第5.3.1讲函数的单调性的应用（第2课时）-新高一数学宝典（人教A版2019选修第二册）

第四章导数及其应用第5.3.1讲函数的单调性的应用（第2课时）班级_______姓名_______组号_______进一步理解函数的导数和其单调性的关系．能讨论简单的含参数函数的单调性问题．能用函数的单调性解简单的问题．1、含参数函数的单调性2、由函数的单调性求参数的取值范围3、利用函数的单调性比较大小、解不等式知识点函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系函数的单调性导数单调递eq\o(□,\s\up2(1))增f′(x)≥0单调递eq\o(□,\s\up2(2))减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0题型1、由函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.【详解】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以，即，则在上恒成立，因为在上单调递减，所以，故.故选：A.2．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据导函数的符号求解.【详解】，由条件知当时，，即，令，是减函数，；故选：D.3．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据函数解析式得到函数的定义域，再求出导函数，从而根据条件得到关于的不等式组，进而求解即可．【详解】由，则函数的定义域是，又函数在区间上单调递减，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：A．4．若在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由单调性可知在上恒成立，结合二次函数性质可得，由此可得的取值范围.【详解】在上单调递增，在上恒成立，在上单调递增，，解得：，的取值范围为.故选：D.5．若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意恒成立，参变分离可得恒成立，结合正弦函数的性质计算可得.【详解】函数定义域为，且，依题意恒成立，恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围是.故选：A题型2、利用函数的单调性比较大小、解不等式6．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】观察，可考虑构造函数，求得的奇偶性，再由时，的单调性确定整个增减性，由与的正负反推正负即可求解.【详解】设，则，∵当时，，∴当时，，即在上单调递减.由于是奇函数，所以，是偶函数，所以在上单调递增.又，当或时，；当或时，，所以当或时，.即不等式的解集为.故选：B.7．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.【详解】由函数的图象可知当或时，；当时，，等价于或，故不等式的解集为，故选：A8．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，则，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于，结合单调性计算可得.【详解】令，因为，所以，又，所以在上单调递增，不等式即，所以，所以，即不等式的解集为.故选：A9．已知函数(1)讨论的单调性；(2)当，时，证明：【详解】（1），当时，，，单调递增；，，单调递减．当时，当或，，单调递增；当，，单调递减，当时，，所以在R上单调递增．当时，当或，，单调递增；，，单调递减．（2），由可得，或，，单调递增；，，单调递减．又因为，，所以恒成立．10．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【详解】（1）由题意可知，，令，则，当时，恒成立，单调递增，当时，由解得，由解得，所以在单调递增，在单调递减，综上所述当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）可知不等式即在上恒成立，即在上恒成立，只需即可，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以.题型3、含参数函数的单调性11．已知函数，，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间.【详解】函数的定义域为，①当，即时，得，则.∴函数在上为增函数.②当，即时，令，得，解得(ⅰ)若，则，∵，在或时，；时，∴在，上为增函数，在上为减函数.(ⅱ)若，则，当时，，当时，，∴函数在上为减函数，在上为增函数.综上可知，时，函数在上为增函数；时，函数在，上为增函数，在上为减函数；时，函数在上为减函数，在上为增函数.12．已知函数，讨论函数的单调性.【详解】由题设知，定义域为R，，令，得，.当时，令，解得或，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，当时，令，解得，此时单调递增，令，解得或，此时单调递减，综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减.13．已知函数.讨论函数的单调性；【详解】方法一：由题意得：定义域为，，由得：，即；①当时，恒成立，在上单调递增；②当时，，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.方法二：由题意得：定义域为，；①当时，恒成立，在上单调递增；②当时，由得：；由得：，在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.14．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性.【详解】（1）由已知，则，当时，，，则曲线在处的切线方程为，即（2）由（1）知，，①当时，，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；②当时，由，得，（ⅰ）当时，，当时，，在，单调递增；当时，，在单调递减；（ⅱ）当时，，，在单调递增；（ⅲ）当时，，当时，，在，单调递增；当时，，在单调递减；综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；②当时，在，单调递增，在单调递减；③当时，在单调递增；④当时，在，单调递增，在单调递减.一、单选题1．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，又函数在上单调递增，得，所以，即实数的取值范围是.故选：B2．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可.【详解】由，因为函数在区间内单调递增，所以有在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以由，因为，所以，于是有，故选：D3．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.【详解】，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即，故选：A.4．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据单调性与导数的关系判断．【详解】由题意，知的解集即的单调递减区间，故的解集为．故选：A．5．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据函数解析式得到函数的定义域，再求出导函数，从而根据条件得到关于的不等式组，进而求解即可．【详解】由，则函数的定义域是，又函数在区间上单调递减，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：A．6．若函数在具有单调性，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可.【详解】由，当函数在单调递增时，恒成立，得，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此有，当函数在单调递减时，恒成立，得，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，显然无论取何实数，不等式不能恒成立，综上所述，a的取值范围是，故选：C7．函数在区间上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为恒成立问题，构造函数，求得最小值，从而得解.【详解】，因为函数在区间上单调递减，即在上恒成立，又因为在大于0，所以在上恒成立，令，对称轴为，在单调递增，，所以，所以，所以的取值范围为.故选：B.8．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．不存在这样的实数【答案】A【分析】利用导数求出函数的单调区间，可得出区间的包含关系，即可得出的取值范围.【详解】因为，该函数的定义域为，，由可得，由可得或，所以，函数的增区间为、，减区间为，因为函数在区间上单调，则或或，若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.二、多选题9．已知函数在R上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据导函数与函数单调性的关系一一判定即可.【详解】因为函数，所以.因为函数在R上单调递增，所以,对于任意的恒成立，所以恒成立，即A正确；但大小不确定，故B错误；对于方程，有，即，所以C正确，D错误；故选：AC.10．若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】BC【分析】利用导函数判断的单调区间进行求解即可.【详解】的定义域为，所以，A错误；由题意可得，令解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为在区间上不单调，所以，即，选项B：当时，，正确；选项C：当时，，所以，正确；选项D：当时，，错误；故选：BC三、填空题11．已知函数在上单调递增，则实数的最小值为.【答案】【分析】转化为，即在上恒成立可求出结果.【详解】由题意得，因为函数在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以，即实数的最小值为.故答案为：12．函数在区间上不单调，实数的范围是.【答案】【分析】求导，判断单调性，从而求得函数的极大值点为，极小值点为，进而可得或，求解即可.【详解】，，令，得.当或时，；当时，.所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值点为，极小值点为.由题意可得或，解得或.所以实数的范围是.故答案为：.四、解答题13．设函数恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．【详解】由题可知的定义域为R，，若，则恒成立，此时在R上单调递增，即只有一个单调区间，不符题意；若，由解得，由解得或，此时在上单调递增，在与上单调递减，共有三个单调区间，符合题意；所以a的取值范围是．14．已知函数．(1)若，求函数的单调