,)

D．(0,)参考答案：C略7.双曲线的渐近线方程是(

) A． B． C． D．参考答案：D8.如图在正方体AC1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与平面所成的角．【分析】设正方体的棱长等于1，建立空间直角坐标系，得出D、B、C1、A1各点的坐标，从而得出、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出=（1，﹣1，﹣1）是平面A1BD的一个法向量，利用向量的夹角公式算出cos＜，＞的值，即得直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函数关系可得直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长等于1，可得D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）设=（x，y，z）是平面A1BD的一个法向量，则，取x=1，得y=z=﹣1∴平面A1BD的一个法向量为=（1，﹣1，﹣1）设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==∴cosθ==，即直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是．故选：B．【点评】本题给出正方体模型，求直线与平面所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．9.已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2 B． C．|a|＞|b| D．2a＞2b参考答案：D【考点】不等关系与不等式．【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解：A选项不正确，当a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；C选项不正确，因为a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选D．10.已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（

）

A．11

B．10

C．9

D．16参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知i是虚数单位，且，则__________．参考答案：由题意可得：.

14.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，将极坐标方程化为直角坐标方程是__________．【答案】【解析】【分析】利用极坐标化为直角坐标的转化公式求解.【详解】因为，所以由于，所以可得.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐标化为直角坐标时一般利用来实现.12.数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出参考答案：略13.若,则

, .参考答案：

14.已知数列满足，又成等差数列则等于

参考答案：15.棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，则的值为________。参考答案：略16.设抛物线C：的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若，则直线FA的倾斜角为___________．参考答案：或.【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．【详解】设该坐标为，抛物线：的焦点为，根据抛物线定义可知，解得，代入抛物线方程求得，故坐标为：，的斜率为：，则直线的倾斜角为：或.

17.在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为

．参考答案：.

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}的前n项和为Sn．（1）当{an}是等比数列，a1=1，且，，﹣1是等差数列时，求an；（2）若{an}是等差数列，且S1+a2=3，S2+a3=6，求和：Tn=．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（1），，是等差数列，得，又{an}是等比数列，a1=1，设公比为q，则有，解出即可得出．（2）设{an}的公差距为d，S1+a2=3，S2+a3=6，得，解出即可得出．【解答】解：（1），，是等差数列，得又{an}是等比数列，a1=1，设公比为q，则有，即而q≠0，解得，…故…（2）设{an}的公差距为d，S1+a2=3，S2+a3=6，得，解得．…则．于是，…故…19.已知函数为自然对数的底数(Ⅰ)当时，求函数的极值；(Ⅱ)若函数在上单调递减，求的取值范围．参考答案：（I）当时，，当变化时，，的变化情况如下表：13－0＋0－递减极小值递增极大值递减所以，当时，函数的极小值为，极大值为（II）令①若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减③若，则，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是．20.在平面直角坐标系xOy中，经过点,(0，)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】向量的共线定理；平面的概念、画法及表示．【分析】（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．21.（本小题满分13分）

如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点。

（1）求证：A1B1∥平面ABD；

（2）求证：AB⊥CE；

（3）求三棱锥C－ABE的体积。参考答案：22.已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；奇函数．【分析】（Ⅰ）由f'（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），利用待系数法求解．（2）由（1）知，再求导g'（x）=﹣x2+2，由g'（x）≥0求得增区间，由g'（x）≤0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取．【解答】解：（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），即对任意实数x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣