辽宁省辽阳市2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

高三考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（）A.10B.12C.14D.162.复数的共轭复数为（）A.B.C.D.3.四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上､下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（）A.B.C.D.4.将甲､乙､丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲､乙､丙分到同一个地区的概率为（）A.B.C.D.5.若为锐角，则（）A.B.C.D.6.辽宁的盘锦大米以粒粒饱满､口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（）A.14.4B.9.6C.24D.487.已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，，且恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数满足，则（）A.10000B.10082C.10100D.10302二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，则（）A.B.C.D.10.已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的值可能是（）A.B.C.D.11.抛物线的焦点到准线的距离为1，经过点的直线与交于两点，则（）A.当时，直线斜率的取值范围是B.当点与点重合时，C.当时，与的夹角必为钝角D.当时，为定值（为坐标原点）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为__________.13.若，则__________，__________.14.如图，在矩形中，分别在线段上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面.若直线与平面所成角的正切值为，则四面体的外接球的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.16.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，且.（1）证明：平面.（2）若，点满足，求二面角的大小.17.（15分）根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了和，均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为）.（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲､乙2名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看影片的概率分别为，，乙观看影片的概率分别为，当天甲､乙观看哪部电影相互独立，记甲､乙这2名观影者中当天观看影片的人数与观看影片的人数之差为，求的分布列及期望.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.（1）求的离心率；（2）若的重心为，点，求的最小值；（3）若的垂心为，求动点的轨迹方程.19.（17分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且在上单调递减，求的取值范围.高三考试数学试卷参考答案1.C依题意可得，则，所以.2.A因为，所以.3.A四羊方尊的容积约为.4.D将7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，分配方法共有种，其中甲､乙､丙分到同一个地区的分配方法共有种，故所求概率为.5.B，解得，因为为锐角，所以.6.A因为服从正态分布，且.8，所以，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数，所以.7.D依题意可得直线与圆相离，且，则，所以，所以，解得.8.C令，得.令，得，则，所以，即10098，所以.9.BCD因为，所以错误，B正确.因为，所以正确.若，则，所以当时，正确.10.AC由题意可得则，即.因为在上单调，所以，所以，即，所以，即，解得.因为，所以或1或.当时，，则，此时在上单调递增，故符合题意；当时，，则，此时在上不单调，故不符合题意；当时，，则，此时在上单调递增，故符合题意.11.BCD依题意可得，当时，设直线的方程为，代入，得，则，得错误.当点与点重合时，直线的方程为，代入，得.设，则，则，B正确.当时，直线的方程为，代入，得，则，，易知异号，所以，则，则，正确.当时，在内，则，又三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，正确.12.因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.13.；因为，所以.因为，所以.14.如图，取的中点，连接.依题意可得为等腰直角三角形，则.设，则.因为平面平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，所以，则，解得（负根已舍去），所以.因为，所以，所以的外心为的中点.设四面体的外接球的球心为，则底面.易证，则，由，得，解得，则，所以四面体的外接球的半径为.15.（1）解：当时，.当时，由，得，则，则.因为也符合上式，所以.（2）证明：由（1）可得，则.16.（1）证明：如图，取为的中点，连接.因为，所以.因为平面平面，且两平面相交于，所以平面.因为平面，所以.又，且，所以平面.（2）解：过点作的平行线，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则即令，得.易知平面的一个法向量为，所以.由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.17.解：（1）由图可知，满意度评分不低于60分的频率为，所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.（2）因为，所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，且这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为.（3）由图可知，.的可能取值为，，，则的分布列为-2020.080.440.48故.18.解：（1）因为双曲线经过点，所以，解得，所以的离心率.（2）易知.设.因为的重心为，所以解得因为，所以，即.因为点异于两点，所以所以的轨迹不含两点.故，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.（3）因为为的垂心，所以.设.当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，点与点重合.当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，则，由（2）知，则，则.因为，所以，，则，得，则.因为都在曲线上，所以动点的轨迹方程为（挖去这三点）.19.解：（1）当时，，则，故所求切线方程为